高等数学》(北大第二版)第04章习题.ppt

第四、五章 不定积分和定积分,（习 题 课）,不定积分方法有三种：（一）逐项积分法；（二）换元法 （三）分部积分法.若被积函数为有理函数， 三角函数有理式及简 单无理函数等特殊类型的函数，还可采用一些特定有效的积分法.,（凑微分法）,1 .积分倒代换,化为有理函数的积分,2.简单的无理函数积分,解,3. 利用积分公式,4. 对定积分利用定积分的有关性质,例 8,例 9,例 10,=,（去掉被积函数绝对值符号，利用定积分对区间可加性的性质）,5. 三角函数有理式的积分,证明：,6. 有理函数的积分,积分上限的函数 定义 设f(x)在a,b上连续，称,为积分上限的函数.,定理 （微积分基本定理）设f(x)在a,b上连续，则,在a,b上连续，且在(a,b)内可导并有,由此可见，只要f(x)在a,b上连续，则它在a,b上的原函数是 存在的，例如 就是f(x)在a,b上的一个原函数.,推广:当积分上、下限都是的函数时，有以下的求导公式,例 14,例 15,证 (母函数方法),例 16 p265 设f(x)在区间a,b上连续,且f(x)0,证明,只要证明F(x)单调增加 ，即证,例 17 习题5-2 p241,证明,例 18 已知的f(x)一个原函数为(1+sinx)lnx,求,解 只须利用原函数概念求出f(x)就好办了,例 19 已知 , 求f(x).,解 只须求出导函数 ,便不难得出原函数.,考虑到上式中,且题设,所以应取x0,于是,应舍去负号,练习:,例 22,例 23,例 24,解 令x = tant ( 0 t / 4 ) , 则 t = arctanx,而,再令t= / 4 -u 则,从而,方法二,例 26 已知: 试求常数a的值,解,得a=0或a=-1.,注:,用定积分定义计算数列和的极限的方法:,若被积函数f(x)在a,b上连续,而连续函数是可积的,所以积分与区 间a,b的分法及点 的取法无关.因此若把a,b等份,分点为,则积分和为,若积分区间为0,1,则,例 27 求下列极限,注:,例 28,例 29,例 30,设f(x)在x=0的某邻域内连续,且f(0)=0,解,(2)若f(x)单调不增,则F(x)单调不减.,证 (1) 由题设,即f(x)为偶函数.,当x0时, 因f(x)单调不增, 故,当x0时,综上可知,F(x)单调不减.,例32 设f(x)在区间a,b上连续,且f(x)0,证明,(2) 方程F(x)=0在区间(a,b)内有且有一个根.,证明,p265,因为积分上限的函数可导,知F(x)在a,b上连续,又由零点定理可知:方 程F(x)=0在(a,b)内至少有一个根;,又因 所以F(x)在上单调递增,从而方程F(x)=0 在(a,b内仅有有一个根.,例 27,例 33 设f(x)在0,1内可微,且满足,证,令F(x)=xf(x),F(x) 在 满足R定理的三个条件:,例 34 设f(x)为连续函数,证明,证明,p265,例 35 (p266) 设f(x)在区间a,b上连续,g(x)在区间a,b上连续且不变 号.证明至少存在一点,(积分第二中值定理),证明 由于f(x)在a,b上连续,故f(x)在a,b上存在最大值M和最小 值m,同样有,由于f(x)在a,b上连续,由介值定理的推论知,必存在 使得,例 36 p265 设f(x)在区间a,b上连续,且f(x)0,证明,证法一,证法二(母函数方法),例37 在椭圆 绕其长轴旋转而成的椭球体上,沿其长轴 方向穿心打圆孔,使其剩下部分的体积恰好等于椭球体积的一半,试 求该圆孔的直径.,例 38,切线,求,由(1)式,得,(3)旋转体的体积为,练习题 (1)在曲线 上某点A处作一切线,使之与曲 线以及x轴所围图形的面积为,(1) 切点A的坐标; (2) 过切点A的切线方程; (3)由上述所围平面图 形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.,(1) A(1,1); (2) y=2x-1; (3),(1) 试确定a的值,使 达到最小,并求出最小值;,(2) 求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积,解 (1)当0a1时(如图),S单调减少,故a=0时,s取得最小值,证明 由于f(x)在a,b上连续,故f(x)在a,b上存在最大值M和最小值m,同样有,由于f(x)在a,b上连续,由介值定理的推论知,必存在 使得,例 计算下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的 旋转体的体积：,解,练习题,一、计算下列极限：,二、计算下列导数：,习题 2-2 7.（8) 8. (4) (10) 12. (9) 10.,三、微分中值定理与导数的应用 总习题三 6. 7. 8. 习题-4 (1) (2) 7. (1) (3) 习题 - 1 . 4.,四、积分学 计算下列积分,习题4-3 1. 3. 5. 总习题 四 3. 5. 6 .10 习题 5-4 (1) (3) (6) (10) 习题 6-2 1.