浙江专版2018年高中数学第2部分复习课三空间向量与立体几何学案新人教A版.docx

复习课(三)空间向量与立体几何利用空间向量证明平行、垂直问题1空间向量是高考的重点内容之一，尤其是在立体几何的解答题中，主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算解决直线、平面位置关系的判断问题，特别是平行与垂直问题常作为一道解答题的某一小问，属于中档题2利用空间向量证明平行、垂直问题主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助立体几何中关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决空间向量的结论与线面位置关系的对应关系(1)设直线l的方向向量是u(a1，b1，c1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，则luvuv0a1a2b1b2c1c20，luvukv(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)a1ka2，b1kb2，c1kc2(kR)(2)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为u，v，则lmabakb，kR；lmabab0；lauau0；lauaku，kR；uvukv，kR； uvuv0典例如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别在BB1，DD1上，且AMA1B，ANA1D(1)求证：A1C平面AMN；(2)当AB2，AD2，A1A3时，问在线段AA1上是否存在一点P使得C1P平面AMN，若存在，试确定P的位置解(1)证明：因为CB平面AA1B1B，AM平面AA1B1B，所以CBAM，又因为AMA1B，A1BCBB，所以AM平面A1BC，所以A1CAM，同理可证A1CAN，又AMANA，所以A1C平面AMN(2)以C为原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，因为AB2，AD2，A1A3，所以C(0,0,0)，A1(2，2,3)，C1(0，0,3)，(2,2,3)，由(1)知CA1平面AMN，故平面AMN的一个法向量为(2,2,3)设线段AA1上存在一点P(2,2，t)，使得C1P平面AMN，则(2,2，t3)，因为C1P平面AMN，所以443t90，解得t所以P，所以线段AA1上存在一点P，使得C1P平面AMN类题通法利用空间向量证明空间中的位置关系(1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量(2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直(3)线面平行：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示(4)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题(5)面面平行：证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题(6)面面垂直：证明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题1如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1证明：A1C平面BB1D1D证明：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，ABAA1，OAOBOA11，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，D(0，1,0)，A1(0,0,1)由，易得B1(1,1,1)(1,0，1)，(0，2,0)，(1,0,1)，0，0，A1CBD，A1CBB1又BDBB1B，A1C平面BB1D1D2如图，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14(1)求证：ACBC1；(2)在AB上是否存在点D，使得AC1CD?(3)在AB上是否存在点E，使得AC1平面CEB1?解：(1)证明：在直三棱柱ABCA1B1C1 中，因为AC3，BC4，AB5，所以AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)因为(3,0,0)，(0，4,4)，所以0，所以，即ACBC1(2)假设在AB上存在点D，使得AC1CD设(3，4，0)，其中01则D(33，4，0)，于是(33，4，0)，由于(3,0,4)，且AC1CD，所以990，解得1所以在AB上存在点D使得AC1CD，这时点D与点B重合(3)假设在AB上存在点E，使得AC1平面CEB1，设t(3t,4t,0)，其中0t1则E(33t,4t,0)，(33t,4t4，4)，(0，4，4)又因为AEmn成立，所以m(33t)3，m(4t4)4n0，4m4n4，解得t所以在AB上存在点E，使得AC1平面CEB1，这时点E为AB的中点利用空间向量求空间角或其三角函数值利用空间向量求两条异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角是高考的重点和热点，主要以解答题的形式考查，属于中档题，每年必考典例(山东高考)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；(2)已知EFFBAC2，ABBC，求二面角FBCA的余弦值解(1)证明：设CF的中点为I，连接GI，HI在CEF中，因为点G，I分别是CE，CF的中点，所以GIEF又EFOB，所以GIOB在CFB中，因为H，I分别是FB，CF的中点，所以HIBC又HIGII，BCOBB，所以平面GHI平面ABC因为GH平面GHI，所以GH平面ABC(2)连接OO，则OO平面ABC又ABBC，且AC是圆O的直径，所以BOAC以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz由题意得B(0,2，0)，C(2，0,0)过点F作FMOB于点M，所以FM 3，可得F(0，3)故(2，2，0)，(0，3)设m(x，y，z)是平面BCF的法向量由可得可得平面BCF的一个法向量m因为平面ABC的一个法向量n(0,0,1)，所以cosm，n，所以二面角FBCA的余弦值为类题通法用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为090，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面所成的角，先求这个平面的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cosn，a，易知n，a或者n，a(3)二面角：如图，有两个平面与，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面与所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角1(全国乙卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60(1)证明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值解：(1)证明：由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC(2)过D作DGEF，垂足为G由(1)知DG平面ABEF以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz由(1)知DFE为二面角D AFE的平面角，故DFE60，则DF2，DG，可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3，0,0)，D(0,0，)由已知得ABEF，所以AB平面EFDC又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角CBEF的平面角，CEF60从而可得C(2,0，)所以(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n(3,0，)设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m(0，4)则cos