高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：6.3不等式的证明(第3课时).ppt

1,第六章 不等式,不等式的证明,第 讲,3,（第三课时）,2,题型6 用反证法证不等式,1. 已知a、b、c(0，1)， 求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同时大于 . 证法1：假设三式同时大于 ， 即有(1-a)b ，(1-b)c ，(1-c)a , 三式同向相乘，得(1-a)a(1-b)b(1-c)c .,又(1-a)a( )2= ， 同理，(1-b)b ，(1-c)c ， 所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c ， 因此与假设矛盾，故结论正确. 证法2：假设三式同时大于 . 因为0a1，所以1-a0，,3,所以 同理， 都大于 . 三式相加得 ，矛盾. 故假设不成立，从而原命题成立.,4,点评：证明有关“至少”“最多”“唯一”或含有其他否定词的命题，可采用反证法.反证法的证题步骤是：反设推理导出矛盾(得出结论).,5,6,2. 已知a、bR，a2+b24， 求证：|3a2-8ab-3b2|20. 证明：因为a、bR，a2+b24， 所以可设a=rcos,b=rsin,其中0r 2， 所以|3a2-8ab-3b2|=r2|3cos2-4sin2| =r2|5cos(2+arctan )|5r220. 所以原不等式成立.,7,题型7 用换元证不等式,点评：换元法一般有代数式的整体换元、三角换元等换元方式.换元时要注意新变元的取值范围，以及换元后的式子的意义.常用的换元有： 若x2+y2=a2，可设x=acos，y=asin； 若 可设x=acos，y=bsin； 若x2+y21， 可设x=rcos，y=rsin(0r1).,8,已知1x2+y22，求证： x2-xy+y23. 证明:设x=rcos,y=rsin,且1r2,R, 则 由-1sin21，得 1- sin2 . 又1r22，所以 r2(1- sin2)3， 即 x2-xy+y23.,9,3. 求证： 证明：令 xR， 则yx2+yx+y=x2-x+1. 于是(y-1)x2+(y+1)x+y-1=0. (1)若y=1，则x=0，符合题意； (2)若y1,则式是关于x的一元二次方程.,10,题型8 判别式法证不等式,由xR，知=(y+1)2-4(y-1)20， 解得 y3且y1. 综合(1)(2)，得 y3，即 点评：与二次式有关的不等式证明，可通过构造二次方程，然后利用方程有实数解的充要条件得出式子的取值范围，就是所要证明的不等式.,11,求证： 证明：令 则yx2-(y+1)x+y+1=0， (1)当y=0时，得x=1，符合题意； (2)当y0时，则式是关于x的一元二次方程. 由xR，得=(y+1)2-4y(y+1)0， 解得-1y ,且y0. 综合(1)(2),得-1y ,所以,12,已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若x-1，证明: ln(x+1)x. 证明： 令f (x)=0，得x=0. 当x(-1，0)时，f (x)0; 当x(0，+)时，f (x)0.,13,题型 不等式与函数的综合应用,所以f(x)在区间(-1，0)上是增函数， 在区间(0，+)上是减函数. 所以当x-1时，f(x)f(0)=0， 即ln(x+1)-x0，故ln(x+1)x. 令 则 令g(x)=0，得x=0. 当x(-1，0)时，g(x)0; 当x(0，+)时，g(x)0.,14,所以g(x)在(-1，0)上是减函数， 在(0，+)上是增函数， 故当x-1时，g(x)g(0)=0， 即 故 综上知，,15,1. 在已知中如果出现两数相加等于一个正常数，可联想到公式sin2+cos2=1，进行三角换元. 2. 含有字母的不等式证明，可以化为一边为零，而另一边为