维随机变量联合及边缘分布.ppt

,概率论与数理统计 第八讲,主讲教师：张冬梅副教授,浙江工业大学理学院,第三章 随机向量,有些随机现象只用一个随机变量来描述是不够的，需要用几个随机变量来同时描述。,3. 导弹在空中位置坐标 (X, Y, Z)。,1. 某人体检数据血压X和心律Y；,例如：,2. 钢的基本指标含碳量 X，含硫量 Y和 硬度 Z ；,一般地, 将随机试验涉及到的 n 个随机量 X1, X2 , , Xn 放在一起，记成 (X1, X2 , , Xn )，称为 n 维随机向量 (或变量)。,由于从二维随机向量推广到多维随机向量并无实质性困难，所以，我们着重讨论二维随机向量。,必须把(X, Y)作为一个整体来看待，加以研究。,定义:二维随机向量(X, Y) 的联合分布函数为,取定x0,y0R =(-,), F(x0,y0)就是点(X,Y)落在平面上，以(x0,y0)为顶点，且位于该点左下方无限矩形区域上的概率。,如果将 (X, Y) 看成平面上随机点的坐标。,3.1 二维随机向量及其分布函数,易见: 随机点(X, Y)落在矩形区域: x1xx2, y1yy2 内的概率为,Px1Xx2 , y1Yy2 =F(x2, y2)-F(x2, y1)- F(x1, y2)+F(x1, y1).,说明,二维分布函数 F(x, y)的三条基本性质 (1).F(x, y)是变量 x,y 的非减函数； 即 yR 给定，当 x1 x2 时， F(x1, y)F(x2, y). 同样, xR 给定，当y1y2时, F(x, y1)F(x, y2).,(2).x, yR, 有 0F(x, y)1；,(3). yR, F(-, y)=0， xR, F(x, -)=0， F(-, -)=0，F(, )=1.,其中,3.2 二维离散型随机向量,如果随机向量 (X, Y) 的每个分量都是离散型随机变量，则称 (X, Y) 是二维离散型随机向量。 二维离散型随机向量 (X, Y) 所有可能取的值也是有限个，或可列无穷个。,离散型随机变量 X 的概率分布:,离散型随机向量 (X, Y) 的联合概 率分布:,联合概率分布也可以用表格表示。 表 3.1,二维离散型随机向量的联合概率表达式与联合分布函数,设二维离散型随机向量 (X, Y) 的联合概率分布为 pij， i=1, 2, , j=1, 2, . 于是, (X, Y) 的联合分布函数为,I 概率密度,设二维随机向量(X, Y)的联合分布函数为F(x, y)，如果存在一个非负函数f(x,y),使得对任意实数 x,y, 有,则称(X,Y)为连续型随机向量,f(x,y)为(X,Y)的 概率密度函数, 简称概率密度。.,3. 3 二维连续型随机向量,连续型随机变量 X 的概率密度:,连续型随机向量 (X,Y) 的联合概 率密度:,对连续型随机向量 (X,Y)，联合概率密度与分布函数关系如下：,在 f (x, y)的连续点；,解: (1). 由,例 2：设(X,Y)的联合概率密度为,其中A是常数。 (1).求常数A； (2).求(X,Y)的分布函数； (3).计算 P0X4, 0Y5。,(3). P0X4, 0Y5,解:,例3：设(X, Y)服从圆域 x2+y24上的均匀分布， 计算P(X,Y)A，这里 A是阴影部分的区域。,圆域 x2+y24面积 d=4；区域A面积=0.5。 故， P(X,Y)A=0.5/4=1/8。,若二维随机向量(X,Y)有联合概率密度,III 二维正态分布,FX(x)=PXx=PXx,Y=F(x,)， FY(y)=PYy=PX,Yy=F(,y).,X与Y的边缘分布函数实质上就是一维随机变量X或Y的分布函数。称其为边缘分布函数是相对于 (X,Y) 的联合分布而言的。,注意:,求法:,则 X 的边缘概率分布为,Y 的边缘概率分布为,设(X, Y ) 是二维离散型随机向量，联合概率分布为,3.4.2 二维离散型随机向量的边缘分布,解：,例1：求 (X,Y)的分量X和Y的边缘分布。,把这些数据补充到前面表上，,3.4. 3 连续型随机向量的边缘概率密度,若 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y)，则,X的边缘概率密度为,Y 的边缘概率密度为,例2：若(X,Y)服从矩形区域 axb，cyd 上均匀分布，则边缘概率密度分别为,注：本例中X与Y都是服从均匀分布的随机变量。 但对其它非矩形区域上的均匀分布不一定有上述结论。,例3：设(X,Y)服从单位圆域 x2+y21上的均匀分布。求X和Y的边缘概率密度。,解:,当|x|1时,当-1x1时,( 注意积分限的确定方法 ),由X 和Y 在问题中地位的对称性, 将上式中的 x 改为 y，得到 Y 的边缘概率密度,熟练时，被积函数为零的部分可以不写。,例4：设(X, Y)的概率密度为,求 (1). c的值; (2). 边缘密度。,= 5c/24=1,c = 24/5;,解: (1).,解: (2),注意积分限,注意取值范围,注意积分限,注意取值范围,即,例5：设 (X, Y) 求X和Y 的边缘概率密度。,解： 由,说明,对于确定的 1, 2, 1, 2, 当 不同时, 对应不同的二维正态分布。但它们的边缘分布是相同的.,联合分布 边缘分布 联合分布 边缘分布,小