线性定常系统的设计与综合.ppt

,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,1.状态空间设计法的基本思路、线性反馈控制系统的基本结构及特性 2. 状态反馈的极点配置和输出反馈的极点配置 3. 系统解耦 4. 状态观测器 观测器基本概念及其意义； 全维状态观测器的设计方法； 降维状态观测器的设计方法。 5. 带状态观测器的状态反馈系统设计方法,第五章 线性定常系统的设计与综合,本章内容,（1）系统分析,（2）系统综合,在建立数学模型的基础上分析系统的各种性能,如系统稳定性，能观性，能控性等及其与系统的结构、参数和外部作用之间的关系。,系统综合的任务是设计系统控制器，寻求改善系统性能的各种控制规律，以保证系统的各项性能指标要求都得到满足。,现代控制理论研究的两大课题,控制系统的分析(System Analysis)和综合设计(System Synthesis)是系统研究的两大课题。,第五章 线性定常系统的设计与综合,（1）系统分析,系统的运动稳定性分析。,线性系统的状态空间描述及求解,线性系统的可控性和可观性。,状态空间的基本概念；动态方程模型的建立；线性变换；动态方程的标准型,状态转移矩阵及其性质；状态方程的求解。,可控性和可观性的概念；可控性和可观性判据；线性系统结构分解；离散系统可控性和可观性研究。,李雅普诺夫第一、第二法；李雅普诺夫意义下的稳定性分析。,第五章 线性定常系统的设计与综合,（2）系统综合,常规综合(Conventional Synthesis ) 只满足系统的某些笼统的指标要求，如稳定 性、快速性及稳态误差;,最优综合(Optimal Synthesis)。 最优综合（控制）是确保系统某种指标最优 的综合，如最短时间、最低能耗等。,状态反馈和状态观测器设计。 状态反馈与闭环极点配置；状态反馈对可控性和可观测性的影响；状态反馈下闭环系统的镇定问题；输出反馈与极点配置；状态观测器设计；解耦控制。,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,1）综合问题 给定系统状态空间描述,A、B、C均为常阵且给定。 再给出所期望的性能指标： 1）对系统状态运动期望形式所规定的某些特征量。 2）对其运动过程所规定的某种期望形式或需取极小（或极大） 值的一个性能函数。,综合：寻找一个控制作用 u ，使得在其作用下，系统运动的行为满足所 给出的期望性能指标。,（2）系统综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,一般 u 依赖于系统的实际响应。 形式为： u = - k x + v 状态反馈控制 （2） u = - F y + v 输出反馈控制 （3） 其中：k 为 pn常阵，状态反馈矩阵。 F为 pq常阵，输出反馈矩阵。 v参考输入向量。,2） 性能指标的类型 性能指标 非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达 到或好于期望指标就算实现了综合目标。 优化型性能指标： 是一类极值型指标，综合的目的是要使 性能指标在所有可能值中取为极小（或 极大）值。,第五章 线性定常系统的设计与综合,常用非优化型性能指标： （1）以渐近稳定性为性能指标，相应的综合问题称为镇定问题。 （2）以一组期望的闭环系统极点作为性能指标，相应的综合问题为极点 配置问题。系统运动的形态，即动态性能（如超调量、过渡过程） 主要由极点的位置所决定。 （3）以使系统的输出 y 无静差地跟踪一个外部信号 作为性能指 标，相应的综合问题为跟踪问题。,（4）以便一个多输入多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作为 性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。 优化型性能指标常取一个相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，其形式为：,第五章 线性定常系统的设计与综合,3） 研究综合问题的思路 1 建立可综合的条件： 建立相对于给定的受控系统和给定的期望性能指标，使相应的控制存在，并实现综合目标所应满足的条件。 