MATLAB基础与应用教程(人民邮电出版社-蔡旭辉)第二章b.ppt

,第2章 矩阵、数组和符号运算,二、符号运算 掌握内容： （1）了解 MATLAB 的符号变量，掌握 MATLAB 符号表达式、符号矩阵的两种创建方法。 （2）掌握 MATLAB 符号数学函数的创建。 （3）掌握符号矩阵的基本运算及MATLAB 关于不同精度的控制方法。 （4）掌握符号微积分内容，包括求函数的极限、对符号表达式求导数和微分、符号积分、符号求和、傅立叶变换及其逆变换等。 （5）掌握各种符号方程的求解方法和函数命令。 （6）了解 MATLAB 可视化的符号函数分析界面及使用。 （7）初步了解 MAPLE 的符号资源。,对于：,如何计算？,第2章 矩阵、数组和符号运算, A=2,-3;2 3; B=1;5; X=AB,符号运算,所谓符号计算是指在运算时，无须事先对变量赋值，而将所得到结果以标准的符号形式来表示。 MathWorks公司以Maple的内核作为符号计算引擎（Engine），依赖Maple已有的函数库，开发了实现符号计算的两个工具箱：基本符号工具箱和扩展符号工具箱。,第2章 矩阵、数组和符号运算,第2章 矩阵、数组和符号运算,抽象运算：公式推导、因式分解、求解代数方程或微分方程的精确解 符号数学工具箱 1）通过基本符号数学工具箱的专用函数； 符号表达式和符号矩阵的操作； 多项式的化简、展开和代入； 线性代数； 微积分； 符号方程的求解； 特殊的数学函数。 2）通过 maple.m、mpa.m 两个专门设计的 M 文件进行符号运算； 3）通过 MATLAB 中的函数计算器（Function Caculator）。,第2章 矩阵、数组和符号运算,1、符号变量的创建 a. sym 函数(symbol 的缩写) S=sym(arg) ，从表达式 arg 创建一个 sym 对象 S x=sym(x) x = sym(x,real) x = sym(x,unreal) 附加属性 x = sym(x,positive) pi = sym(pi) delta = sym(1/10) S = sym(A, flag) ，将数值或矩阵转化为符号形式 其中 flag 选项有四项参数f, r, e 和 d，r为缺省项。 f：代表十六进制浮点形式； r：代表有理数形式； e：估计误差； d：表示十进制小数。,第2章 矩阵、数组和符号运算, A=2/5,4/0.78,sqrt(23)/3;0.33,0.3333,log(4) 输入数值矩阵A A = 0.4000 5.1282 1.5986 0.3300 0.3333 1.3863 FA=sym(A) 将数值矩阵A转化为符号矩阵FA FA = 2/5, 200/39, sqrt(23/9) 33/100, 3333/10000, 6243314768165359*2(-52) 不管数值矩阵的元素是以分数或是浮点数表示，转换后的符号矩阵都将以最接近有理式的形式给出。 b. syms 函数 *syms用于方便地一次创建多个符号变量，调用格式为： syms a b c d 书写简洁意义清楚，建议使用。 syms a b c x y,2、符号表达式和符号矩阵的创建,第2章 矩阵、数组和符号运算,a.字符串直接输入创建 符号表达式和符号方程对空格很敏感。因此，在创建符号表达式或符号方程时，不要在字符间任意加空格符； 符号计算中出现的数字也是当作符号处理的； f=a*x2+b*x+c f = a*x2+b*x+c f=a*x2+b*x+c=0 f = a*x2+b*x+c=0,2、符号表达式和符号矩阵的创建,第2章 矩阵、数组和符号运算,这种方法输入符号矩阵与字符串矩阵的输入相似。但要保证在同一列中各元素字符串有同样的长度，在较短的字符串前后用空格符填充； 这种方法要求符号矩阵每一行的两端都有方括号，而字符串矩阵仅在首尾有方括号。 B=4+x x2 x ;x3 5*x-3 x*a B = 4+x x2 x x3 5*x-3 x*a,2、符号表达式和符号矩阵的创建,第2章 矩阵、数组和符号运算,b.由 sym 命令创建 f=sym(a*x2+b*x+c) f = a*x2+b*x+c f1=sym(a*x2+b*x+c=0) f1 = a*x2+b*x+c=0 A=sym(4+x, x2, x;x3, 5*x-3, x*a) A = 4+x, x2, x x3, 5*x-3, x*a,第2章 矩阵、数组和符号运算,c.