一级倒立摆的Simulink仿真.doc

单级倒立摆稳定控制 直线一级倒立摆系统在忽略了空气阻力及各种摩擦之后，可抽象成小车和匀质摆杆组成的系统，如图1所示。 图1 直线一级倒立摆系统 图2 控制系统结构假设小车质量M =0.5kg，匀质摆杆质量m=0.2kg，摆杆长度2l =0.6m，x(t)为小车的水平位移，为摆杆的角位移，。控制的目标是通过外力(t)使得摆直立向上（即）。该系统的非线性模型为：，其中。解：一、 非线性模型线性化及建立状态空间模型因为在工作点附近（）对系统进行线性化，所以可以做如下线性化处理：当很小时，由cos、sin的幂级数展开式可知，忽略高次项后，可得cos1，sin，20；因此模型线性化后如下： （J+ml2）+mlx=mgl (a) ml+(M+m) x=u (b) 其中取系统的状态变量为输出包括小车位移和摆杆的角位移.即X= Y= 由线性化后运动方程组得X1=x=x2 x2=x=x3+uX3 =x4 x4=x3+u 故空间状态方程如下：X= + u X= + uY= = 二、通过Matlab仿真判断系统的可控与可观性，并说明其物理意义。（1）判断可控性代码： A=0 1 0 0;0 0 -2.627 0;0 0 0 1;0 0 31.1818 0; B=0;1.8182;0;-4.5455;P=ctrb(A,B);n=rank(P);运行了得n= 4所以P为满秩，系统能控（2）判断可观性代码：A=0 1 0 0;0 0 -2.627 0;0 0 0 1;0 0 31.1818 0; B=0;1.8182;0;-4.5455; C=1 0 0 0;0 0 1 0;P=obsv(A,C);n=rank(P);运行了得n= 4所以P为满秩，系统能观。三、能否通过状态反馈任意配置系统的极点？若能，通过Matlab仿真确定反馈控制规律K（如图2），使得闭环极点配置在上。并给出系统在施加一个单位脉冲输入时状态响应曲线；答： 因为系统完全能控，所以能通过状态反馈任意配置系统的极点。要将闭环极点配置在上，所以期望特征方程为|I(A-BK)|=（+1）*（+2）*(（+1）2+1） =4+53+102+10+4 Matlab求解K如下： A=0 1 0 0;0 0 -2.627 0;0 0 0 1;0 0 31.1818 0; B=0;1.8182;0;-4.5455; J=-1 -2 -1+i -1-i; K=place(A,B,J);运行得：K= -0.089378 -0.22345 -9.0957 -1.1894;未加入极点配置。仿真图： 未进行极点配置仿真电路图（1）X的响应图：的响应图：配置后：加入极点配置仿真图（2）X的响应图：的响应图：四、 用MatLab中的lqr函数，可以得到最优控制器对应的K。要求用LQR控制算法控制倒立摆摆动至竖直状态，并可以控制倒立摆左移和右移；欲对系统进行最优状态反馈设计，及小化性能指标为： J= 1 2 0XTQX+UTRUdt编写matalab程序如下：A=0 1 0 0;00 -2.627 0;0 0 0 1;0 0 31.1818 0;B=0;1.8182;0;-4.5455;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;0x=1;y=1;Q=x 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 y 0; 0 0 0 0;R=1;G=lqr(A,B,Q,R);A1=(A-B*G);B1=B;C1=C;D1=D;t=0:0.01:5;U=zeros(size(t);x0=0.1 0 0.1 0;Y,X=lsim(A1,B1,C1,D1,U,t,x0);plot(t,Y);legend(小车,倒立摆);运行可得：G=-1 -1.5495 -18.68 -3.4559由图分析可得调节时间很长，所以增加Q的比重，将上程序中的x,y改为x=150,y=150.运行可得：G=-12.247 -9.3413 -41.934 -7.7732比较可得，控制效果明显改善。但反馈增益变大，意味着控制作用变强，消耗能量变大。将G放入系统中，进行simulink仿真可得：仿真电路图：仿真结果：X的响应图：的响应图：五、写出本次仿真实验的心得体会。本实验，从数学建模到仿真系统的搭建，再到加进控制环节进行实时控制，最后得出结果的过程中，参考了大量的资料，通过对比整合，设计出了适合自己的一套实验方法：倒立摆数学模型推导部分：首先用线性化数学模型，接着用动态系统空间状态方程法导出状态方程系数矩阵，然后用MATLAB对系统进行可控可观判断及进行几点配置，加入配置后在Simulink软件上进行系统仿真。最后通过matlab求解线性二次型最优控制的G矩阵，然后加入形同进行Simulink仿真。 通过本实验，掌握了倒立摆仿真的整个过程，熟悉了MATLAB的仿真软件Simulink的使用，也对系统控制有了