2 建立起相应的用以综合控制规律的算法。 利用这些算法，对满足可综合条件的问题，确定出满足要求的控制规律，即确定出相应的状态反馈和输出反馈矩阵。,第五章 线性定常系统的设计与综合,5.1 线性定常系统的反馈,与经典控制理论一样，现代控制系统中仍然主要采用反馈控制结构-在抗干扰性或鲁棒性能方面，反馈闭环系统的性能都远优于非反馈或开环系统。,第五章 线性定常系统的设计与综合,经典控制理论中主要采用输出反馈以改善系统性能，而现代控制中除了利用输出反馈以外，主要采用内部状态反馈。采用状态反馈可以为系统控制提供更多的信息反馈，不但可以实现闭环系统极点的任意配置，而且还可以实现系统解耦和形成最优控制规律。,第五章 线性定常系统的设计与综合,设单输入系统的动态方程为,状态向量x通过待设计的状态反馈矩阵k，负反馈至控制输入处，于是,从而构成了状态反馈系统（见图5-1）。,图5-1状态反馈至控制输入处方块图,一、状态反馈,第五章 线性定常系统的设计与综合,受控系统,线性反馈规律,通过状态反馈构成闭环系统,第五章 线性定常系统的设计与综合,一般D=0，可化简为 闭环传递函数矩阵为,状态反馈矩阵K的引入，并不增加系统的维数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统获得所要求的性能。,第五章 线性定常系统的设计与综合,二 输出反馈 输出反馈，就是将系统的输出量回馈到系统的输入端，与参考输入一起，对受控对象进行控制。在现代控制理论中，带输出反馈结构的控制系统，根据反馈信号回馈点的位置不同，有两种基本结构。 一种是反馈信号回馈至输入矩阵B的后端， 或者说，回馈点在状态微分处。图5-2为多输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。另一种是反馈信号回馈至输入距阵B的前端，或者说，回馈点在参考信号的入口处。图5-3为多输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。,第五章 线性定常系统的设计与综合,图5-2 多输人-多输出系统输出反馈至状态变量微分处,图5-3 多输人-多输出系统输出反馈至输入处,第五章 线性定常系统的设计与综合,值得注意的是，从结构图看，这两种结构之间可通过等效变换进行相互转换。例如，可将图5-2中的反馈信号回馈点移到输入矩陈B的前端，如图5-4所示。这样，图5-3和图5-4具有相同的结构型式。只是，在图5-4中的反馈矩阵为HB，而在图5-3中的为H。但是，由于多输入多输出系统中，B和H均是矩阵，而二个矩阵相除(或相乘)不一定有解。因此，图5-2所表示的系统与图5-4所表示的系统，在实际的工程系统中，不一定具有等效性。,图5-4,图5-2,1. 输出反馈至输入处 方块图：,第五章 线性定常系统的设计与综合,通过输出反馈构成的闭环系统为(D=0),通过输出反馈构成的闭环系统为(D0),第五章 线性定常系统的设计与综合,闭环传递函数矩阵 或,状态反馈和输出反馈对比 输出反馈中的HC与状态反馈中的K相当。但由于mn，所以H可供选择的自由度远比K小，因而输出反馈只能相当于一种部分状态反馈。只有当CI时，HCK，才能等同于全状态反馈。因此，在不增加补偿器的条件下，输出反馈的效果显然不如状态反馈系统好。但输出反馈在技术实现上的方便性则是其突出优点。,两者比较：状态反馈效果较好； 输出反馈实现较方便。,第五章 线性定常系统的设计与综合,2. 从输出到状态矢量导数 反馈,从系统输出到状态矢量导数 的线性反馈形式在状态观测器中获得应用。,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,闭环系统的传递函数阵,从式(5-21)看出，通过选择矩阵G也能改变闭环系统的特征值，从而影响系统的特性。,第五章 线性定常系统的设计与综合,三 对两种反馈形式的讨论 1）两种形式反馈的重要特点是，反馈的引入并不增加新的状态变量，即闭环系统和开环系统具有相同的阶数。 2）两种反馈闭环系统均能保持反馈引入前的能控性，但是对于状态能观测性则不然，状态反馈的引入不一定保持原系统的能观测性，而输出反馈的引入，必能保持原系统的能观测性。