MATLAB语言符号运算.ppt

2019/6/8,matlab,Page 1,2019/6/8,matlab,Page 1,第3章 Matlab语言的符号运算,【学习目标】 掌握基本符号运算 能够使用符号运算解决一般的微积分和方程求解问题。,2019/6/8,matlab,Page 2,2019/6/8,matlab,Page 2,第3章 Matlab语言的符号运算,2019/6/8,matlab,Page 3,3.1 基本符号运算,MATLAB自6.0版本以后，增加了符号数学工具箱(Symbolic Math Toolbox) 。它可以对符号表达式进行运算处理，大大扩展了MATLAB的应用范围。,符号计算是指对未赋值的符号对象(可以是常数、变量、表达式)进行运算和处理。 与数值运算的区别: 数值运算中必须先对变量赋值，然后才能参与运算。 符号运算无须事先对独立变量赋值，运算结果以标准的符号形式表达。,2019/6/8,matlab,Page 4,3.1.1 符号对象的创建,在MATLAB中的符号计算主要是对符号对象进行操作的，在使用符号计算功能前，首先需要创建符号对象。本节主要介绍符号对象的创建，其中常用的符号对象主要包括符号常量和变量、符号表达式、符号矩阵。,1. 符号变量的创建,在MATLAB中创建符号常量和变量的函数为sym()和syms()，两函数的主要区别在于前者每次只能创建一个符号变量，而后者可以同时创建多个符号变量。,2019/6/8,matlab,Page 5,x = sym(x)：创建符号变量x，无需对变量x赋值，在以后的运算中直接对符号变量x进行操作，返回的结果为带符号的表达式，而非数值结果。 x = sym(x,real)：创建符号变量x，并设置其为实体型。 x = sym(x,unreal)：创建符号变量x，并设置其为非实体型。,3.1.1 符号对象的创建,函数sym()的调用格式为：,2019/6/8,matlab,Page 6,函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为： syms 符号变量名1 符号变量名2 符号变量名n 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。,3.1.1 符号对象的创建,syms函数调用格式：,2019/6/8,matlab,Page 7,3.1.1 符号对象的创建, x=sym(x) y=sym(y),例：, syms x y, z=x*x+y*y z = x2+y2 a=5;b=3;c=a*a+b*b c = 34,2019/6/8,matlab,Page 8,3.1.1 符号对象的创建,2. 符号常量的创建,不含变量的符号叫符号常量。符号常量的定义也使用函数sym()。,例：, a=sym(1/5) a = 1/5,2019/6/8,matlab,Page 9,3.1.1 符号对象的创建,3. 符号表达式的创建,符号表达式为含有符号对象（符号常量、符号变量）的表达式，其创建方法如下： 1利用函数sym()直接创建 sym(A)：其中A为字符串的表达式，必须被单引号引用。 2利用符号对象创建 符号表达式也可以通过创建的符号对象来实现，当把已定义的符号变量或者符号常量连接为表达式，即可完成符号表达式的创建。,2019/6/8,matlab,Page 10,3.1.1 符号对象的创建,例：,y1=sym(cos(x) y1 = cos(x) x=sym(x) x = x y2=cos(x) y2 = cos(x),2019/6/8,matlab,Page 11,3.1.1 符号对象的创建,4. 符号矩阵的创建,由符号对象构建的矩阵为符号矩阵，符号矩阵的格式与一般的数据矩阵类似，其创建方法如下。 利用函数sym()直接创建 函数sym()的输入为符号矩阵，矩阵各元素可以为符号常量、符号变量或者符号表达式，各元素的长度不要求一样长。, a=sym(x x/5;sinx y) a = x, x/5 sinx, y,2019/6/8,matlab,Page 12,3.1.2 符号运算,符号表达式的代数运算与数值运算类似，也可以通过“+”、“-”、“*”、“/”、“”等运算符来实现。, f=sym(x-2); g=sym(x2+x-6); z1=f+g z1 = 2*x-8+x2 z2=f-g z2 = 4-x2, z3=f*g z3 = (x-2)*(x2+x-6) z4=f/g z4 = (x-2)/(x2+x-6) z5=f2 z5 = (x-2)2,2019/6/8,matlab,Page 13,3.1.2 符号运算,符号矩阵的代数运算包括一般的加、减、乘、除等四则运算。符号矩阵的代数运算是把矩阵当作一个整体，按照代数运算的准则进行运算，其中的运算基本同数值矩阵的运算规则。