n，m由图知，二面角EBCA为钝角，故二面角EBCA的余弦值为2(安徽高考)如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F(1)证明：EFB1C；(2)求二面角EA1DB1的余弦值解：(1)证明：由正方形的性质可知A1B1ABDC，且A1B1ABDC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1CA1D又A1D平面A1DE，B1C平面A1DE，于是B1C平面A1DE又B1C平面B1CD1，平面A1DE平面B1CD1EF，所以EFB1C(2)因为四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，所以AA1AB，AA1AD，ABAD且AA1ABAD，以A为原点，分别以，为x轴，y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A(0,0,0)，D(0,1,0)，A1(0，0,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)，而E点为B1D1的中点，所以E点的坐标为设平面A1DE的法向量为n1(r1，s1，t1)，而该平面上向量，(0,1，1)，由n1，n1得r1，s1，t1应满足方程组(1,1,1)为其一组解，所以可取n1(1,1,1)设平面A1B1CD的法向量为n2(r2，s2，t2)，而该平面上向量(1,0,0)，(0,1，1)，由此同理可得n2(0,1,1)，所以结合图形知二面角EA1DB1的余弦值为1已知ab(2，2)，ab(0，0)，则cosa，b()ABC D解析：选C由已知，得a(1，)，b(1,0，)，cosa，b2已知直线l过定点A(2,3,1)，且n(0,1,1)为直线l的一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为()A BC D解析：选A(2,0，1)，|，则点P到直线l的距离为 3如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则()A2 B2C1 D1解析：选C()2cos，2cos(18060)2cos 12021故选C4如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA12，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G则A1B与平面ABD所成角的正弦值为()A BC D解析：选A以C为坐标原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，CC1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示设CACBa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(a,0,2)，D(0,0,1)，E，G，(0，a,1)点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，平面ABD，0，解得a2，(2，2,2)，平面ABD，为平面ABD的一个法向量又cos，A1B与平面ABD所成角的正弦值为5如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角DABE为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为，且cos ，则()A1 BC D解析：选C建立如图所示空间直角坐标系，设AB1，BC，则F(，0,0)，M，B(0,1,0)，D(0,0，)，(0，1，)cos ，解得，所以6如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1底面ABC，且底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，则平面AB1O1与平面BC1O间的距离为()A BC D解析：选B如图，连接OO1，根据题意，OO1底面ABC，则以O为原点，分别以OB，OC，OO1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系AO1OC1，OBO1B1，AO1O1B1O1，OC1OBO，平面AB1O1平面BC1O平面AB1O1与平面BC1O间的距离即为O1到平面BC1O的距离O(0，0,0)，B(，0,0)，C1(0,1,2)，O1(0,0,2)，(，0,0)，(0,1,2)，(0,0,2)，设n(x，y，z)为平面BC1O的法向量，则n0，x0又n0，y2z0，可取n(0,2，1)点O1到平面BC1O的距离记为d，则d平面AB1O1与平面BC1O间的距离为7如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为_解析：不妨设CB1，则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)(0,2，1)，(2,2,1)cos，答案：8如图，已知矩形ABCD，AB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQQD，则a的值等于_解析：如图，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，a,0)设Q(1，t,0)(0ta)P(0,0，z)则(1，t，z)，(1，at,0)由PQQD，得1t(at)0，即t2at10由题意知方程t2at10只一解a240，a2，这时t10，a答案：29在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角A1BDC1的余弦值是_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A1(1,0,1)，D(0,0,0)，则(1,0,1)，(1,0，1)，(1，1,0)设平面A1BD的一个法向量为n(x，y，z)，则即所以可取n(1，1，1)，同理可求得平面BC1D的一个法向量为m(1，1,1)，则cosm，n，所以二面角A1BDC1的余弦值为答案：10如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0，2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2，4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因为cos，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面ADC1的一个法向量取平面ABA1的一个法向量为n2(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为由|cos |，得sin 因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为11如图，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABACAA，点M，N分别为AB和BC的中点(1)证明：MN平面AACC；(2)若二面角AMNC为直二面角，求的值解：(1)证明：连接AB，AC，则AB与AB交于点M，所以M为AB的中点又N为BC的中点，所以MNAC又MN平面AACC，AC平面AACC，所以MN平面AACC(2)以A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示设AA1，则ABAC，于是A(0,0,0)，B(，0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，B(，0,1)，C(0，1)，所以M，N故，设