由 syms 命令创建 syms x a b c f=a*x2+b*x+c f = a*x2+b*x+c syms x a B=4+x x2 x;x3 5*x-3 x*a B = 4+x, x2, x x3, 5*x-3, x*a 不能创建符号方程,【例1】作符号计算： a,b,x,y均为符号运算量。在符号运算前，应先将a,b,x,y定义为符号运算量,第2章 矩阵、数组和符号运算,方法一： syms a b A=a,-b;a b; B=1;5; X=AB X = 3/a 2/b,第2章 矩阵、数组和符号运算,方法二： a=sym(a); %定义a为符号运算量， 输出变量名为a b=sym(b); x=sym(x); y=sym(y); x,y=solve(a*x-b*y-1,a*x+b*y-5,x,y) % solve：符号代数方程的求解 %以a,b为符号常数，x,y为符号变量 即可得到方程组的解： x =3/a y =2/b,【例2】已知一复数表达式 z=x+i*y，试求其共轭复数，并求该表达式与其共轭复数乘积的多项式。 为了使乘积表达式x2+y2非负，这里，把变量x和y定义为实数。 x=sym(x,real); y=sym(y,real);,第2章 矩阵、数组和符号运算,z=x+i*y; %定义复数表达式 conj(z); %求共轭复数 expand(z*conj(z) %求表达式与其共轭复数乘积的多项式 %expand：展开符号表达式中的各项子式 ans = x2+y2 若要去掉x的属性,可以使用下面语句 x = sym(x,unreal) 将x创建为纯格式的符号变量。,第2章 矩阵、数组和符号运算,默认符号变量 在数学表达式中，一般习惯于使用排在字母表中前面的字母作为变量的系数，而用排在后面的字母表示变量。例如： f=ax2+bx+c 表达式中的a,b,c通常被认为是常数，用作变量的系数；而将x看作自变量。,第2章 矩阵、数组和符号运算,例如，数学表达式 f=xn g=sin(at+b) 根据数学式中表示自变量的习惯，默认a,b,n为符号常数，x，t为符号变量。 若在MATLAB中表示上述表达式，首先用syms 函数定义a，b，n，t，x为符号对象。在进行导数运算时，由于没有指定符号变量，则系统采用数学习惯来确定表达式中的自变量，默认a,b,n为符号常数，x，t为符号变量。 即 ： 对函数f求导为：df/dx 对函数g求导为：dg/dt,第2章 矩阵、数组和符号运算,为了了解函数引用过程中使用的符号变量个数及变量名，可以用findsym函数查询符号函数中所包含的符号变量。该函数的引用格式为： findsym(f,n) 说明： f为用户定义的符号函数， n为正整数，表示查询变量的个数。 n=i，表示查询前i个系统默认变量。n值省略时表示查询符号函数中全部系统默认变量。,第2章 矩阵、数组和符号运算,【例3 】查询符号函数 f=xn g=sin(at+b) 中的系统默认变量。 syms a b n t x %定义符号变量 f=xn; %给定符号函数 g=sin(a*t+b); findsym(f,1) %在f函数中查询1个系统默认变量 ans = x %表示f函数中查询的1个系统默认变量为x。 findsym(g,1) ans = t,第2章 矩阵、数组和符号运算,例3： 查询符号函数中的默认自变量。 创建符号变量 a,b, n, x 和t ，建立函数f=axn+bt，然后求f的默认自变量。 syms a b n t x f=a*xn+b*t findsym(f,1) findsym(f,2) findsym(f,5) % f表达式中按最接近x顺序排列的5个默认自变量 findsym(f) % f表达式中按最接近字母顺序排列的全部自变量 f = a*xn+b*t ans = x ans = x,t ans = x,t,n,b,a ans = a, b, n, t, x,第2章 矩阵、数组和符号运算,【例4】定义一个符号函数 fxy=(a*x2+b*y2)/c2 ，分别求该函数对x、y的导数和对x的积分。 