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课时分层训练(七十四)不等式的证明1设a，b是非负实数，求证：a2b2(ab)证明因为a2b2(ab)(a2a)(b2b)a()b()()(ab).因为a0，b0，所以不论ab0，还是0ab，都有ab与ab同号，所以(ab) (ab)0，所以a2b2(ab)2设不等式|2x1|1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，bM，试比较ab1与ab的大小. 【导学号：79140400】解(1)由|2x1|1得12x11，解得0x1.所以Mx|0x1(2)由(1)和a，bM可知0a1,0b0.故ab1ab.3(2017石家庄模拟)已知函数f(x)|x|x1|.(1)若f(x)|m1|恒成立，求实数m的最大值M；(2)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2b2M，证明：ab2ab.解(1)f(x)|x|x1|x(x1)|1，当且仅当0x1时取等号，f(x)|x|x1|的最小值为1.要使f(x)|m1|恒成立，只需|m1|1，0m2，则m的最大值M2.(2)证明：由(1)知，a2b22，由a2b22ab，知ab1.又ab2，则(ab)2ab.由知，1.故ab2ab.4已知a，b，cR，且2a2bc8，求(a1)2(b2)2(c3)2的最小值解由柯西不等式得(441)(a1)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32，9(a1)2(b2)2(c3)2(2a2bc1)2.2a2bc8，(a1)2(b2)2(c3)2，当且仅当c3时等号成立，(a1)2(b2)2(c3)2的最小值是.5已知函数f(x)k|x3|，kR，且f(x3)0的解集为1,1(1)求k的值；(2)若a，b，c是正实数，且1.求证：a2b3c9.解(1)因为f(x)k|x3|，所以f(x3)0等价于|x|k，由|x|k有解，得k0，且解集为k，k因为f(x3)0的解集为1,1因此k1.(2)证明：由(1)知1，因为a，b，c为正实数所以a2b3c(a2b3c)332229.当且仅当a2b3c时等号成立因此a2b3c9.6(2018福州质检)已知函数f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)|2x1|1的解集M；(2)设a，bM，证明：f(ab)f(a)f(b). 【导学号：79140401】解(1)当x1时，原不等式可化为x12x2，解得x1；当1x时，原不等式可化为x12x2，解得x1，此时原不等式无解；当x时，原不等式可化为x12x，解得x1.综上，Mx|x1或x1(2)证明：因为f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|，所以，要证f(ab)f(a)f(b)，只需证|ab1|ab|，即证|ab1|2|ab|2，即证a2b22ab1a22abb2，即证a2b2a2b
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