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,一、平面方程,三、曲面面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲面面积的计算,二、曲面的切平面与法线,（一）平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称上式为平面的点法式方程,则该平面的方程为：,法向量.,量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、平面方程,过三点,的平面方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（二）平面的三点式方程,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的截距式方程.,时,平面方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（三）平面的截距式方程,（四）平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减 , 得平面的点法式方程,此方程称为平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是,法向量为,方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,外一点,求,补： 设,是平面,到平面的距离d .,(点到平面的距离公式),机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、曲面的切平面与法线,设 有光滑曲面,为其上定点。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上过点 M 的任何曲线在该点的切线 都在同一平面，此平面称为 在该点的切平面.,曲面 在点 M 的法向量,法线方程,切平面方程,复习 目录 上页 下页 返回 结束,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,显式情况.,法线的方向余弦,法向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,:为法线与各坐标轴的夹角,二、曲面的面积,设光滑曲面,则面积 A 可看成曲面上各点,处小切平面的面积 d A 无限积累而成.,设它在 D 上的投影为 d ,(称为面积元素),则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故有曲面面积公式,若光滑曲面方程为,则有,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若光滑曲面方程为,若光滑曲面方程为隐式,则,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且,例. 计算双曲抛物面,被柱面,所截,解: 曲
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