, A=sym(x2 y;x-y x) A = x2, y x-y, x B=sym(x+3 x;x+y y) B = x+3, x x+y, y, C=A+B C = x2+x+3, x+y 2*x, x+y C=A*B C = x2*(x+3)+y*(x+y), x3+y2 (x-y)*(x+3)+x*(x+y), (x-y)*x+x*y,2019/6/8,matlab,Page 14, C=A./B C = x2/(x+3), y/x (x-y)/(x+y), x/y C=A/B C = -y*(x2-y-x)/(x2-3*y), (x3-x*y-3*y)/(x2-3*y) (y2+x2)/(x2-3*y), -x*(y+3)/(x2-3*y), C=A.2 C = x4, y2 (x-y)2, x2 C=A2 C = x4+y*(x-y), y*x2+x*y (x-y)*x2+x*(x-y), y*(x-y)+x2,3.1.2 符号运算,2019/6/8,matlab,Page 15,3.1.2 符号运算,符号表达式提取分子分母,当符号表达式为有理分式时，函数numden()可用于提取有理分式的分子和分母，其调用格式如下： N,D = numden(A)：输入参数A为符号表达式，返回参数N和D分别为符号参数A的分子和分母。, a=sym(x-1)/(b+x) a = (x-1)/(b+x) d,n=numden(a) d = x-1 n = b+x,2019/6/8,matlab,Page 16,3.1.3 符号微积分,符号极限,在MATLAB中计算符号极限的函数为limit()，其调用格式如下。 limit(F,x,a)：计算符号表达式F在xa时的极限值。 limit(F,a)：计算符号表达式F默认符号自变量趋于a时的极限值。 limit(F)：计算符号表达式F默认符号自变量趋于0时的极限值。 limit(F,x,a,right)：计算符号表达式F在xa时的右极限值。 limit(F,x,a,left) ：计算符号表达式F在xa时的左极限值。,2019/6/8,matlab,Page 17, f2=sym(1/sin(x) f2 = 1/sin(x) limit(f2,x,0,left) ans = -inf, F1=sym(cos(x) F1 = cos(x) limit(F1,x,0) ans = 1,3.1.3 符号微积分,2019/6/8,matlab,Page 18,3.1.3 符号微积分,符号微分,函数diff()可用于实现符号微分，其调用格式如下。 Y = diff(F)：对符号函数F的默认符号变量进行一阶微分； Y = diff(F,t)：对符号函数F的符号变量t进行一阶微分； Y = diff(F,t,n)：对符号函数F的符号变量t进行n阶微分；,p=sym(a*x2+b*x); diff(p) %对默认变量x求微分 diff(p,a) %对指定变量a求微分 diff(p,2） %对默认变量x求二阶微分,2019/6/8,matlab,Page 19,3.1.3 符号微积分,符号积分,函数int()可用于符号积分，其调用格式如下。 R = int(S)：计算符号函数S对默认的自变量符号的不定积分。 R = int(S,v)：计算符号函数S对自变量符号v的不定积分。 R = int(S,a,b)：计算符号函数S对默认的自变量符号在a,b上的定积分值。 R = int(S,v,a,b) ：计算符号函数S对自变量符号v在a,b上的定积分值。,2019/6/8,matlab,Page 20,P=sym(a*x2+b*x); int(p) %对默认变量x求积分 int(p,a) %对指定变量a求积分 int(p,-2，2) %对默认变量x求从-2到2定积分,3.1.3 符号微积分,符号积分,2019/6/8,matlab,Page 21,3.1.3 符号微积分,符号级数,求无穷级数的和需要符号表达式求和函数symsum，其调用格式为： r = symsum(s)：计算符号表达式s对默认的自变量符号v在0,v-1范围内的级数和。 r = symsum(s,v)：计算符号表达式s对自变量符号v在0,v-1范围内的级数和。 r = symsum(s,a,b)：计算符号表达式s对默认的自变量符号在a,b范围内的级数和。 r = symsum(s,v,a,b)：计算符号表达式s对自变量符号v在a,b范围内的级数和。,2019/6/8,matlab,Page 22, s=sym(sin(x) s = sin(x) r=symsum(s,1,3) r = sin(1)+sin(2)+sin(3),3.1.3 符号微积分,符号级数,2019/6/8,matlab,Page 23,3.1.3 符号微积分,泰勒级数,求泰勒级数的展开式需要函数taylaor，其调用格式为： r = taylor(s)：计算符号函数s对的泰勒级数展开项，默认为五项，自变量为默认。 