《阶电路的瞬态分析》PPT课件.ppt

第五章 一阶电路的瞬态分析,第一节 概述 电路结构，参数或电源的改变，称为换路。 电路从一种稳定状态转为另一种稳定状态，称为过渡过程。,（1）对于纯电阻电路，电路中电压和电流的变化是“立即”完成的。 K闭合 ，K打开,（2）对于存在电容和电感的电路，电容元件的电压（电荷）和电感元件的电流（磁链）变化一般需要时间。（过渡过程时间）。,例：如果电容原来不带电，在开关闭合时，电容电压从0变为 。电容电流,若电容电压能“瞬间”从0升到 ，则必需有:,电容电压上升需要时间！,例：原来电感,，,K闭合稳态时,若电感电流,能“瞬时”从0升到,则需一个无穷大端电压。,电感电流上升需要时间！,过渡过程分析方法： 1. 经典法 2. 拉普拉斯变换法 3. 状态变量法 4. 积分法,由KCL、KVL及元件电压电流关系（ ）列出电路方程，然后解出微分方程。,例： 经典法解过渡过程,一阶微分方程,若Us(t)=Us,从方程解出电容电压,的一般解(一阶微分方程解),再由初始条件确定各系数。,第二节 换路定则与初始条件,1. 换路法则：（一般情况） （1）电容电压在换路前后的值不变,由,当 ，而 为有限值，则有,（2）电感电流在换路前后的值不变,由,当 而 为有限值时，则有 。,例 ：图示电路，开关闭合已久。求开 关打开瞬间电容电压电流,电感电压电流,，,电阻电压,。,由换路定则，,解：开关闭合时的电容电压,与电感电流,为,利用换路定则计算换路后瞬间电路状态,等效电路如图，,得：,电感等效于一电流源,因此计算,电路时，电容等效于一电压源,，,例 ： 图示电路,，开关闭合已久，,求开关打开瞬间电阻R1上的电流,解：开关闭合时有,开关打开后等效电路如图,由换路定可知：,可以看到：换路前后瞬间,连续；,和,和,不连续。,的导数和,在换路前后都是不连续的,的导数,因此：,第三节 一阶电路的零输入响应,零输入响应：当换路后的电路无外加激励源，仅由储能元件的初始储能引起的响应 利用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路,开关合向右边后，电路方程建立：（KVL）,得：,电路为一阶微分方程，故又称为一阶电路，初始条件：,一、RC电路零输入响应,特征方程： RCS+1=0,一阶线性常系数齐次微分方程,电路方程解：,式中：,为电路时间常数，单位为秒。,由初始条件,得,电容电压响应（变化规律）：,电压波形为,负号表示实际的电容放电电流方向与假设的参考方向相反,响应与电源（激励）无关 ， 又叫自由响应（natural response) 暂态响应（transient response）,零输入响应特点： （a）,零输入响应是初始值的线性函数，满足 齐次性，可加性,U0：,KU0 ：,U01+U02：,（b) 能量传输,t=0 电容能量：,电阻消耗能量：,电容上的能量完全被电阻消耗掉,反映了电容电压下降为,原值0.368时所需时间。,（c）时间常数（Time constant）反映电路达到稳态所需要的时间,t 0+ 2 3 4 5 uC U0 0.368U0 0.135U0 0.050U0 0.018U0 0.007U0 0,4 5 时间，电路达到稳定.,改变电阻会改变电容电压的下降速度 利用RC电路可做成简易延时电路,（d）时间常数的计算： 确定时间常数需简化电路为R-C形式。 电容以外的电路去掉独立电源后简化为一个等效电阻。 （无源网络简化）,=ReqCeq Req=R1+R2/R3 Ceq=C1/(C2+C3), u1(t1)=uC (t1),次切线法 tangent at P,例1 ： 如图所示为换路后的电路，其中,求零输入响应,解：在外围电路中应用KVL，可得,于是,可得等效电阻为：,时间常数为 ：,零输入响应为：,例2：K闭合前电路处稳态，R1=1，R2=2，R3=3，C1=1F，C2=2F，IS=1A，t=0时K闭合，求t0时uC1、uC2、i1、i2、i。