人教版高中数学131第2课时函数的最大值、最小值.ppt

第2课时 函数的最大值、最小值,函数的最大值和最小值 1.最大值 对于定义域为I的函数f(x)，条件：,f(x)M,f(x0)=M,结论：M是定义域为I的函数f(x)的最大值. 几何意义：函数y=f(x)图象上最_点的_. 思考：函数f(x)=-x21总成立吗？f(x)的最大值是1吗? 提示:f(x)=-x21总成立，但是不存在x0使f(x0)=1，所以 f(x)的最大值不是1，而是0.,高,纵坐标,2.最小值 对于定义域为I的函数f(x)，条件： 结论：M是函数f(x)在I上的最小值. 几何意义：函数y=f(x)图象上最_点的_.,f(x)M,f(x0)=M,低,纵坐标,判断：(正确的打“”，错误的打“”) (1)函数f(x)=x的最小值是-.( ) (2)函数f(x)=-x2在1,3上的最小值是-1.( ) (3)函数f(x)=2x在区间1,3)上的最小值是-2，无最大值.( ),提示：(1)错误. 函数f(x)=x在(,+)上无最大值和最小值. (2)错误. 当x=3时函数f(x)=-x2在1,3上取得最小值-9. (3)正确.由于函数f(x)=2x在区间1,3)上是增函数，故当x=-1时函数取得最小值-2，函数无最大值. 答案：(1) (2) (3),【知识点拨】 1.最大值、最小值定义的理解 (1)最大(小)值定义中具备的两个条件 对于定义域内全部元素,都有f(x)M (f(x)M)成立; M首先是一个函数值,它是值域的一个元素,如f(x)=-x2的最大值是0,有f(0)=0,注意定义中“存在”一词的理解. (2)两条件缺一不可,若只有前者, M不是最大(小)值,如f(x)=-x21总成立,但1不是最大值,更不能只有后者,那样就丢掉了最大值的核心了.,2.求最大值、最小值时的三个关注点 (1)利用图象写出最值时要写最高(低)点的纵坐标,而不是横坐标. (2)单调性法求最值勿忘求定义域. (3)单调性法求最值,尤其是闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误,求解时一定要注意.,3.辨析函数的最值和值域 (1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域. (2)函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在. (3)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素.例如，函数f(x)=-x2对任意的xR，都有f(x)1,但是f(x)的最大值不是1，因为1不在f(x)的值域内.,类型 一 图象法求函数最值(值域) 【典型例题】 1.函数y=f(x)，x4,7的图象如图，则其最大值、最小值为( ) A.3，2 B.3，-2 C.3，0 D.2，-2 2.写出函数f(x)=|x+1|+|2x|，x(,3的单调区间和最值.,【解题探究】1.利用图象法求函数的最值时应写最高(低)点的纵坐标,还是横坐标？ 2.题2中求函数的单调区间与最值时应按照怎样的思路求解？ 探究提示： 1.利用图象写出最值时要写最高(低)点的纵坐标,而不是横坐标. 2.应先作图象，找出单调区间，最后确定最值.,【解析】1.选B.观察图象知，图象的最高点(3，3)，最低点 (-1.5，-2)，所以其最大值、最小值分别为3，-2. 2. 其图象如下： 由图象得单调递减区间为(-,-1，单调递增区间为2,3, 有最小值3，无最大值.,【互动探究】把题2中的问题改为求f(x)5的x的取值范围. 【解析】结合题2图象，令g(x)=5,则x的范围为x-2或x=3.,【拓展提升】利用图象法求函数最值 (1)利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方法,对图象易作出的函数常用. (2)图象法求最值的一般步骤:,类型 二 单调性法求函数的最值(值域) 【典型例题】 1.已知函数f(x)=x2+2x+a(x0,2)有最小值-2，则f(x) 的最大值为( ) A.4 B.6 C.1 D.2 2.函数f(x)= (x0). (1)求证：f(x)在(0,+)上是增函数. (2)若函数f(x)的定义域与值域都是 2，求a的值.,【解题探究】1.二次函数在闭区间内求最值的关键是什么? 2.题2(1)证明f(x)的单调性的一般步骤是什么？