2019高中数学第四章圆与方程4.2直线、圆的位置关系（第2课时）圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用讲义.docx

第2课时圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P129P132，回答下列问题(1)如何利用几何性质判断圆与圆的位置关系？判断步骤如何？提示：设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：当lr1r2时，圆C1与圆C2外离；当lr1r2时，圆C1与圆C2外切；当|r1r2|lr1r2时，圆C1与圆C2相交；当l|r1r2|时，圆C1与圆C2内切；当l0时，两圆相交，当0时，两圆外切或内切，当0时，两圆外离或内含2归纳总结，核心必记(1)圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含(2)圆与圆位置关系的判定几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断消元，一元二次方程问题思考将两个相交的非同心圆的方程x2y2DixEiyFi0(i1,2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？提示：两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)圆与圆有哪些位置关系？；(2)怎样判断圆与圆的位置关系？.下图为在某地12月24日拍到的日环食全过程可以用两个圆来表示变化过程思考1根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？提示：5种，即内含、内切、相交、外切、外离思考2能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？提示：可以，利用圆心距与半径的关系可判断思考3直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断，那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断？提示：可以讲一讲1当实数k为何值时，两圆C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0相交、相切、相离？(链接教材P129例3)尝试解答将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k.圆C1的圆心为C1(2,3)，半径长r11；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2(k50)，从而|C1C2|5.当15，即k34时，两圆外切当|1|5，即6，即k14时，两圆内切当|1|51，即k(14,34)时，两圆相交当15或|1|5，即k(34,50)(，14)时，两圆相离(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：化成圆的标准方程，写出圆心和半径；计算两圆圆心的距离d；通过d，r1r2，|r1r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系练一练1两圆C1：x2y22x30，C2：x2y24x2y30的位置关系是()A相离B相切C相交D内含解析：选C法一：(几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x1)2y24，(x2)2(y1)22，所以两圆圆心为C1(1,0)，C2(2，1)，半径为r12，r2，则连心线的长|C1C2|，r1r22，r1r22，故r1r2|C1C2|r1r2，两圆相交法二：(代数法)联立方程解得即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交讲一讲2已知圆C1：x2y22x6y10，圆C2：x2y24x2y110，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长尝试解答设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组的解，得： 3x4y60.A，B两点坐标都满足此方程，3x4y60即为两圆公共弦所在的直线方程易知圆C1的圆心(1,3)，半径r13.又C1到直线AB的距离为d.|AB|22.即两圆的公共弦长为.(1)若圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20.(2)公共弦长的求法代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解练一练2求两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80的公共弦所在直线的方程及公共弦长解：联立两圆的方程得方程组两式相减得x2y40，此即为两圆公共弦所在直线的方程法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点坐标满足方程组解得或所以|AB|2，即公共弦长为2.法二：由x2y22x10y240，得(x1)2(y5)250，其圆心坐标为(1，5)，半径长r5，圆心到直线x2y40的距离为d3.设公共弦长为2l，由勾股定理得r2d2l2，即50(3)2l2，解得l，故公共弦长2l2.讲一讲3有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？思路点拨建系后利用居民选择在A地购买商品建立不等关系后化简作出判断尝试解答以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设A(5,0)，则B(5,0)在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A运货到P地的运费为2a元/km.则从B运货到P地运费为a元/km.若P地居民选择在A地购买此商品，则2aa，整理得2y22，即点P在圆C：2y22的内部也就是说，圆C内的居民应在A地购物同理可推得圆C外的居民应在B地购物圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤练一练3台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为()A0.5小时B1小时C1.5小时 D2小时解析：选B以台风中心A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则台风中心在直线yx上移动，又B(40,0)到yx的距离为d20，由|BE|BF|30知|EF|20，即台风中心从E到F时，B城市处于危险区内，时间为t1小时故选B.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是理解并掌握圆与圆的位置关系，会利用方程判断圆与圆的位置关系，以及解决有关问题，能利用直线与圆的方程解决平面几何问题，能利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题难点是利用方程判断圆与圆的位置关系及利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题2本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两圆位置关系的方法及应用，见讲1.(2)求两圆公共弦长的方法，见讲2.(3)解决直线与圆的方程的实际应用问题的步骤，见讲3.3本节课的易错点是判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而丢解，如讲1.课下能力