2019届高考数学复习导数及其应用高考专题突破一高考中的导数应用问题学案文北师大版.docx

高考专题突破一高考中的导数应用问题【考点自测】1若函数f(x)2sin x(x0，)的图像在点P处的切线平行于函数g(x)2的图像在点Q处的切线，则直线PQ的斜率为()A. B2C. D.答案A解析f(x)2cos x2,2，g(x)2(当且仅当x1时取等号)当两函数的切线平行时，xp0，xQ1.即P(0,0)，Q，直线PQ的斜率为.2(2017全国)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A1 B2e3 C5e3 D1答案A解析函数f(x)(x2ax1)ex1，则f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1由x2是函数f(x)的极值点，得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30，所以a1.所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1(x2x2)由ex10恒成立，得当x2或x1时，f(x)0，且当x2时，f(x)0；当2x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.所以x1是函数f(x)的极小值点所以函数f(x)的极小值为f(1)1.故选A.3设f(x)，g(x)在a，b上可导，且f(x)g(x)，则当axg(x)Bf(x)g(x)f(a)Df(x)g(b)g(x)f(b)答案C解析f(x)g(x)0，(f(x)g(x)0，f(x)g(x)在a，b上是增函数，当axf(a)g(a)，f(x)g(a)g(x)f(a)4若函数f(x)2x33mx26x在区间(2，)上是增加的，则实数m的取值范围为_答案解析f(x)6x26mx6，当x(2，)时，f(x)0恒成立，即x2mx10恒成立，mx恒成立令g(x)x，g(x)1，当x2时，g(x)0，即g(x)在(2，)上是增加的，m2.5(2017江苏)已知函数f(x)x32xex，其中e是自然对数的底数，若f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是_答案解析因为f(x)(x)32(x)exx32xexf(x)，所以f(x)x32xex是奇函数因为f(a1)f(2a2)0，所以f(2a2)f(a1)，即f(2a2)f(1a)因为f(x)3x22exex3x2223x20，当且仅当x0时“”成立，所以f(x)在R上是增加的，所以2a21a，即2a2a10，所以1a.题型一利用导数研究函数性质例1 (2018沈阳质检)设f(x)xln xax2(2a1)x，aR.(1)令g(x)f(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x1处取得极大值，求实数a的取值范围解(1)由f(x)ln x2ax2a，可得g(x)ln x2ax2a，x(0，)，所以g(x)2a.当a0，x(0，)时，g(x)0，函数g(x)是增加的；当a0，x时，g(x)0，函数g(x)是增加的，x时，g(x)0，函数g(x)是减少的所以当a0时，函数g(x)的递增区间为(0，)；当a0时，函数g(x)的递增区间为，递减区间为.(2)由(1)知，f(1)0.当a0时，f(x)是增加的，所以当x(0,1)时，f(x)0，f(x)是减少的，当x(1，)时，f(x)0，f(x)是增加的，所以f(x)在x1处取得极小值，不符合题意；当0a，即1时，由(1)知f(x)在是增加的可得当x(0,1)时，f(x)0，当x时，f(x)0.所以f(x)在(0,1)上是减少的，在上是增加的所以f(x)在x1处取得极小值，不符合题意；当a，即1时，f(x)在(0,1)上是增加的，在(1，)上是减少的，所以当x(0，)时，f(x)0，f(x)是减少的，不符合题意；当a，即01时，当x时，f(x)0，f(x)是增加的，当x(1，)时，f(x)0，f(x)是减少的所以f(x)在x1处取得极大值，符合题意综上可知，实数a的取值范围为.思维升华 利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值已知f(x)的单调性，可转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图像的性质进行分析跟踪训练1已知aR，函数f(x)(x2ax)ex (xR，e为自然对数的底数)(1)当a2时，求函数f(x)的递增区间；(2)若函数f(x)在(1,1)上是增加的，求a的取值范围解(1)当a2时，f(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，因为ex0，所以x220，解得x0，所以x2(a2)xa0对x(1,1)都成立，即a(x1)对x(1,1)都成立令y(x1)，则y10.所以y(x1)在(1,1)上是增加的，所以y0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围解(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x1或xa(a0)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值故函数f(x)的递增区间是(，1)，(a，)；递减区间是(1，a)(2)由(1)知f(x)在区间(2，1)上是增加的，在区间(1,0)上是减少的，从而函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，当且仅当解得0a0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点(1)解函数的定义域为(0，)由f(x)kln x(k0)，得f(x)x.由f(x)0，解得x(负值舍去)f(x)与f(x)在区间(0，)上随x的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的递减区间是(0，)，递增区间是(，)f(x)在x处取得极小值f()，无极大值(2)证明由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke，当ke时，f(x)在区间(1，上是减少的且f()0，所以x是f(x)在区间(1，上的唯一零点；当ke时，f(x)在区间(1，上是减少的且f(1)0，f()0)，f(1)ab0，f(e)ae2b(e1)a(e2e1)e2e1，a1，b1.