,1=R1C1=1s，uC 1(0+)= uC 1(0)=5V,R1,Is,R2,R3,+,u,C1,-,+,u,C2,-,t=0,-,uC 1(0)=(R2+R3)IS=5V， uC2(0)=R3IS=3V,解：,R=R2/R3=1.2 2=RC2=2.4s uC 2(0+)=uC 2(0)=3V,为时间常数，,初始条件,方程解,由初始条件解得:,二、 RL电路的零输入响应,开关合向下后可建立方程：,一阶线性常系数齐次微分方程,指数规律衰减，最终衰减至零,对应的电阻电压：,电感电压：,与RC电路中的时间常数一样，它反映了过渡过程进程的快慢,（1）RL电路零输入响应与RC电路一样是初始值的线性函数，满足齐次性，可加性,（2）在整个过渡过程中，电阻上消耗的总能量为：,电阻上消耗的能量就等于电感L上的初始储能,第四节 一阶电路的零状态响应,零状态响应： 当所有的储能元件均没有初始储能，即电路处于零初始状态情况下，外加激励在电路中产生的响应。,电路状态是指电路储能元件的状态（电压、电流值）。,电路响应由外加激励引起：零状态响应。,一、直流激励下RC串联 电路的零状态响应,电路中电容电压初始值为零,式中,一阶线性常系数非齐次微分方程,特解 ：,齐次方程的通解：,全解为：,强制响应( forced response)或稳态响应( steady-state response),自由响应或暂态响应（transient response）,（ b） 充电过程电阻耗能：,电容最终储能：,充电过程有一半能量消耗在电阻。,（a）零状态响应与电源（激励）成正比,（c） Time constant =RC,tangent at P,u1= k(tt1)+uP,4 5 电路达到稳态,解：,0t6s：,1=R2C=6s,例：R1=1，R2=2，C=3F，iS=1A，K打开前电路为零状态。 t=0时K打开，经过6秒后，K又闭合，求t0时的uC 。,k=2,t6s ：,2=RC=2s,二、直流激励下RL串联电路的零状态响应,一阶线性常系数非齐次微分方程,方程的全解是其特解和齐次方程的通解之和,特解对应的分量为强迫分量，此处的激励是直流电源，强迫分量即稳态分量。,通解为：,例：图示电路,t=0开关S闭合，求零状态响应：,解：,三、正弦交流激励下RL串联电路的零状态响应,激励为正弦交流电压源：,初始条件仍为：,设该特解：,代入微分方程可得：,令:,有:,式（1）,令:,式（1）左边可改写为：,则：,特解为：,全解为：,从上述求解过程可以看出，正弦信号激励下的电路求解过程比较繁琐。可采用后述的“相量法”，简化计算过程。,第五节 一阶电路的全响应和三要素法,由外施激励和储能元件的初始储能共同引起的响应，称为全响应。 全响应即意味着微分方程的全解，是方程的特解与其齐次方程的通解之和。,开关S处位置1已久,在开关S切换后：,通解为：,全响应：,零输入响应,零状态响应,全响应=零输入响应+零状态响应,电路全响应 = 通解 特解 = 零输入响应 + 零状态响应 暂态分量（自由响应）+ 稳态分量（强制响应）,稳态分量形式与激励源相同，对应方程的特解，,暂态分量形式 决定于电路结构参数。,说明：外施激励为直流源或者正弦交流电源时，强迫响应也分别为恒定值或者正弦函数，这时的强迫分量就是稳态分量。 如果激励是一个指数函数，例如e指数函数时，强迫响应就是一个相同变化规律的指数函数，此时强迫响应就不能称为稳态分量。,一阶电路的三要素法（公式法）：,电路响应（解）一般形式,由初始条件,可解出,有：,由上式可直接写出电路响应，只要知道三个要素：,（1）稳态解；（2）初始值；（3）时间常数,例1,求K闭合后,解：由三要素公式,得：,已知,例2：,求：K闭合后 。,的稳态值可用相量法求出。,（a）,（b）时间常数: 确定时间常数需简化电路为R-C形式。 电容以外的电路去掉独立电源后简化为一个等效 电阻。（无源网络简化）,故,电容电压：,（c）初始值：,例3:,求K闭合后 。,解：,注意：,除电容电压和电感电流外，其它量换路前后一般不相等。,求,：由,时电路状态来计算。,得：,例4：如图电路，R=1，C=1F，IS=1A，=0.5，电路已达稳态。求当突变为1.5后的电容电压。,解：用三要素法求解,（1） 电容电压初始值,（2） 电容电压稳态值,（3）时间常数,(a),(b),图(b)电路的入端电阻,图(a)电路的入端电阻,电容电压为,R,例5,（指数激励），,注意: 三要素法应用于直流或正弦电源激励电路，其余激励源一般需解非齐次方程。,求K(t=0时)闭合后的,。