,第五章 线性定常系统的设计与综合,四 反馈形式的改进形 1、带有观测器的状态反馈系统 设法由输出y和控制v把系统的状态x构造出来，以实现状 态反馈。 方块图：,第五章 线性定常系统的设计与综合,是X的重构状态，阶数小于等于X的阶数。 2、带有补偿器的输出反馈系统 方块图： 闭环系统阶数为受控系统与补偿器阶数之和。 补偿器阶数受控系统阶数.,第五章 线性定常系统的设计与综合,五. 状态反馈的能控性和能观测性,第五章 线性定常系统的设计与综合,定理 线性定常系统（6）引入状态反馈后，成为系统（8），不改变系统的能控性。,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,定理 输出反馈不改变原受控系统的能控性和能观测性。,证明 因为输出反馈中的HC等效于状态反馈中的K,那么输出反馈也保持了受控系统的能控件不变。关于能观测性不变，可由能观测性判别矩阵判别。,可以把反馈后的能观矩阵看作经初等变换的结果，而初等变换不改变矩阵的秩，因此能观测性保持不变。,第五章 线性定常系统的设计与综合,一、问题的提出： 1、极点对系统特性的影响 2、极点配置问题： 通过状态反馈矩阵K的选择，使闭环系统(A- BK,B,C) 的极点，即(A-BK)的特征值恰好处于所希望的一组极 点位置上。 3、希望极点选取的原则 1）n维控制系统有n个希望极点； 2）希望极点是物理上可实现的，即为实数或共轭复数对； 3）希望极点的位置的选取，需考虑它们对系统品质的影响， 及与零点分布状况的关系。 4）希望极点的选取还须考虑抗干扰和低灵敏度方面的要求。,5.2 SISO反馈系统的极点配置,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,二 状态反馈方式的极点配置, 定理 用状态反馈任意配置系统闭环极点的充要条件是系统可控。,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,确定状态反馈增益矩阵K, 爱克曼公式(Ackermanns Formula),第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,式中,利用状态反馈控制,极点为s = -2j4和s = -10。试确定状态反馈增益矩阵K。,例:考虑如下线性定常系统,，希望该系统的闭环,第五章 线性定常系统的设计与综合,首先需检验该系统的能控性矩阵。由于能控性矩阵为：,得detQ = -1。因此，rankQ = 3。该系统是状态完全能控的，可任意配置极点。,设期望的状态反馈增益矩阵为,并使,和期望的特征多项式相等，可得,期望的特征方程为：,第五章 线性定常系统的设计与综合,因此,从中可得,或,第五章 线性定常系统的设计与综合,利用爱克曼公式,可得,由于,且,第五章 线性定常系统的设计与综合,可得,第五章 线性定常系统的设计与综合,三 输出反馈方式的极点配置,定理：对完全能控的单输入单输出系统，不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置,第五章 线性定常系统的设计与综合,定理：通过输出至状态微分的反馈可任意配置全部闭环极点的充要条件为： 该系统完全可观测。,三 输出反馈方式的极点配置,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,如果系统不完全可控，状态反馈可任意配置闭环极点的个数等于系统的可控子空间维数； 单输入系统的状态反馈阵K唯一； 状态可控的SISO系统，引入状态反馈配置闭环极点时，一般不改变系统传递函数零点，除非系统传递函数出现零极相消； 对于SISO系统，引入状态反馈将影响系统的稳定性； 状态完全可控的线性定常系统采用输出反馈一般不能任意配置闭环全部极点。,说明,第五章 线性定常系统的设计与综合,. 系统的镇定,所谓镇定问题是指受控系统,状态反馈能镇定：如果一个系统通过状态反馈能使其渐近稳定则称系统是状态反馈能镇定的。 输出反馈能镇定：如果一个系统通过输出反馈能使其渐近稳定则称系统是输出反馈能镇定的。 镇定问题是极点配置问题的一种特殊情况。其设计目标是使闭环极点分布在复平面左侧，而不是严格位于指定的位置。