syms a b c x y %定义符号变量 fxy=(a*x2+b*y2)/c2; %生成符号函数 diff(fxy,x) %符号函数fxy对x求导数 ans =2*a*x/c2 diff(fxy,y) %符号函数fxy对y求导数 ans =2*b*y/c2 int(fxy,x) %符号函数fxy对x求积分 ans =1/c2*(1/3*a*x3+b*y2*x),第2章 矩阵、数组和符号运算,3、符号矩阵的运算 基本运算 四则运算（与数值矩阵的运算规则相同） 两个符号矩阵的大小相等方可进行加减运算，符号矩阵和符号标量的加减运算按照数组运算规则进行； 两个符号矩阵进行乘、除法运算（与矩阵乘、除法规则相同）； 符号的乘方运算 Sp，若 S 为符号表达式，p 可以为符号表达式或数值表达式；若 S 为符号矩阵，则 p 必须是整数。,第2章 矩阵、数组和符号运算,第2章 矩阵、数组和符号运算, a=sym(1/x, 1/(x+1); 1/(x+2), 1/(x+3) a = 1/x, 1/(x+1) 1/(x+2), 1/(x+3) b=sym(x, 1; x+2, 0) b = x, 1 x+2, 0 b-a ans = x-1/x, 1-1/(x+1) x+2-1/(x+2), -1/(x+3), ab ans = -6*x-2*x3-7*x2, 3/2*x2+x+1/2*x3 14*x+2*x3+10*x2+6, -2*x2-3/2*x-1/2*x3 a.b ans = x2, x+1 (x+2)2, 0 a2 ans = 1/x2+1/(x+1)/(x+2), 1/x/(x+1)+1/(x+1)/(x+3) 1/(x+2)/x+1/(x+3)/(x+2), 1/(x+1)/(x+2)+1/(x+3)2 exp(b) ans = exp(x), exp(1) exp(x+2), 1,第2章 矩阵、数组和符号运算,b.符号表达式的化简与转换 给定如下3个符号表达式: f = x3-6*x2+11*x-6 g = (x-1)*(x-2)*(x-3) h = -6+(11+(-6+x)*x)*x 是否同一个符号表达式？,第2章 矩阵、数组和符号运算, collect：将表达式中同类项合并，合并后的多项式以变量幂的次数按大小依次排列 f f = x3-6*x2+11*x-6 collect(g) ans = x3-6*x2+11*x-6 collect(h) ans = x3-6*x2+11*x-6 syms x y collect(x2*y+y*x-x2-2*x) ans = (y-1)*x2+(y-2)*x,第2章 矩阵、数组和符号运算,expand：展开符号表达式中的各项子式 syms x y expand(x+1)3) ans = x3+3*x2+3*x+1 expand(sin(x+y) ans = sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y) factor：符号因式分解 syms x factor(x9-1) ans = (x-1)*(x2+x+1)*(x6+x3+1),第2章 矩阵、数组和符号运算,numden：分式通分 syms x y n,d=numden(x/y+y/x) n = x2+y2 %n：分式的分子 d = y*x %d：分式的分母,表达式简化 符号表达式的两个化简函数：simplify、simple simplify：化简函数，主要用于在符号表达式中进行等式的恒等替换。 例1：对表达式f=sin2(x)+cos2(x)进行化简. syms x f=sin(x)2+cos(x)2; simplify(f) ans = 1,第2章 矩阵、数组和符号运算,r,how=simple(S) 函数可寻找符号表达式S的最简型， r为返回的简化形式，how为化简过程中使用的主要方法，simple函数综合使用了下列化简方法： *simplify 函数对表达式进行化简 *radsimp 函数对含根式(surd)的表达式进行化简 *combine 函数对表达式中以求和、乘积、幂运算等形式出现的项进行合并 *collect 合并同类项 *factor 函数实现因式分解 *convert 函数完成表达式形式的转换,第2章 矩阵、数组和符号运算,例2：最简表达式的获得。 