自动控制频率法(相频,幅频).ppt

5-2 典型环节的频率特性,5-3 系统开环频率特性的绘制,5-4 乃奎斯特稳定判据和系统的相对 稳定性,第五章 线性系统的频域分析,5-1 频率特性,5-5 系统的频率特性及频域性能指标,5-6 频率特性的实验确定方法,5-7 用MATLAB进行系统的频域分析,频率特性法是又一种对系统进行分析和设计的图解方法。在工程中得到了广泛应用。,频率特性法的优点： 只要求出系统的开环频率特性，就可以迅速判断闭环系统是否稳定； 由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系； 系统的频率特性很容易和它的结构、参数联系起来，可以很方便地对系统进行校正； 频率特性不仅可由微分方程或传递函数求得，还可以用实验方法求得。,5-1 频率特性,一、频率特性的基本概念,由电路的知识：,这是一个惯性环节,当输入电压 是一正弦量时，输出电压 是与 同频率的正弦量，但其幅值和相位不同。,对于一个线性定常的稳定系统，输入一个正弦信号，则系统的稳态输出也为正弦信号，输出信号与输入信号同频率，但幅值和相位不同。,且输出与输入的幅值比 和相位差 只和系统参数及输入信号的频率 有关。在系统结构参数给定的情况下，A和 仅仅是频率的函数。,如果输入,则稳态输出,可用复数表示：,定义：频率特性就是系统稳态输出与输入正弦信号的复数比。,输入,稳态输出,频率特性表示线性系统在稳态情况下，输出、输入正弦信号之间的数学关系，是频率域中的数学模型。,稳态响应与正弦输入信号的相位差 称为系统的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性；,稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 称为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性；,称为系统的实频特性。,频率特性 是 的复变函数：,称为系统的虚频特性。,幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具有下列关系：,这是一个惯性环节,由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的时域法在数学上是等价的。,频率特性:,频率特性与传递函数的关系为：,结论：当传递函数中的复变量s用 代替时，传递函数就转变为频率特性。反之亦然。,到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数和频率特性。它们之间的关系如下：,频率特性的推导是在线性定常系统是稳定的假设条件下得出的。如果不稳定，则动态过程c(t)最终不可能趋于稳态响应cs(t)，当然也就无法由实际系统直接观察到这种稳态响应。 但从理论上动态过程的稳态分量总是可以分离出来的，而且其规律性并不依赖于系统的稳定性。 因此可以扩展频率特性的概念，将频率特性定义为：在正弦输入下，线性定常系统输出的稳态分量与输入的复数比。 所以对于不稳定的系统，尽管无法用实验方法量测到其频率特性，但根据式,由传递函数还是可以得到其频率特性。,工程上常用图形来表示频率特性，常用的有：,二、频率特性的表示方法：,1幅相频率特性图，极坐标图，也称乃奎斯特(Nyquist)图。是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵坐标，以 为参变量的幅值与相位的图解表示法。,它是在复平面上用一条曲线表示 由 时的频率特性。即用矢量 的端点轨迹形成的图形。 是参变量。在曲线的上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。,乃奎斯特图 Nyquist,2对数频率特性图，对数坐标图，也称伯德(Bode)图。,Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。,Bode图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度：,由于 以对数分度，所以零频率线在处。,横坐标分度(称为频率轴)：它是以频率 的对数值 进行线性分度的。但为了便于观察仍标以 的值，因此对 而言是非线性刻度。 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十倍频程（或十倍频），用dec表示。如下图所示：,纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 表示。其单位为分贝(dB)。直接将 值标注在纵坐标上。,相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。,一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。,当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：,半对数坐标系,使用对数坐标图的优点：,可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。 可以将乘法运算转化为加法运算。 所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐近线）近似表示。 对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。,5-2 典型环节的频率特性,实频特性： ； 虚频特性： ；,K,一、比例环节：,幅频特性： ； 相频特性：,比例环节的极坐标图为实轴上的K点。,1.极坐标图：,幅频特性： ；相频特性：,对数幅频特性：,相频特性：,2.Bode图：,二、惯性环节的频率特性：,惯性环节呈低通滤波特性,1.极坐标图：,2. 对数频率特性,对数幅频特性：,低频段：当 时， ，称为低频渐近线。,高频段：当 时， ，称为高频渐近线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示 每增加10倍频程下降20分贝）。,低频高频渐近线的交点：,可以用这两个渐近线近似表示惯性环节的对数幅频特性。,为了图示简单，采用分段直线近似表示。,由 ，得： 称为转折频率或交换频率。,图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。