数学：1.3.2《算法案例-秦九韶算法》课件(新人教A版必修3).ppt

1.3算法案例,第二课时,秦九韶算法,教学设计,问题1 求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值。,点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次加法运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高.,分析：这种算法中用了几次乘法运算和几次加法运算？,（2677）,这析计算上述多项式的值,一共需要9次乘法运算,5次加法运算.,问题2有没有更高效的算法?,分析:计算x的幂时,可以利用前面的计算结果,以减少计算量,即先计算x2,然后依次计算,的值.,第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到结果.,分析：这种算法中用了几次乘法运算和几次加法运算？,问题3能否探索更好的算法,来解决任意多项式的求值问题?,f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 =(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 =(2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 =(2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 =(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7,v0=2 v1=v0x-5=25-5=5 v2=v1x-4=55-4=21 v3=v2x+3=215+3=108 v4=v3x-6=1085-6=534 v5=v4x+7=5345+7=2677,所以,当x=5时,多项式的值是2677.,分析：这种算法中用了几次乘法运算和几次加法运算？,5次乘法运算,5次加法运算,问题4 利用后一种算法求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的值，这个多项式应写成哪种形式？,f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+a2x+a1)x+a0 =(anxn-2+an-1xn-3+a2)x+a1)x+a0 = =(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0.,问题5对于多项式 f(x)=(anx+an-1)x+ an-2)x+a1)x+a0 由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？,第一步，计算v1=anx+an-1.,第二步，计算v2=v1x+an-2.,第三步，计算v3=v2x+an-3. ,第n步，计算vn=vn-1x+a0.,思考：在多项式的求值上，这是怎样的一种转化？,问题6对于多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0 这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。利用该算法求f(x0)的值，一共需要多少次乘法运算，多少次加法运算？,问题7在秦九韶算法中，记v0=an，那么第k步的算式是什么？,vk=vk-1x+an-k (k=1，2，n),n次乘法运算, n次加法运算,秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法. 它的特点是:把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值,通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可，大大提高了运算效率.,秦九韶算法的特点：,理论迁移,例:用秦九韶算法求多项式 f(x)=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8当x=5时的值.,f(x)=(5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8.,v1=55+2=27；,v2=275+3.5=138.5；,v3=138.55-2.6=689.9；,v4=689.95+1.7=3451.2；,v5=3451.25-0.8=17255.2.,所以f(5)= =17255.2.,解:首先将原多项式改写成如下形式 :,v0=5,你从中看到了怎样的规律？怎么用程序框图来描述呢？,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即,1.已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1 用秦九韶算法求这个多项式当x=-2时的值。,练习：,2.已知多项式f(x)=2x6-6x4-5x2+4x-6 用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值。,3.已知多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当 x=5用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值,注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项应将其系数补0.,你从中看到了怎样的规律？怎么用程序框图来描述呢？,评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法.,课堂小结： 秦九韶算法的方法和步骤,(1)、算法步骤：,第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值.,第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1.,第三步：输入i次项的系数an.,第四步：v=vx+ai, i=i-1.,第五步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v。,课后思考：用秦九韶算法求多项式的值，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？程序框图？程序呢？,（2）程序框图：,（3）程序：,INPUT “n=”; n INPUT “an=”