syms x t f=cos(x)2-sin(x)2; r,how=simple(f) r =cos(2*x) how =combine (trig),第2章 矩阵、数组和符号运算,Examples: S r how cos(x)2+sin(x)2 1 simplify 2*cos(x)2-sin(x)2 3*cos(x)2-1 simplify cos(x)2-sin(x)2 cos(2*x) combine(trig) cos(x)+(-sin(x)2)(1/2) cos(x)+i*sin(x) radsimp cos(x)+i*sin(x) exp(i*x) convert(exp) (x+1)*x*(x-1) x3-x combine(trig) x3+3*x2+3*x+1 (x+1)3 factor cos(3*acos(x) 4*x3-3*x expand,第2章 矩阵、数组和符号运算,4、符号微积分 Matlab自变量确定原则：除i、j外，字母位置最接近x的小写字母为自变量；如果表达式中没有变量，x会被视为默认的变量。由函数findsym可以找到默认变量 a. 符号极限(Symbolic limit) *limit(F,x,a) 计算符号表达式F在自变量xa条件下的极限； *limit(F,a) 计算符号表达式F中由默认自变量趋向于a条件下的极限； *limit(F) 计算符号表达式F在默认自变量趋向于0条件下的极限； *limit(F,x,a,right) 和limit(F,x,a,left) 计算符号表达式F在xa条件下的右极限和左极限。, syms x a t h limit(sin(x)/x) ans = 1 limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf) ans = exp(6*t) limit(1/x,x,0,right) ans = Inf limit(1/x,x,0,left) ans = -Inf,第2章 矩阵、数组和符号运算,【例】求极限 syms x %定义符号变量 f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/sin(x)3； %确定符号表达式 w=limit(f) %求函数的极限 w = -1/2,第2章 矩阵、数组和符号运算,b. 微分函数（differential coefficient） diff函数用于对符号表达式s求微分。该函数的一般引用格式为： diff(s,v,n),说明： 应用diff（s）没有指定微分变量和微分阶数，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶微分。 应用diff（s，v）或diff（s，sym（v） 格式，表示以v为自变量，对符号表达式s求一阶微分。 应用diff（s，n）格式，表示按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求n阶微分，n为正整数。 应用diff（s，v，n）、diff（s，n，v） 格式，表示以v为自变量，对符号表达式s求n阶微分。,第2章 矩阵、数组和符号运算,【例】求导数： x = sym(x); %定义符号变量 t = sym(t); diff(sin(x2) %求导运算 ans = 2*cos(x2)*x 【例】分别计算表达式f=xx的导数和3次导数. syms x; f=xx; diff(f) diff(f,3) ans = xx*(log(x)+1) ans = xx*(log(x)+1)3+3*xx*(log(x)+1)/x-xx/x2,第2章 矩阵、数组和符号运算,c积分函数（integral） 积分函数int（s ，v，a，b)可以对被积函数或符号表达式s求积分。其引用格式为： int（s ，v，a，b) 说明： 应用int（s）格式，表示没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求一阶积分。 应用int（s，v）格式，表示以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求一阶不定积分。 应用积分函数时，如果给定 a、b两项，表示是进行定积分运算。a、b分别表示定积分的下限和上限。不指定积分的下限和上限表示求不定积分。,第2章 矩阵、数组和符号运算,【例】求积分： syms x int(1/(1+x2) ans = atan(x) int(1/(1+x2),0,1) %符号表达式的定积分 ans = 1/4*pi quad(1./(1+x.2),0,1) %数组的定积分 ans = 0.7854,第2章 矩阵、数组和符号运算,d. 