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文档简介

第三章 导数,1. 导数的概念,我们已经用极限研究了函数的变化趋势和连 续性，为了 进一步了解函数的性质，我们再用极限来研究变量变化 的快慢程度，这即是微分学中 的重要概念导数。,1. 定义,如果函数 f (x) 在点 x0 处的导数存在，那么称函数f (x) 在点 x0 处可导，反之，称为不可导。,2. 左、右导数,3. 可导与连续的关系,由导数定义可知： 可导 连续,总之，函数的导数是函数对自变量的变化率。,4. 几何意义与物理意义,(1) 曲线的切线的斜率即为函数的导数。,(2) 直线运动的速度即为路程对时间的导数。,(3) 质线的密度是质量对长度的导数。, 2. 初等函数的导数,函数在任意点 x 处的导数,仍是 x 的函数，称为 f (x)的导函数。,1. 基本导数表,2. 函数和、差、积、商的导数,3. 复合函数和反函数的导数,3 . 隐函数及参数方程所确定的函数的导数。,1. 隐函数求导法,利用先取对数再求导的求导方法称为对数求导法。,2 . 参数方程所确定的函数的导数。,4. 微分及其应用,1. 定义,微分是微积分学中又一基本概念，它和导数有着极其密切的关系。,定义：设函数 y = f (x)在 x0 的某个邻域内有定义，如果存在一个与 x 无关的量 A 及一个 x 的高阶无穷小o(x) ，使得函数增量 y 可表示为 y=Ax+o(x) ，则称函数 f (x) 在点 x0 处微分存在 , Ax 称为函数在 x0 处的微分。,当函数 f (x) 在点 x0 的微分存在时，则称函数在该点可微。,2 . 微分与导数的关系,为了形式上统一，记 dx= x ，则 dy = f (x)dx,任意点 x 处的微分称为函数的微分，记作 dy 或 df (x)即 dy = f (x) x,3 . 基本微分表和微分运算法则,微分运算法则,复合函数的微分法则：,这一性质又称微分形式不变性。,4 . 微分的应用,几个常用的近似等式, 5 . 高阶导数与高阶微分,1 . 高阶导数概念,为了形式上统一,二阶及二阶以上阶导数统称为高阶导数,2 . 莱布尼兹公式,此即为莱布尼兹公式,3 . 隐函数及参数方程的高阶导数,下面举例说明隐函数及参数方程所表示函数的二阶导数。,4 . 高阶微分,第三章 重
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