r = taylor(s,n,v)：计算自变量v的n阶泰勒级数展开项。, sym x ans = x r1=taylor(sin(x) r1 = x-1/6*x3+1/120*x5,2019/6/8,matlab,Page 24,3.1.4 符号方程求解,代数方程求解,在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为： solve(s)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量。 solve(s,v)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。 solve(s1,s2,sn,v1,v2,vn)：求解符号表达式s1,s2,sn组成的代数方程组，求解变量分别v1,v2,vn。,2019/6/8,matlab,Page 25,3.1.4 符号方程求解,代数方程求解,例：求解代数方程, y=solve(3*x2+5*x+3) y = -5/6+1/6*i*11(1/2) -5/6-1/6*i*11(1/2),求代数方程组, x,y=solve(x+y-5,x-2*y-7) x = 17/3 y = -2/3,2019/6/8,matlab,Page 26,3.1.4 符号方程求解,微分方程求解,在MATLAB中，用大写字母D表示导数。例如，Dy表示y，D2y表示y，Dy(0)=5表示y(0)=5。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y+y+y-x+5=0。符号常微分方程求解可以通过函数dsolve来实现，其调用格式为： dsolve(e,c,v) 该函数求解常微分方程e在初值条件c下的特解。参数v描述方程中的自变量，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件c，则求方程的通解。 dsolve在求常微分方程组时的调用格式为： dsolve(e1,e2,en,c1,cn,v1,vn) 该函数求解常微分方程组e1,en在初值条件c1,cn下的特解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，v1,vn给出求解变量。,2019/6/8,matlab,Page 27,3.1.4 符号方程求解,微分方程求解,求解微分方程：, y=dsolve(D2y-3Dy+y=0) y = 3+C1*sin(t)+C2*cos(t),2019/6/8,matlab,Page 28,3.2 符号运算用于控制理论计算,例1：已知函数y=sin(t-/6），求其对时间t的导数，并展开泰勒级数的前3项。,syms w t y=sin(w*t-pi/6); y1=diff(y,t) y2=taylor(y,3,t), y1 = sin(w*t+1/3*pi)*w y2 = -1/2+1/2*3(1/2)*w*t+1/4*w2*t2,2019/6/8,matlab,Page 29,3.2 符号运算用于控制理论计算,例2：求下列极限,syms x a y=(x*exp(sin(x)+1-2*(exp(tan(x)-1)/(x+a); z=limit(y,x,a), z = (1/2*a*exp(sin(a)+3/2-exp(tan(a)/a,2019/6/8,matlab,Page 30,例3：计算二重不定积分,syms x y f=x*exp(-x*y); z=int(int(f,x),y), z = 1/y*exp(-x*y),3.2 符号运算用于控制理论计算,2019/6/8,matlab,Page 31,例4. f = ax2+bx+c 求解, f=sym(a*x2+b*x+c) solve(f) ans = 1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2) 1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2),计算机 格式,一般格式,3.2 符号运算用于控制理论计算,2019/6/8,matlab,Page 32,例5. 