级数(符号)求和(Symbolic summation) 级数求和运算是数学中常见的一种运算。例如： f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn 函数symsum可以用于此类对符号函数f的求和运算。该函数的引用时，应确定级数的通项式s，变量的变化范围a和b。该函数的引用格式为： *symsum(S) 求符号表达式S对于默认自变量的不定和； * symsum(S,v) 求符号表达式S对于自变量v的不定和； * symsum(S,a,b) 求符号表达式S对于默认自变量从a到b的有限和； * symsum(S,v,a,b) 求符号表达式S对于自变量v从a到b的有限和；,第2章 矩阵、数组和符号运算,【例】求级数的和:1/12+1/22+1/32+1/42+ 键入： syms k symsum(1/k2,1,Inf) %k值为1到无穷大 ans = 1/6*pi2 其结果为：1/12+1/22+1/32+1/42+ =2/6,第2章 矩阵、数组和符号运算,例： 分别计算表达式k、 、 syms k x symsum(k) symsum(k2,0,10) symsum(xk/sym(k!),k,0,inf) ans = 1/2*k2-1/2*k ans = 385 ans = exp(x),第2章 矩阵、数组和符号运算,e .Taylor级数展开(Taylor series expanding) *taylor(f) 计算符号表达式f对于默认自变量等于0 处的5阶Taylor级数展开式； *taylor(f,n,v) 计算符号表达式f在自变量v=0处的n-1阶Taylor级数展开式； *taylor(f,n,v,a) 计算符号表达式f在自变量v=a 处的n-1阶Taylor 级数展开式。,第2章 矩阵、数组和符号运算,例： 分别计算表达式 的5 阶Taylor级数展开式和f=exsin(x) 的5 阶及11 阶Taylor级数展开式。 syms x f=1/(5+cos(x); r=taylor(f) f=exp(x*sin(x); r=taylor(f) r=taylor(f,12) r = 1/6+1/72*x2 r = 1+x2+1/3*x4 r = 1+x2+1/3*x4+1/120*x6-11/560*x8-1079/362880*x10,第2章 矩阵、数组和符号运算,f.傅立叶变换和傅立叶逆变换 傅立叶快速离散变换 MATLAB 提供了 fft(内置函数)、ifft、fft2、ifft2、fftn、ifftn、fftshift、ifftshift 等函数，用来计算矩阵的离散快速傅立叶变换。 函数 fft 和 ifft 函数 fft 最完整的调用格式为： Y=fft(X,dim) 或 Y= fft(X,n,dim) 数据长度n是 2 次幂时，可以采用基-2 算法进行快速计算。 输入参数 X 可以是向量、矩阵。 dim 指定变换的实施方向。当 X 是矩阵时， 1 指明变换按列进行（默认），2 指明变换按行进行。,第2章 矩阵、数组和符号运算,第2章 矩阵、数组和符号运算, X=1,2,3;4,5,6;7,8,9 X = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Y=fft(X) Y = 12.0000 15.0000 18.0000 -4.5000 + 2.5981i -4.5000 + 2.5981i -4.5000 + 2.5981i -4.5000 - 2.5981i -4.5000 - 2.5981i -4.5000 - 2.5981i 函数 fft2 和 ifft2 函数 fft2 和 ifft2 是对数据做二维快速傅立叶变换和逆傅立叶变换。数据的二维傅立叶变换 fft2(X)相当于 fft(fft(X)，即先对 X 的列做一维傅立叶变换，然后对变换结果的行做一维傅立叶变换。 其调用格式为： Y=fft2(X,mrows,ncols),傅立叶积分变换及其反变换 离散傅立叶变换（ DFT）作用于有限数据采样，傅立叶变换作用于连续函数 。 傅立叶变换调用格式为： F = fourier(f)：求表达式 f 的傅立叶变换。缺省的自变量为 x，缺省的返回值F是关于 w 的函数。 