显然，为了使系统镇定，只需将那些不稳定因子即具非负实部的极点配置到根平面左半部即可。因此，在满足某种条件下，可利用部分状态反馈来实现。,通过反馈,使闭环系统的极点具有负实部，使系统渐近稳定。,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,二、状态反馈可镇定,定义5.1（状态可镇定定义）： 对于线性定常系统,，如果存在状态,，使得闭环系统,是渐近稳定的，则称此系统是状态可镇定的。,反馈增益矩阵,结 论：,如果,完全可控，则它必然是可镇定的。,但是一个可镇定的系统未必是完全可控的。,第五章 线性定常系统的设计与综合,定理：线性定常系统,是状态可镇定的,充要条件是其不可控子系统是渐近稳定的,第五章 线性定常系统的设计与综合,【例】已知系统状态方程为,试判别其是否为可镇定的。若是可镇定的，,渐近稳定的。,试求一状态反馈增益矩阵,使闭环系统为,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,第五章 线性定常系统的设计与综合,三 输出反馈可镇定,定理：线性定常系统,是输出反馈可镇定的,充要条件是其结构分解中的能控且能观子系统是 输出反馈能镇定的；其余子系统是渐近稳定的。,系统可控可观测部分为可镇定的。 系统可控不可观测、不可控可观测和不可控不可观测三部分均为渐进稳定。,第五章 线性定常系统的设计与综合,三 输出反馈可镇定,定理：线性定常系统,是输出到微分处反馈,可镇定的充要条件是原系统不能观子系统为渐进稳定。,第五章 线性定常系统的设计与综合,5.4 系统解耦,解耦问题是多输入-多输出系统综合理论中的重要组成部分。 设计目的：寻求适当的控制律，使输入输出相互关联的多变量系统实现每一个输出仅受相应的一个输入所控制，每一个输入也仅能控制相应的一个输出，这样的问题称为解耦问题。,考虑系统,其传递函数矩阵为 ，其输入输出之间有,式中gij(s)是G(s)的第i行第j列元素。可见每一个输入控制 多个输出，每个输出为多个输入所控制，这一现象我们称为耦合现象。这时，如果要在其他输出都不改变的情况下去调整每个输入，那么找出完成上述目的的一组输入u1, u2,un是不容易的。,第五章 线性定常系统的设计与综合,一.解耦系统,在现代化的工业生产中，不断出现一些较复杂的设备或装置，这些设备或装置的本身所要求的被控制参数往往较多，因此，必须设置多个控制回路对该种设备进行控制。由于控制回路的增加，往往会在它们之间造成相互影响的耦合作用，也即系统中每一个控制回路的输入信号对所有回路的输出都会有影响，而每一个回路的输出又会受到所有输入的作用。要想一个输入只去控制一个输出几乎不可能，这就构成了“耦合”系统。由于耦合关系，往往使系统难于控制、性能很差。,第五章 线性定常系统的设计与综合,解耦控制,所谓解耦控制系统，就是采用某种结构，寻找合适的控制规律来消除系统种各控制回路之间的相互耦合关系，使每一个输入只控制相应的一个输出，每一个输出又只受到一个控制的作用。典型的解耦控制系统结构示意图如下。,-,解耦控制器,y,待解耦系统,u,第五章 线性定常系统的设计与综合,工程实例一：飞机,飞机在飞行中我们感兴趣的输出量是俯仰角、水平位置和高度，控制输入变量是三个机翼的偏转。因为三个输出量之间有耦合，如果要同时操纵三个输入量并成功地控制飞机，要求驾驶员有相当高的技巧。如果系统实现了解耦，就为驾驶员提供了三个独立的高稳定性的子系统，从而可以独立地调整其俯仰角、水平位置和高度。,第五章 线性定常系统的设计与综合,解耦控制的基本原理,分析多变量系统的耦合关系可以看出，控制回路之间的耦合关系是由于对象特性中的子传递函数gij(s),i j，i, j=1,2,n造成的。若 是一个非奇异对角形有理多项式矩阵，则该系统是解耦的。寻找消除耦合的办法实际就是使系统传递函数阵对角化，这样就在实际系统中消除了通道间的联系，简化了结构的设计，因而具有实际意义。,第五章 线性定常系统的设计与综合,从信号观点看解耦后的系统，一个被控量只受一个控制量的控制，与其他控制量无关；从结构看解耦后的系统，原耦合的多变量系统变成为彼此相互独立的单输入单输出系统。,g11(s),g21(s),gn1(s),y1,y2,yn,u1,u2,un,解耦