,，通解,，特解,代入原式,，得,特解为,全解,由,得,有,例6 如图电路，已知Us=18V， =8，R=6，L=0.9H，C=0.5F，iL(0)=0A，uC(0)=0V，t=0时开关S闭合，试求iL(t)和uC(t)。,解：根据换路定则可得:,当开关S闭合后电路到达稳态时， 在左侧电路中应有:,在电路右侧部分回路中，由于激励,含有指数函数，此时的电路强迫响应不是稳态分量,不可以用,利用KCL:,解此微分方程得:,【参见教材附录A】,第六节 一阶电路的阶跃响应,在分析线性电路过渡过程时，基于工程应用，通常研究一些典型奇异函数所描述的激励下一阶电路的响应。 奇异函数是本身不连续、或者有不连续导数与积分的一类函数。,一、阶跃函数,单位阶跃函数,将单位阶跃函数乘以常数K，得到阶跃函数 也称为开关函数,延时的单位阶跃函数,利用阶跃函数和延时阶跃函数，可以表示矩形脉冲函数,二、阶跃响应,阶跃函数激励的电路，相当于电路在 时刻接通电压值为K（V）的直流电压源或者电流为K（A）的直流电流源。可见，阶跃响应与直流源激励时电路的响应相同，可以用上节所述的三要素法。,例： 在如图所示 电路中， 电压 分别由阶跃函数和延时的阶跃函数设定为：,和,分别求,该电路的零状态响应,解：,相当于在,时刻接通10V的直流电压，应用三要素法，可求出其阶跃响应为：,仍以,时刻设定计时起点，可得：,该电路的激励延时,，响应也随之延时,这种电路称为 非时变电路,若电路中的R、L、C、M均为常系数，这样的电路都是非时变电路,例： 在所示电路中，,计算 时,解：,在3A电流源作用下的稳态响应为：,时：,三、脉冲序列响应,激励呈现为脉冲序列的特征,一个方波序列信号,电路处于一个连续的充电和放电过程,在（0t0）时间内，电源电压为U，电容处于充电过程,电容处于放电过程，,以上方法是基于激励的作用，对时间进行分段求解的方法。,若考虑到激励为矩形脉冲，依据叠加定理,第七节 一阶电路的冲激响应,单位冲激函数,冲激响应: 在单位冲激函数激励下电路的零状态响应,通解为其强迫响应与自由响应之和:,电容电压的变化规律和电容初始值为 时电路的零输入响应相同。,冲激函数激励可看作在 t0时刻电路中一个量值为无限大，而作用时间为无限小的电压源。在 时段内，冲激函数激励使储能元件的初始储能发生跳变，建立起 时刻的初始储能。当 后，冲激函数的激励消失，电路靠 时刻的初始储能而出现零输入响应。,求出冲激激励源在电容中建立的初始电压，或者在电感中建立的初始电流，即求出换路后瞬间储能元件的初始值，就可以按零输入响应的形式确定电路中的过渡过程。,冲激函数是阶跃函数的导数，因此在线性、非时变电路中，冲激响应 亦是阶跃响应 的导数。,阶跃响应由“三要素法”得出为：,求导可得冲激响应为：,例：在所示电路中，,计算,时的,解：电路全响应为零输入响应和零状态响应之和。,电路有零输入响应。,延时的冲激函数激励该电路，可以利用阶跃响应来求解其冲激响应，即电路的零状态响应。,令,冲激响应为：,基于电路的线性和定常特点,激励下电路的冲激响应：,全响应为：,（方法二）冲激响应也可以按电感初始状态的变化来求取,作用期间：,时，电感上的分压为：,在,内在电感上产生的初始状态为：,其产生的零输入响应也是：,例: 在如图电路中，N为纯电阻网络,当,当,且将电感L更换为电容,试计算,解：当,电流i可由“三要素法”求得：,比较上式等号两端可知：,R是当电压源置零时电感L左侧部分的等效电阻。,电感L更换为电容C,此时的阶跃响应：,考虑到当,电感相当于开路；,电容相当于短路；,时，电感相当于短路，而电容相当于开路。,比较可得：,则：,第八节 一阶奇异电路,本节论述不适用换路定则，即在换路前后瞬间电容电压和电感电流将呈现跳变的一阶电路（一阶奇异电路）的特征。 一阶奇异电路可以应用三要素法分析，分析的要点在于确定电容电压和电感电流跳变的初始状态。,（1）对于一阶奇异电路，当电路换路后，电路中存在由电压源、电容组成的回路或纯电容回路时，换路定则不适用，各电容电压可能会跳变，且电容电流不再是有限值。 分析一阶RC奇异电路电容初始值的方法为：在节点上电荷守恒，即：,电荷为代数量，当与节点相连为电容正极板时，电荷取正；反之，取负。,电路存在由电压源和电容组成的回路（或存在纯电容回路）时电容电压有突变。但节点电荷不突变,证明：如图所示电路，满足KCL,对上式从t=0 到 t=0+ 积分,注意：电容电压正号对着节点为正， 负号对着节点为负。