F = fourier(f,v)：返回函数 F 是关于v 的函数，而不是缺省的 w。 F=fourier(f,u,v)：对关于 u 的函数 f 进行变换，返回函数 F 是 关于 v 的函数。 傅立叶逆变换调用格式为： f = ifourier(F)：符号表达式F的傅立叶逆变换。缺省的自变量为 w，缺省返回f是关于 x 的函数。 f = ifourier(F,u)：返回函数 f 是关于u 的函数，而不是缺省的 x的函数。 f = ifourier(F,v,u)：对关于 v 的函数 F 进行变换，返回关于 u 的函数 f。,第2章 矩阵、数组和符号运算, syms x t w u; fourier(exp(-x2) ans = exp(-1/4*w2)*pi(1/2) fourier(exp(-x2),u) ans = exp(-1/4*u2)*pi(1/2) fourier(exp(-t2),t,u) ans = exp(-1/4*u2)*pi(1/2) ifourier(sym(fourier(f(x),x,w),w,x) ans = f(x) ifourier(exp(-w2) ans = 1/2*exp(-1/4*x2)/pi(1/2),第2章 矩阵、数组和符号运算,第2章 矩阵、数组和符号运算,例：求阶跃信号的fourier变换,syms t w; ut=sym(heaviside(t); %定义0时刻起跳的单位阶跃函数 UT=fourier(ut) %实施Fourier变换，给出与理论一致的结果 UTS=simple(UT) Ut=ifourier(UT,w,t) %结果与原函数相等 Uts=ifourier(UTS,w,t),UT = pi*dirac(w)-i/w %dirac(w)：单位冲激函数 UTS = pi*dirac(w)-i/w Ut = heaviside(t) Uts = heaviside(t),第2章 矩阵、数组和符号运算,【例】用fourier指令求矩形脉冲的Fourier变换。 syms A t w syms tao positive yt=sym(heaviside(t+tao/2)-heaviside(t-tao/2); %定义幅度为1、宽度为tao的矩形脉冲 Yw=fourier(A*yt,t,w) Yws=simple(Yw) Yw = 2*A/w*sin(1/2*tao*w) Yt=ifourier(Yw,w,t) Yt = A*(heaviside(t+1/2*tao)-heaviside(t-1/2*tao),第2章 矩阵、数组和符号运算,【例】求 的Fourier变换，在此x是参数，t是 时间变量。本例演示：fourier的缺省调用格式的使用要十分谨慎；在被变换函数中包含多个符号变量的情况下，对被变换的自变量给予指明，可保证计算结果的正确。 syms t x w;ft=exp(-(t-x)*sym(heaviside(t-x); F1=simple(fourier(ft,t,w) %给出以w为频率变量的正确结果 F2=simple(fourier(ft) %误把x当作时间变量 F3=simple(fourier(ft,t) %误把x当作时间变量，又把t当作频率变量 F1 = exp(-i*x*w)/(1+i*w) F2 = i*exp(-i*t*w)/(i+w) F3 = i*exp(-i*t2)/(i+t),g. Laplace变换 L=laplace(F) x s L=laplace(F,z) x z L=laplace(F,w,z) w z syms x s w z laplace(sin(x) ans = 1/(s2+1) laplace(sin(x),w) ans = 1/(w2+1),第2章 矩阵、数组和符号运算, laplace(sin(x*w) ans = w/(s2+w2) laplace(sin(x*w),w,z) ans = x/(z2+x2),第2章 矩阵、数组和符号运算,【例】求 的Laplace变换。 syms t s; syms a b positive Dt=sym(dirac(t-a); Ut=sym(heaviside(t-b); Mt=Dt, Ut; exp(-a*t)*sin(b*t),t2*exp(-t); MS=laplace(Mt,t,s) MS = ex