几何证明的几点建议.doc

关于几何证明的几点建议广平县第二中学 马俊锋“天呀，又要开始学几何证明了”，“几何的证明太难学”每次在上几何课的时候，总是可以听到几何证明学习困难的学生的声音学生的这种情绪与抱怨很容易助长学习几何证明消极的心理，增加逃避学几何证明的可能性鉴于这种实际，作为初中的一名数学老师陷入思考-是否是平常在教书的过程中对几何证明教学认识不足、重视不够，还是对几何证明教学方式方法运用不当，影响了课堂教学效果，制约了学生逻辑推理能力的发展，影响了学生的后续学习为了更好地落实新课程的目标，培养学生的逻辑推理能力，提高学生学习几何证明的能力，笔者对几何证明的现状，学习几何证明困难的原因以及如何进行几何证明教学进行研究与思考 一、初中几何证明的现状 初中几何证明不但是学习的重点，而且是学习的难点很多同学对几何证明，不知从何着手，一部分学生虽然知道答案，但叙述不清楚，说不出理由，对逻辑推理的证明过程几乎不会写这样，导致大部分的学生失去了几何证明学习的信心 新课程中对几何证明的内容进行了调整、难度要求降低、证明技巧淡化，但对几何证明教学的最基本能力要求其实并没有降低，课标中已明确指出：在“图形与几何”的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力虽然新的课程理念要求，推理过程不能过繁，一切从简但证明的过程要求做到事实准确、道理严密，证明过程方能完整 二、几何证明学习困难的原因分析 初中学生的几何证明学习在内容上正在经历从“直观”到“论证”的转轨在思维方式上需要解决从“形象思维”到“演绎思维”的过渡学生学习几何证明从直观到论证之间存在着一个思维要求上的跳跃学生来不及适应这种高一级的思维方式这是几何证明学习的认知障碍因此，我个人觉得初中几何证明难，主要还难在“转轨”与“过渡”上在事物发展的过程中，经历一种“转变”的时节，正是良好的机遇所在有必要提醒学生把握机遇，适应转变 学生开始学习几何证明，没有适应论证数理的答题模式，语言表达方面的特别要求，作业练习常被判为错误，几次碰壁后就觉得“几何证明确实难学”面对着这种学习的失败，几何证明学习困难的学生在讨论发言、回答问题和动手练习等方面与普通同学存在着差异他们几乎一直处在旁听陪读的地位，作业又无法独立完成，只得抄袭，更失去了参与学习的机会 三、几何证明的几点建议 怎样才能把几何证明的求解过程叙述清楚呢？下面我就这方面的问题与大家探讨 （一）几何题证明的前提-几何语言几何教学有三种不同形式的语言即图形语言、文字语言及符号语言教学中不仅要让学生建立三种几何语言，还要培养学生对三种语言相互转化的能力由于三种语言的特点不同，在几何教学中各自发挥的作用也不同图形语言形象、直观，能帮助学生认识问题和理解问题；文字语言抽象、概括，对图形本身及图形中所蕴含的结论能精确地予以的描述、解释，对几何的定义、公理、定理、命题等内容能精确地予以表达，而符号语言则是对文字语言的简化和再次抽象，具有更强的抽象性，在三种语言中符号语言是几何初学者最难掌握的一种，也是逻辑推理必备的能力基础因此教师在教学过程中应不失时机地训练、培养学生对这三种语言相互转化的意识和能力当你到了一个新的国家，最使你头痛的也许就是语言不通。每个国家都有自己的语言。如果你不能使用这个国家可能接受的语言，不能看懂当地的语言文字，那是一件十分苦恼的事，会使你寸步难行。“几何王国”也有自己的语言。几何中的概念；定理的叙述；作图方法的叙述，都需使用准确的几何语言。几何语言按叙述的方式分有文字语言、符号语言和图形语言；按用途分有描述语言、作图语言、推理语言。 (1)正确掌握几何语言是学好几何知识的必备条件。 几何是一门逻辑性十分严谨的学科，它的严谨性突出表现在语言表述上。掌握几何语言，对理解几何概念，识别几何图形，学会推理论证有着重要的作用。初中几何入门教学，首先就遇到几何语言和几何符号，正确掌握几何语言是学好几何的必备条件，也是进行正确的数学思维的关键。比如平行四边形的概念，它是这样定义的：“两组对边分别平行的四边形是平行四边形。”它强调“两组对边”因为一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，它不是平行四边形。它强调“四边形”若是其他边形（五边形、六边形）那就根本不可能是平行四边形。