2019版高考数学大复习平面向量第27讲平面向量基本定理及坐标运算学案理.docx

第27讲平面向量的概念与线性运算考试要求1.向量的实际背景(A级要求)；2.平面向量的概念、两向量相等的含义、向量的几何表示(B级要求)；3.向量加法、减法及数乘运算(B级要求)；4.两个向量共线的含义(B级要求)；5.向量线性运算的性质及其几何意义(A级要求).诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)零向量与任意向量平行.()(2)若ab，bc，则ac.()(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立.()(5)在ABC中，D是BC中点，则().()解析(2)若b0，则a与c不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(必修4P62习题5改编)给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若a，b都是单位向量，则ab；向量与相等.则所有正确命题的序号是_.解析根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量与互为相反向量，故错误.答案3.(2018赣榆高级中学月考)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则，则_.解析因为M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以M为AC，BD的中点，所以2，2，所以4，所以4.答案44.在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则等于_.解析，2，即.故.答案5.(2015全国卷)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.解析向量a，b不平行，a2b0，又向量ab与a2b平行，则存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，则得解得.答案知 识 梳 理1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)a；()aaa；(ab)ab3.共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.考点一平面向量的概念【例1】 给出下列四个命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是_.解析不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；正确.，|且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且|，；正确.ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac；不正确.当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是.答案规律方法向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线.【训练1】 给出下列说法：有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.其中正确的说法是_(填序号).解析不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小.答案考点二平面向量的线性运算【例2】 (1)(2018南京模拟)在ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且APAB，BQBC.用，表示，则_.(2)(2013江苏卷)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_.解析(1)().(2)由题意作图如图.在ABC中，()12，1，2.故12.答案(1)(2)规律方法(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.【训练2】 (1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点，那么_(用，表示).(2)(2018泰州模拟)设D为ABC所在平面内一点，若(R)，则_.解析(1)在CEF中，有.因为点E为DC的中点，所以.因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点，所以.所以.(2)由，可得34，即44，则4，即4，可得3，故3，则3.答案(1)(2)3考点三共线向量定理及其应用(多维探究)命题角度1定理的理解【例31】 下列叙述错误的是_(填序号).若ab，bc，则ac；若非零向量a与b方向相同或相反，则ab与a，b之一的方向相同；|a|b|ab|a与b方向相同；向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba；0；若ab，则ab.解析对于，当b0时，a不一定与c平行.对于，当ab0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同.对于，当a，b之一为零向量时结论不成立.对于，当a0且b0时，有无数个值；当a0但b0或a0但b0时，不存在.对于，由于两个向量之和仍是一个向量，所以0.对于，当0时，不管a与b的大小与方向如何，都有ab，此时不一定有ab.故均错.答案命题角度2应用定理求参数的值【例32】 (2018盐城模拟)如图，经过OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设m，n，m，nR，则的值为_.解析设a，b，由题意知()(ab)，nbma，ab，由P，G，Q三点共线，得存在实数使得，即nbmaab，从而消去，得3.答案3命题角度3应用定理证明共线问题【例33】 设两个向量 a与b不共线.(1)试证：起点相同的三个向量a，b，3a2b的终点在同一条直线上(ab)；(2)求实数k，使得kab与2akb共线.(1)证明设a，b，3a2b.因为(3a2b)a2(ab)，ba，所以2，故，共线.又，有公共起点A，所以A，B，C在同一条直线上.(2)解因为kab与2akb共线，所以设kab(2akb)，R，即kab2akb，又a与b不共线，所以所以k.规律方法(1)向量a，b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a，b不共线.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(3)对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，不共线，满足xy(x，yR)，则P，A，B共线xy1.【训练3】 设两个非零向量a与b不共线.(1)若ab，2a8b，3(ab).求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线.(1)证明ab，2a8b，3(ab).2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线.(2)解kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)b.a，b是不共线的两个非零向量，kk10，k210，k1.一、必做题1.(教材改编)若2(cb3y)b0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y_.解析由2(cb3y)b0，得2yacbyb0，即yacb0，所以yabc.答案abc2.(教材改编)已知实数m，n和向量a，b，给出下列命题：m(ab)mamb；(mn)amana；若mamb，则ab；若mana(a0)，则mn.其中正确的命题是_(填序号).解析若m0，则mamb0，但a与b不一定相等，故不正确.答案3.(2018徐州模拟)已知a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，则下列说法正确的是_(填序号).ab0；ab；a与b共线反向；存在正实数，使ab.解析因为a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，则a与b共线同向，故正确.答案4.(2018新海高级中学月考)设a，b是两个不共线的向量，2apb，ab，a2b，若A，B，D三点共线， 则实数p的值为_.解析由ab，a2b，可得aba2b2ab.因为A，B，D三点共线，所以存在实数满足，即2apb(2ab)，所以解得p1.答案15.(2018徐州四校联考)在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则_.解析由2，由()，结合，知.答案6.(2018苏、锡、常、镇四市调研)如图，在ABC中，BO为边AC上的中线，2，设，若(R)，则的值为_.解析因为2，所以.因为CD ，所以设m，从而.因为，所以，1.答案7.(2017盐阜中学检测)设D是ABC所在平面内一点，且3，设xy，则xy_.解析画出图形，如图所示：3，()，x，y，xy1.答案18.(2017无锡一中质检)在ABC中，D在线段BC上，2.若mn，则_.解析因为，2，所以mn，所以m，n，所以.答案9.已知ABC和点M满足0，若存在实数m使得m成立，则m_.解析由已知条件得，如图，延长AM交BC于D点，则D为BC的中点.延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E，F分别为AC，AB的中点，即M为ABC的重心，()，即3，则m3.答案310.已知O，A，B是不共线的三点，且mn(m，nR).(1)若mn1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：mn1.证明(1)若mn1，则m(1m)m()，m()，即m，与共线.又与有公共点B，则A，P，B三点共线，(2)若A，P，B三点共线，则存在实数，使，().又mn.故有m(n1)，即(m)(n1)0.O，A，B不共线，不共线，mn1.二、选做题11.O是平面上一定点，A，B