(2)证明f(x)x2ln xx1，f(x)(x1)2x2ln xxx2，设g(x)x2ln xxx2(x1)，则g(x)2xln xx1.由(g(x)2ln x10，得g(x)在1，)上是增加的，g(x)g(1)0，g(x)在1，)上是增加的，g(x)g(1)0.f(x)(x1)2.(3)解设h(x)x2ln xxm(x1)21(x1)，则h(x)2xln xx2m(x1)1，由(2)知x2ln x(x1)2x1x(x1)，xln xx1，h(x)3(x1)2m(x1)(32m)(x1)当32m0，即m时，h(x)0，h(x)在1，)上是增加的，h(x)h(1)0成立当32m时，h(x)2xln x(12m)(x1)，(h(x)2ln x32m，令(h(x)0，得x0e1，当x1，x0)时，h(x)是减少的，则h(x)h(1)0，h(x)在1，x0)上是减少的，h(x)h(1)0，即h(x)0不成立综上，m.思维升华 求解不等式恒成立或有解时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值较烦琐时，可采用直接构造函数的方法求解跟踪训练3 已知函数f(x)x32x2xa，g(x)2x，若对任意的x11,2，存在x22,4，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_答案解析问题等价于f(x)的值域是g(x)的值域的子集，显然，g(x)是减少的，g(x)maxg(2)，g(x)ming(4)；对于f(x)，f(x)3x24x1，令f(x)0，解得x或x1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况列表如下：x1(1，)1(1,2)2f(x)00f(x)a4aaa2f(x)maxa2，f(x)mina4，a.1已知函数f(x)xln x.(1)求f(x)的最小值；(2)若对所有x1都有f(x)ax1，求实数a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)的导数f(x)1ln x，令f(x)0，解得x，令f(x)0，解得0x1时，因为g(x)0，故g(x)在1，)上是增加的，所以g(x)的最小值是g(1)1，从而a的取值范围是(，12已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a的值；(2)证明：当k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)是增加的，g(1)k10时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)上是减少的，在(2，)上是增加的，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)上没有实根综上，g(x)0在R上有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点3已知函数f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值；(2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同的交点，求b的取值范围解由f(x)x2xsin xcos x，得f(x)x(2cos x)(1)因为曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，所以f(a)a(2cos a)0，bf(a)，解得a0，bf(0)1.(2)令f(x)0，得x0.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)1所以函数f(x)在区间(，0)上是减少的，在区间(0，)上是增加的，f(0)1是f(x)的最小值当b1时，曲线yf(x)与直线yb最多只有一个交点；当b1时，f(2b)f(2b)4b22b14b2b1b，f(0)11时，曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同的交点综上可知，如果曲线yf(x)与直线yb有两个不同的交点，那么b的取值范围是(1，)4已知函数f(x)a2ln x(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)，若至少存在一个x01，e，使得f(x0)g(x0)成立，求实数a的取值范围解(1)由题意得，函数f(x)的定义域为(0，)，易求得f(x)a，令h(x)ax22xa.当a0时，h(x)0在(0，)上恒成立，则f(x)0时，44a2.()当0a0，即h(x)0，得x；由f(x)0，即h(x)0，得xg(x0)成立，所以ax02ln x0，即a.令F(x)，则题目等价于当x1，e时，aF(x)min.对F(x)求导，得F(x).因为当x1，e时，F(x)0，所以F(x)在1，e上是增加的所以F(x)minF(1)0，因此a0，即实数a的取值范围为(0，)5(2017豫南九校联考)对于函数yH(x)，若在其定义域内存在x0，使得x0H(x0)1成立，则称x0为函数H(x)的“倒数点”已知函数f(x)ln x，g(x)(x1)21.(1)求证：函数f(x)有“倒数点”，并讨论函数f(x)的“倒数点”的个数；(2)若当x1时，不等式xf(x)mg(x)x恒成立，试求实数m的取值范围(1)证明设h(x)ln x，x0，则h(x)0，x0，所以h(x)在(0，)上为递增函数而h(1)10，所以函数h(x)有零点且只有一个零点所以函数f(x)有“倒数点”且只有一个“倒数点”(2)解xf(x)mg(x)x等价于2xln xm(x21)，设d(x)2ln xm，x1.则d(x)，x1，易知mx22xm0的判别式为44m2.当m1时，d(x)0，d(x)在1，)上是减少的，d(x)d(1)0，符合题意；当0m1时，方程mx22xm0有两个正根且0x11d(1)0，不合题意；当m0时，d(x)0，d(x)在(1，)上是增加的，此时d(x)d(1)0，不合题意；当1md(1)0，不合题意；当m1时，d(x)0，d(x)在(1，)上是增加的，此时d(x)d(1)0，不合题意综上，实数m的取值范围是1，)6(2018泉州调研)已知函数f(x)ex，g(x)，a为实常数(1)设F(x)f(x)g(x)，当a0时，求函数F(x)的单调区间；(2)当ae时，直线xm，xn(m0，n0)与函数f(x)，g(x)的