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第3节 函数的奇偶性与周期性基础对点练(时间:30分钟)1下列函数中,为奇函数的是()Ay2xByx,x0,1Cyxsin x Dy解析:因为y2x2,所以它的图象不关于原点对称,故A不是奇函数;选项B定义域不关于原点对称,故B不是奇函数;设f(x)xsin x,因为f(x)(x)sin(x)xsin xf(x),所以yxsin x是偶函数故选D.答案:D2设f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)2x2x,则f(1)等于()A3 B1C1 D3解析:因为f(x)是奇函数,当x0时,f(x)2x2x,所以f(1)f(1)2(1)2(1)3.答案:A3(高考新课标全国卷)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数解析:f(x)是奇函数,则f(x)f(x),g(x)是偶函数,则g(x)g(x),则f(x)g(x)f(x)g(x),选项A错;|f(x)|g(x)|f(x)|g(x),选项B错;f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|,选项C正确;|f(x)g(x)|f(x)g(x)|,D错故选C.答案:C4已知函数f(x),若f(a),则f(a)等于()A.B C.D解析:根据题意,f(x)1,而h(x)是奇函数,故f(a)1h(a)1h(a)21h(a)2f(a)2.答案:C5已知f(x)是周期为2的奇函数,当0x1时,f(x)lg x,设af,bf,cf,则()Acab BabcCbac Dcba解析:因为affflg lg ,bffflg lg 2,cfflg lg 2,所以bac.答案:A6定义在R上的函数f(x)满足f(x4),且f(2)1,则f(2 018)等于()A1 B1C2 D2解析:f(x4),所以f(x8)f(x),所以f(2 018)f(25282)f(2)1.故选A.答案:A7已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axax2(a0,且a1)若g(2)a,则f(2)等于()A2 B.C. Da2解析:因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以f(2)f(2),g(2)g(2)a,因为f(2)g(2)a2a22,所以f(2)g(2)g(2)f(2)a2a22,由联立得g(2)a2,f(2)a2a2.答案:B8函数f(x)在R上为奇函数,且x0时,f(x)1,则当x0时,f(x)_.解析:因为f(x)为奇函数,x0时,f(x)1,所以当x0时,x0,f(x)f(x)(1),即x0时,f(x)(1)1.答案:19已知函数f(x)为奇函数,函数f(x1)为偶函数,f(1)1,则f(3)_.解析:根据条件可得f(3)f(21)f(21)f(1)f(1)1.答案:110已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)g(x)x,则f(1),g(0),g(1)之间的大小关系是_解析:在f(x)g(x)x中,用x替换x,得f(x)g(x)2x,由于f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以f(x)f(x),g(x)g(x),因此得f(x)g(x)2x.于是解得f(x),g(x),于是f(1),g(0)1,g(1),故f(1)g(0)g(1)答案:f(1)g(0)g(1)11(2018峨眉山模拟)设f(x)的定义域为(,0)(0,),且f(x)是奇函数,当x0时,f(x).(1)求当x0时,f(x)的解析式;(2)解不等式f(x).解:(1)因为f(x)是奇函数,所以当x0时,f(x)f(x),x0,又因为当x0时,f(x),所以当x0时,f(x)f(x).(2)f(x),当x0时,即,所以,所以,所以3x18,解得x2,所以x(0,2),当x0时,即,所以,所以3x32,所以x2,所以解集是(,2)(0,2)能力提升练(时间:15分钟)12函数yf(x)(xR)的图象如图所示,下列说法正确的是()函数yf(x)满足f(x)f(x);函数yf(x)满足f(x2)f(x);函数yf(x)满足f(x)f(x);函数yf(x)满足f(x2)f(x)A BC D解析:根据图象知函数f(x)的图象关于原点对称,故为奇函数,所以正确;又其图象关于直线x1对称,所以正确答案:C13(2018济南一模)已知函数yf(x)是R上的偶函数,当x1,x2(0,)时,都有(x1x2)f(x1)f(x2)0.设aln ,b(ln )2,cln ,则()Af(a)f(b)f(c) Bf(b)f(a)f(c)Cf(c)f(a)f(b) Df(c)f(b)f(a)解析:根据已知条件便知f(x)在(0,)上是减函数,且f(a)f(|a|),f(b)f(|b|),f(c)f(|c|),而|a|ln 1,|b|(ln )2|a|,0|c|a|.答案:C14(2018菏泽模拟)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)0,且f(4x)f(x)现有以下三种叙述:8是函数f(x)的一个周期;f(x)的图象关于直线x2对称;f(x)是偶函数其中正确的序号是_解析:由f(x)f(x2)0,得f(x2)f(x),则f(x4)f(x2)f(x),即4是f(x)的一个周期,8也是f(x)的一个周期,由f(4x)f(x),得f(x)的图象关于直线x2对称;由f(4x)f(x)与f(x4)f(x),得f(4x)f(x),f(x)f(x),即函数f(x)为偶函数答案:15已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间1,a2上单调递增,求实数a的取值范围解:(1)设x0,则x0,所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数,所以f(x)f(x),于是x0时,f(x)x22xx2mx,所以m2.(2)由(1)知f(x)在1,1上是增函数,要使f(x)在1,a2上单调递增结合f(x)的图象知所以1a3,故实数a的取值范围是(1,316设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x2)f(x),当x0,2时,f(x)2xx2,(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x2,4时,求f(x)的解析式;(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 018)(1)证明:因为f(x2)f(x),所以f(x4)f(x22)f(x2)f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数(2)解:由f(x2)f(x),且x0,2时,f(x)2xx2,所以当x2,4时,f(x)f(x
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