这个定义可以作为判断图形是不是平行四边形的判定定理。要判断一个图形是不是平行四边形，就要看它是否满足：是四边形一组对边平行另一组对边也平行。这三个条件缺一不可。条件排除其它边形。条件排除了没有一边平行的任意四边形，条件排除了梯形。因此，我们说，学习几何语言“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”是了解和判断平行四边形这样一个几何事实的必备条件。 学懂了几何语言，才有可能画出相应的图形并会使用符号表示。相反，当图形已知时，要能用几何语言，符号表达图形的形状、大小和位置关系。这是学几何应具备的双重能力，即能把几何语言转化为几何图形，也能把几何图形转化为几何语言。如：任意取一个三角形ABC（用符号表示为ABC），这就表示ABC的形状、大小和位置都是任意的（它包括一切三角形）。我们就不能把它画成特殊的形状，如等腰三角形，等边三角形或直角三角形等。在论证时，也只能应用任意三角形的性质，而不能将特殊三角的性质在论证或解题时作为已知条件而应用进去。这说明按文字要求画出相应几何图形时，对几何语言要准确理解才能画出正确的图形。 (2)、学习几何语言的困难分析 几何语言训练是几何教学的重要组成部分。因为几何语言和日常生活语言不尽相同，几何语言具有简洁明了，概念性强、逻辑性强的特点，所以很多学生感到难以掌握。常有学生感到“意思懂，但不知如何说，如何落笔”。如“两点确定一条直线”指的是“过两点有一条直线，而且只有一条直线。”几何语言比日常使用的语言意义更确定，且只有一种特定的解释。 错误地理解或使用几何语言都会造成概念的模糊和思维的混乱。比如“有公共端点的两条射线叫做角”。这个说法是错误的。因为角虽然是由公共端点的两条射线所形成，但角并不就是这两条射线组成的图形，在这个图形中不仅包括边和顶点，还有角的内部。又比如“平角是一条直线”也是错误的。因为一条直线和平角不是相同的概念，角必须有顶点，有从顶点出发的两条边。当这两条边互为反方向时成平角。平角和直线只有位置上的相同，但不是同一图形。产生以上错误的最主要的原因是把一些表面相似，但不属于同一范畴的概念混为一谈。 几何以作图语言，告诉了画几何图形的方法，不同的几何语言，有不同的作图的方法，画出的图形也不相同。作图语句不能用错，不能说出无法完成的作图语句。例如，“延长直线”直线本来就是向两方无限延伸着的，还要怎么延长。至于推理语言，还是有它的规矩，不仅要正确叙述，而且整个过程中，不能犯逻辑上的错误。 几何语言大量表述出平面图形的位置、形状和大小的关系，不仅有静态描述，更有动态描述，而且由于思路的不同，也可有不同的表达方式。让学生学会结合图形去学习和理解定义、定理，而且也能用定义、定理去解释图形。可惜很多学生只能用背诵语言文字的方法去记忆定义、定理，这是一种多慢差费的办法。教师应重视学生学会并运用几何语言的能力的培养。 (3)、怎样学习几何语言 首先要重视阅读课本，对几何语言需要咬文嚼字地学，但学生恰恰在这一条上很难做到，因为学生原来的学习习惯和学习方法是很不重视阅读数学课本的，咬文嚼字地阅读数学课本更是不耐烦，但是对于几何语言的学习来说这一条尤其重要，它能帮助学生领会几何语言的简洁、清晰，从中理解和掌握几何的定义、定理、公理，学会应用几何语言去叙述几何定义、定理、公理，从而提高几何语言的应用能力，进而可以模仿课本上的几何语言，解答几何的计算题或证明题。比如：“连接两点的线段的长度叫这两点间的距离。”要注意“线段”和“长度”，因连结两点的线有任意的曲线折线，但这里只能是线段，不能是其它的线，而且是线段的长度，只就说明两点间的距离 比如： 等腰三角形的性质1-等腰三角形的两个底角相等，教师应及时引导学生 画出图形，结合图形，将文字语言符号化（如图1-1）： 在中 AB=AC图（1-1）?C=B 等腰三角形的性质2-等腰三角形“三线合一” 到底是哪三线重合呢？非常容易出错，而且在将其进行符号化的时候，往往会把等腰三角形“三线”中的已知身份忽视因此应强调学生画出图形，结合图形对其进行符号化，其表达形式为（如图1-2）： （1）AB=AC，BAD=CADBD=CD，ADBC （2）AB=AC，BD=CDBAD=CAD，ADBC （3）AB=AC，ADBCBD=CD，BAD=CAD 将文字语言图形化，符号化的意识应贯穿几何教学的始终，只有这样才能为学生几何证明的学习建立良好的基础(二)证明几何题的技巧几何证明题入门难，证明题难做，是许多初中生在学习中的共识，这里面有很多因素，有主观的、也有客观的，学习不得法，没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。