它对解决(2)是否有作用？ 探究提示： 1.求二次函数f(x)在某区间m,n上的最值的关键是判断函数在m,n内的单调性. 2.证明f(x)单调性的步骤为取值作差变形定号判断(结论)，可以利用其单调性解决(2)中的值域问题，进而求出a的值.,【解析】1.选B.f(x)=x2+2x+a(x0,2)为增函数，所以 最小值为f(0)=a=2，最大值为f(2)=8+a=6.,2.(1)任取x1，x2(0,+)，且x1x2， 则 f(x1)f(x2)， 即f(x)在(0,+)上是增函数. (2)由(1)知，f(x)在(0,+)上是增函数，所以若函数f(x)的定 义域与值域都是 2，则 即 解得a=,【拓展提升】 1.利用单调性求最值的一般步骤 (1)判断函数的单调性.(2)利用单调性写出最值. 2.利用单调性求最值的三个常用结论 (1)如果函数f(x)在区间a,b上是增(减)函数,则f(x)在区间a,b的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值. (2)如果函数f(x)在区间(a,b上是增函数,在区间b,c)上是减函数,则函数f(x)在区间(a,c)上有最大值f(b).,(3)如果函数f(x)在区间(a,b上是减函数,在区间b,c)上是增函数,则函数f(x)在区间(a,c)上有最小值f(b).,【变式训练】已知函数f(x)= x2,5，求其最大 值与最小值. 【解析】任意取x1，x22,5且x10，所以 f(x)= x2,5是减函数，f(5)f(x)f(2)，故 f(x)的最大值为f(2)=2，最小值为f(5)=,类型 三 函数最值的应用 【典型例题】 1.绿园商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为_元/瓶.,2.一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面 m，铅球落地点距 刚出手时相应地面上的点10m，铅球运动中最高点离地面3m， 如图： 已知铅球走过的路线是抛物线，求该抛物线表示的函数的解 析式.,【解题探究】1.解实际应用问题时需要考虑定义域吗？ 2.二次函数解析式有哪几种设法？,探究提示： 1.需要考虑定义域,因为解应用题,就是确定函数,求函数最值的问题,应时刻牢记函数的定义域,不仅使函数式有意义，而且还要与实际问题相符合. 2.(1)一般式: y=ax2+bx+c(a0 ). 已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式,然后列出三元一次方程组求解. (2)顶点式: y=a(x-h)2+k(a0).已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程时,通常设函数解析式为顶点式.,(3)两根式: y=a(xx1)(xx2)( a0).已知二次函数与x轴的两个交点或已知与二次函数对应的一元二次方程的两个实根时,经常采用两根式.,【解析】1.设销售价每瓶定为x元，利润为y元， 则y=(x3)(400+ 40)=80(x3)(9x)= -80(x-6)2+720(x3)，所以x=6时，y取最大值. 答案：6 2.由题意，抛物线的最大值为3，故设抛物线方程为 y=a(xh)2+3(a0)，又其过点(0, )，(10,0)，所以 解得 抛物线方程为 y= (x4)2+3，x0,10.,【拓展提升】解实际应用题的四个步骤 (1)审题:解读实际问题,找出已知条件、未知条件,确定自变量和因变量的条件关系. (2)建模:建立数学模型,列出函数关系式. (3)求解:分析函数性质,利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围). (4)回归:数学问题回归实际问题,写出答案.,【变式训练】快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如图， 各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45千米/时和15千米/时，已知AC150千米，在快艇到达C地之前，经过多少时间，快艇和轮船之间的距离最短？,【解析】设经过x小时后快艇和轮船之间的距离最短，距离设 为y， 由15045= 知定义域为x|0x 可求得当x=3时，y有最小值 故经过3小时，快艇与轮船之间的距离最短.,二次函数在区间上的最值 【典型例题】 1.