解方程组 x+y+z=1 x-y+z=2 2x-y-z=1,x,y,z=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1) x = 2/3 y = -1/2 z = 5/6,3.2 符号运算用于控制理论计算,2019/6/8,matlab,Page 33,例6, y=dsolve(D2y+2*Dy+2*y=0,Dy(0)=0,y(0)=1,x) y = exp(-x)*sin(x)+exp(-x)*cos(x),3.2 符号运算用于控制理论计算,2019/6/8,matlab,Page 34,3.2 符号运算用于控制理论计算,控制理论中经常用到的积分变换有：傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换，这三种变换与反变换的函数如下：,ztrans(f) Z变换 iztrans(f) 反Z变换 laplace(f) 拉氏变换 ilaplace(f) 反拉氏变换 fourier(f) 傅里叶变换 ifourier(f) 反傅里叶变换,2019/6/8,matlab,Page 35,3.2 符号运算用于控制理论计算,例7 计算y=x2的拉普拉斯变换及其逆变换。,sym x; y=x2; f=laplace(y) f = 4/9/s, f1=ilaplace(f) f1 = 4/9,2019/6/8,matlab,Page 36,上机,1. 求出 的分子、分母,2.求下列极限,2019/6/8,matlab,Page 37,上机,3、求积分,4、求y+ytgx=cosx的通解。,5、解微分方程组。,2019/6/8,matlab,Page 38,6、求sin(w*x+pi/3)的一阶导数、二阶导数、不定积分。,上机,2019/6/8,matlab,Page 39,程序结构及流程控制,MATLAB与一般程序设计的高级语言类似，程序机构可以分为顺序结构、循环结构和条件结构。,顺序结构,顺序结构是按照代码书写的先后顺序执行，是最常用的结构，一般的程序中都会有顺序结构的成分。,例：输入x,y的值，并将它们的值互换后输出。,2019/6/8,matlab,Page 40,x=3; y=5; z=x; x=y; y=z; x y,程序结构及流程控制,2019/6/8,matlab,Page 41,程序结构及流程控制,条件结构,条件结构可用于在一定条件下执行相应的代码，通过条件流程控制语句执行代码。,1if语句 在MATLAB中，if语句有3种格式。 (1) 单分支if语句： if 条件 语句组 end,当条件成立时，则执行语句组，执行完之后继续执行if语句的后继语句，若条件不成立，则直接执行if语句的后继语句。,2019/6/8,matlab,Page 42,(2) 双分支if语句： if 条件 语句组1 else 语句组2 end 当条件成立时，执行语句组1，否则执行语句组2，语句组1或语句组2执行后，再执行if语句的后继语句。,程序结构及流程控制,2019/6/8,matlab,Page 43,(3) 多分支if语句： if 条件1 语句组1 elseif 条件2 语句组2 elseif 条件m 语句组m else 语句组n end 语句用于实现多分支选择结构。,程序结构及流程控制,2019/6/8,matlab,Page 44,计算分段函数的值。 y=1 x0 y=-1 x=0,x=0; if x0 y=1 else y=-1 end,程序结构及流程控制,2019/6/8,matlab,Page 45,计算分段函数的值。 y=1 x0 y=0 x=0 y=-1 x0 自己编写程序,程序结构及流程控制,2019/6/8,matlab,Page 46,某商场对顾客所购买的商品实行打折销售，标准如下(商品价格用price来表示)： price200 没有折扣 200price500 3%折扣 500price1000 5%折扣 1000price2500 8%折扣 2500price5000 10%折扣 5000price 14%折扣 输入所售商品的价格，求其实际销售价格。 提示：用x表示销售价格，y表示实际销售价格 自己编写程序。,程序结构及流程控制,2019/6/8,matlab,Page 47,程序结构及流程控制,2. switch语句,多分支语句的条件判断也可以使用函数switch，与if多分支语句相比，switch在判断变量单一，而判断条件多时使用比较方便。其格式如下：,Switch 表达式 Case 表达式1 语句组1 Case表达式2 语句组2 Case 表达式m 语句组m,Otherwise 语句组m+1 end,2019/6/8,matlab,Page 48,例：对于一个给定的百分数成绩，输出相应的等级成绩。,grade=input(请输入考试成绩：) switch round(grade/10) case 9,10 disp(成绩优秀); case 8,9 disp(成绩良好); case 7,8 disp(成绩中等); case 6,7 disp(成绩及格);,otherwise disp(不及格); end,程序结构及流程控制,2019/6/8,matlab,Page 49,循环控制结构,循环结构用于重复的执行某一段代码，通过循环流程控制语句控制程序的执行。,1for语句 for语句的格式为： for 循环变量=初始值：增量：结束值 循环体语句 end 步长为1