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第三节 任意项级数及其审敛法,1. 定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.,2.定理1(莱布尼茨定理) 如果交错级数满足条件:,则级数收敛,且其和 ,其余项 的绝对值,一 交错级数及其审敛法,证明,数列 是单调增加的.,又,满足收敛的两个条件,定理证毕.,级数收敛于和 ,且,余项,解,例1 讨论交错级数 的敛散性.,且,收敛,且其和为,用 替代 ,误差,类似得 , 均收敛.,例2 讨论级数 的敛散性.,又,解,即,收敛.,例3 讨论级数 的敛散性.,解,又,故函数 单减,从而,所以原级数收敛.,注意,2. 莱布尼兹定理的两个条件仅是充分条件,但 也是必要条件.,1.定义1. 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,2.定理2 若 收敛,则 收敛.,定义2. 若 收敛,则称 为绝对收敛；,若 发散,而 收敛则称 为条件收敛；,二 绝对收敛与条件收敛,注: 定理2主要用来联系任意项级数和正项级数, 并进行前者敛散性的判别.,证明,解,例4 判别下列级数是否收敛,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?,在例3中已证明了 收敛.,发散,从而原级数条件收敛.,从而原级数发散.,
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