已知函数f(x)=x2-2ax+2，x-1,1，求函数f(x)的最小值. 2.设函数f(x)=x2-2x+2,xt,t+1,tR，求函数f(x)的最小值.,【解析】1.f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的图象开口向上，且对称轴为直线x=a.,当a1时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间-1，1上是减函数，最小值为f(1)=3-2a; 当-1a1时，函数图象如图(2)所示，函数f(x)在区间-1,1上是先减后增，最小值为f(a)=2-a2; 当a-1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间-1，1上是增函数，最小值为f(-1)=3+2a.,2.f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,xt,t+1,tR，对称轴为直线x=1.,当t+11时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间t,t+1上为增函数，所以最小值为f(t)=t2-2t+2.,【拓展提升】求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在区间m,n上 的最值的类型 (1)若对称轴x= 在区间m,n内，则最小值为f( )，最大 值为f(m),f(n)中较大者(或区间端点m,n中与x= 距离较远的 一个对应的函数值为最大值). (2)若对称轴x= n,则f(x)在区间m,n上是减函数，最大 值为f(m),最小值为f(n).,【规范解答】利用函数的单调性求最值问题 【规范解答】 设x1,x2为1,2上的任意两个实数,且x1x2, 1分,【典例】,【条件分析】,则f(x1)-f(x2) 5分 x1,x21,2,且x1x2, x1-x20.,x1x2(1,4)，x1x2-90, f(x1)f(x2)， 函数f(x)=x+ 在1,2上为减函数. 10分 所以当x=1时取最大值， 最大值f(1)=10, 当x=2时取最小值， 最小值f(2)= 从而函数的最大值是f(1)=10,最小值是f(2)= . 12分,【失分警示】,【防范措施】 1.对单调性定义的把握 在函数的定义域中任给x1 f(x2)的关系，从而得出是增函数还是减函数.如本例中f(x1)- f(x2)0,得出f(x1)f(x2),从而判定为减函数. 2.单调性与最值的关系 利用函数的单调性可以求出函数的最值，这是求最值常用的方 法之一，在求函数的最值时要时刻牢记.如本例中证明f(x)在 1,2上为减函数后，可直接求出其对应的最大值与最小值.,【类题试解】已知函数f(x)=-x2+6x+9在区间a,b(ab3)上 有最大值9，最小值-7，求实数a,b的值. 【解析】f(x)=-x2+6x+9=-(x-3)2+18, 则f(x)在(-,3)上为增函数, 因为ab3，所以当x=a时，函数取得最小值ymin=-7; 当x=b时，函数取得最大值ymax=9, 即 解得：a=8或-2;b=0或6.故a=-2,b=0.,1.函数f(x)=2xx2的最大值是( ) A.1 B.0 C.1 D.2 【解析】选C.函数f(x)=2xx2开口向下，对称轴为x=1，当x=1时，取得最大值1.,2.函数y=2x2+1,xN*的最值情况是( ) A.无最大值，最小值是1 B.无最大值，最小值是3 C.无最大值，也无最小值 D.不能确定最大、最小值 【解析】选B.xN*，且函数在(0，+)上单调递增，故函数在x=1时有最小值3，无最大值.,3.函数f(x)=2+bx在-2,2上的最大值与最小值的差为4，则b的值是( ) A.1 B.-1 C.1或-1 D.0 【解析】选C.由题意知b0,当b0时，f(x)max=2+2b, f(x)min=2-2b, 2+2b-(2-2b)=2+2b-2+2b=4b, 4b=4,b=1. 当b0时，f(x)max=2-2b,f(x)min=2+2b, 2-2b-(2+2b)=-4b,-4b=4,b=-1,由以上可知b=1或-1.,4.函数y=x2+1,x1,2的最大值为_，最小值为_. 【解析】y=x2+1在1,0上单调递增，在0,2上单调递减，又f(1)=0，f(0)=1，f(2)=3，故函数的最大值为1，最小值为-3. 答案：