在这里结合自己的教学经验，谈谈自己的一些方法与大家一起分享。1要审题。很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取。我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置。2要记。这里的记有两层意思。第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来。3要引申。难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论（就像电脑一下，你一点击开始立刻弹出对应的菜单），然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习。4要分析综合法。（1）分析法定义：要证明一个命题正确，为了寻找正确的证题方法或途径，我们可以先设想它的结论是正确的，然后追究它成立的原因，再就这些原因分别研究，看它们的成立又各需具备什么条件，如此逐步往上逆求，直至达到已知的事实，这样一种思维方法就叫做分析法。可简单地概括为：“执果索因”。意思就是：“拿着结果去寻找原因”。思路：举例说明其证明命题正确的思路：若要证明如下命题：“若A成立，则D成立。”用分析法思考时，其思路可如下图所示：（应从下往上看）从结论开始，即从D开始往上寻求其成立的条件，假设C、C1、C2都能使D成立，再寻求其成立的条件什么能使C、C1、C2成立，设B、B1能使C成立，B2能使C1成立，B3、B4能使C2成立，这一切原因，固然都可使D成立，但究竟哪个是题设A的结果呢？检查之后，设发现B是，这样就由未知的D上溯到已知的A，因而就获得了证明的思路：DCBA，即D可由C得出，C又可由B得出，B又可由已知的A得出，至此显然命题得证。 （2）综合法：定义：证明一个命题的正确时，我们先从已知的条件出发，通过一系列已确立的命题（如定义、定理等），逐步向前推演，最后推得要证明的结果，这种思维方法，就叫做综合法。可简单地概括为：“由因导果”，即“由原因去推导结果”。思路：要证明定理“若A成立，则D成立”，用综合法思考时，其思路可由下图所示：从已知条件开始，故从A开始推演，寻找可以到达D的思路，但由A所得的结果往往不止一个，可能有好多个。设B、B1、B2都是A的结果，同样由B、B1、B2又可得好多结果，设由B可得C、C1，B1可得C2，B2可得C3、C4，在这些C中，只要有一个能得出D即可，思考至此便可得到：ABCD这个证明的思路了。若C中还没有一个能得出D的，可如上一样，再往下寻求，直至能得出D为止。分析法与综合法的特点：分析法的特点是从要证明的结论开始一步步地寻求其成立的条件，直至寻求到已知条件上。综合法的特点是从已知条件开始推演，一步步地推导结果，最后推出要证明的结果。分析法与综合法的优缺点：证几何题时，在思索上，分析法优于综合法，在表达上分析法不如综合法。分析法利于思考，综合法宜于表述，在解决问题中，最好合并使用。对于一个新问题，我们一般先用分析法寻求解决，然后用综合法有条理地表述出来。 （3）. “两头凑”的证题方法。对于一些较复杂的几何问题，我们可以采用“两头凑”的方法去寻求证明的途径。“两头凑”即先从已知条件出发，看可以得出什么结果，再从要证明的结论开始寻求，看它的成立需具备哪些条件，最后看它们的差距在哪里，从而找出正确的证题途径。5要归纳总结。很多同学把一个题做出来，长长的松了一口气，接下来去做其他的，这个也是不可取的，应该花上几分钟的时间，回过头来找找所用的定理、公理、定义，重新审视这个题，总结这个题的解题思路，往后出现同样类型的题该怎样入手。以上是常见证明题的解题思路，当然有一些的题设计的很巧妙，往往需要我们在填加辅助线，下面我们再谈论一下常见填加辅助线的方法和思路。（三）辅助线的添加人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连