,例1：设,开关原来打开，问K闭合后瞬间,。,解题要点：,解：电路闭合后，应满足KVL，即有：,节点a电荷变换前后应保持一致,即：,代入数据：,得：,比较,例2：在图示电路中，已知,时，开关S闭合，求S闭合后,解：S闭合后瞬间，,换路前后电荷守恒：,代入数据可解得：,可见：,即换路瞬间电容电压强迫跳变，且电容电流中出现了冲激函数。,（2）对于一阶奇异电路，当电路换路后，电路中存在由电流源和电感组成的割集或纯电感割集时，换路定则不适用，各电感电流可能会发生跳变，且电感电压不再是有限值。 分析一阶RL奇异电路电感初始值的方法为：在回路中磁链守恒，即：,磁链为代数量，给定回路方向，当电感电流方向与回路方向一致时，取正；反之，取负。,证明：对两个电感所在的回路列KVL方程,当电路存在由电流源和电感组成的割集（或纯电感割集）时，电感电流有突变。但回路磁链的值在换路前后保持不变:,对上式从t=0 到 t=0+ 积分,所以：,注意：电感电流与回路绕向一致为正，不一致为负。,例3：,，,原来K闭合，,求：K打开后,。,解：,解题要点：,由KCL，开关打开后,时,利用回路磁链不突变：,磁链方向与回路方向一致！,代入数据,得：,，,比较：,例4 在图示电路中，已知,开关S原在1处已久，在,时，开关S由1切换至2，求换路后,的电感电流,电感电压,解：当,开关S在1处已久,当S由1切换至2后瞬间，,时有：,换路前后磁链守恒：,代入数据，并联立求解得：,应用三要素法，换路后电感电流可以表示为：,电感电压为：,可见，,即在换路前后电感电流发生强迫跳变，且电感电压中出现了冲激函数。,本节以下内容不做要求,对上式从t=0 到+ 积分,强迫突变下的电荷守恒和磁链守恒,对于电容， 如图回路由KCL得：,对纯电容节点，电荷不突变且守恒,对非纯电容节点，电荷不突变但不守恒,对上式从t=0 到 积分,对于电感， 如图回路由KVL得：,对非纯电感回路，磁链不突变但不守恒,对纯电感回路，磁链不突变且守恒,例：图示电路中，已知Is=6A， L1=1H L2=1H,R=1,iL1(0-)=1A, iL2(0-)=2A, 求k闭合后的iL2(0)及iL2() 解： iL1(0)= iL1(0-)=1A, iL2(0) iL2(0-)=2A 解之得：iL1()2.5A， iL2()3.5A,解题步骤： 独立初始值：uC(0+)与iL(0+)； t=0 非独立初始值： 第一类非独立初始值： t=0+,第二类非独立初始值： t0 其他,，uL(0+)，iC(0+),例：开关K打开前电路处稳态，给定R1=1，R2=2，R3=3， L=4H，C=5F，US=6V，t=0开关K打开，求iC ，iL，i，uC ，uL， 在0+时的值。,解：,t=0：,uC (0+)=uC(0)=4V iL(0+)=iL(0)=4A,i(0+)= iC (0+)+iL(0+)=6A uL (0+)=US R3iL(0+)= 6V,t=0+：,t0：,Us,+,u,L,-,i,R1,i,L,R3,C,L,i,C,+,u,C,-,图,(d),R1iC + uC =US,第九节 任意波形激励下的响应卷积,当线性非时变电路的冲激响应确定后，任意激励下的零状态响应也就可以随之确定。 由冲激响应 直接计算任意激励作用下电路零状态响应 的时域方法，称为卷积积分，简称卷积。,一、卷积积分的推导,假设一线性定常零状态网络，在 时被任意函数 激励，现需确定时刻t的响应,（1） 已知冲激函数 激励下的零状态响应是： ，根据线性定常网络的非时变性质可知，延时冲激函数 激励下的零状态响应是：,（2）利用线性叠加性质 ， 激励下的零状态响应是：,（3）对无限多个窄矩形脉冲作用下的零状态响应分量求和，并取极限，可得：,说明（1） 当 时，在 t 瞬时，相应激励尚未作用于电路，故积分上限取为 t ；（2）因为变量 的积分上下限是0和 t，在 的情况下等于1，积分式中不必考虑,函数 对 的卷积，无论激励是否为连续函数均适用,函数 对 的卷积，,激励为非连续函数时，通常不能直接套用。,物理意义是：线性定常时不变系统在任意时刻 t 对任意激励的响应，等于从激励函数开始作用的时刻 到指定时刻 的区间内，无穷多个依次连续出现的冲激响应的和。,二、卷积积分的计算,应用卷积计算任意函数激励