,波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：,当 时，误差为：,当 时，误差为：,最大误差发生在 处，为,相频特性：,作图时先用计算器计算几个特殊点：,由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于( w0，-45)点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。,频率特性：,三、积分环节,积分环节具有低通滤波特性,积分环节的极坐标图为负虚轴。频率 从0特性曲线由虚轴的-趋向原点。,1.极坐标图：,2. 对数频率特性,可见斜率为20dB/dec,三、微分环节,微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。,频率特性分别为：,传递函数分别为：, 纯微分环节：,微分环节的极坐标图为正虚轴。频率w从0特性曲线由原点趋向虚轴的+。,微分环节具有高通滤波特性,极坐标图：,Bode图：, 一阶微分：,一阶微分环节的极坐标图为平行于虚轴直线。频率w从0特性曲线相当于纯微分环节的特性曲线向右平移一个单位。,极坐标图：,Bode图,这是斜率为+20dB/Dec的直线。,相频特性：几个特殊点如下,相角的变化范围从0到 。,低频段渐进线：,高频段渐进线：,对数幅频特性（用渐近线近似）：,低、高频渐进线的交点为,一阶微分环节,惯性环节,实频、虚频、幅频和相频特性分别为：,五、振荡环节,讨论 时的情况。,频率特性为：,由图可见无论是欠阻尼还是过阻尼系统，其图形的基本形状是相同的。,当过阻尼时，阻尼比越大其图形越接近圆。,1.极坐标图：,2. 对数频率特性,讨论 时的情况。,幅频特性为：,相频特性为：,对数幅频特性为：,低频段渐近线：,高频段渐近线：,两渐进线的交点 称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。,相频特性：,几个特征点：,由图可见： 对数相频特性曲线在半对数坐标系中对于( w0，-90)点是斜对称的。 对数幅频特性曲线有峰值。,左图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性图。,渐近线误差,幅频和相频特性为：,二阶微分环节：,低频渐进线：,高频渐进线：,转折频率为： ，高频段的斜率+40dB/Dec。,二阶微分环节,二阶振荡环节,极坐标图是一个圆心在原点，半径为1的圆。,六、延迟环节的频率特性：,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,1.极坐标图：,2. 对数频率特性,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,5-3 开环频率特性的绘制,一、开环系统极坐标图的绘制（绘制奈氏图）,开环系统的频率特性或由典型环节的频率特性组合而成，或是一个有理分式，不论那种形式，都可由下面的方法绘制。,使用MATLAB工具绘制。,将开环系统的频率特性写成 或 的形式，根据不同的 算出 或 ，可在复平面上得到不同的点并连之为曲线。（手工画法）。,绘制方法：,例设开环系统的频率特性为： 试列出实频和虚频特性的表达式。当 绘制奈氏图。,解：,当 时，,找出几个特殊点（比如 ，与实、虚轴的交点等），可大致勾勒出奈氏图。为了相对准确，可以再算几个点。,相角：,用上述信息可以大致勾勒出奈氏图。,下图是用 Matlab工具绘制的奈氏图。,极坐标图的起点和终点：,频率特性可表示为：,其相角为：,当 时，,当 时，,显然，低频段的频率特性与系统型数有关，高频段的频率特性与n-m有关。,起点（低频段频率特性）：,当 时，,型 ：,终点（高频段频率特性）：,至于中频部分，可计算一些特殊点的来确定。如与坐标的交点等。,当 时，,二、开环系统的波德图,幅频特性：,相频特性：,由以上的分析可得到开环系统对数频率特性曲线的绘制方法：先画出每一个典型环节的波德图，然后相加。,例：开环系统传递函数为： ，试画出该系统的波德图。,解：该系统由四个典型环节组成。一个比例环节，一个积分环节两个惯性环节。手工将它们分别画在一张图上。,然后，在图上相加。,实际上，画图不用如此麻烦。我们注意到：幅频曲线由折线（渐近线）组成，在转折频率处改变斜率。,确定 和各转折频率 ，并将这些频率按小大顺序依次标注在频率轴上；,确定低频渐近线： ，就是第一条折线。其斜率为 ，过点（1，20lgK）。实际上是比例K和积分 的曲线。,具体步骤如下：,高频渐近线的斜率为：-20(n-m)dB/dec。,遇到一阶惯性环节时，斜率下降20dB/Dec；,遇到二阶振荡环节时，斜率下降40dB/Dec；,画好低频渐近线后，从低频开始沿频率增大的方向，每遇到一个转折频率改变一次分段直线的斜率：,遇到一阶微分环节时，斜率增加20dB/Dec；,遇到二阶微分环节时，斜率增加40dB/Dec；,2、低频渐近线：斜率为 ，过点（1，20）,3、波德图如下：,解：1.,2、低频渐近线斜率为,4、画出波德图如下页：,3、每遇到一个环节改变一次渐近线的斜率。,低频渐近线的延长线在 处的高度为：,例：已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示，试确定系统的开环传递函数。,解：由于低频段斜率为-20dB/dec所以有一个积分环节；,在w=1处，L(w)=15dB，可得 20lgK=15，K=5.6,在w=2处，斜率由-20dB/dec变为 -40dB/dec，故有惯性环节,在w=7处，斜率由-40dB/dec变为 -20dB/dec，故有一阶微分环节,开环传递函数为,最小相位系统和非最小相位系统,开环传递函数在s右半平面无零点和极点的系统称为最小相位系统，反之称为非最小相位系统。,在幅频特性相同的一类系统中，最小相位系统的相位移最小，并且最小相位系统的幅频特性与相频特性之间具有唯一对应的关系。,5-4 乃奎斯特稳定性判据,为了保证系统稳定，特征方程 的全部根，都必须位于s左半平面。,乃奎斯特稳定判据正是一种将开环频率响应 与 在s右半平面内的零点数和极点数联系起来的判据。,因为闭环系统的稳定性可以由开环频率响应曲线图解确定，无需实际求出闭环极点，所以这种判据在控制工程中得到了广泛应用。,对于s平面上的每一点，在F(s)平面上必有唯一的一个映射点与之对应；,一、映射定理（幅角定理）：,同理，对于 s平面上的任意一条不通过极点和零点的闭合曲线 Cs，在 F(s)平面上必有唯一的一条闭合曲线CF与之对应。,若s平面上的闭合曲线Cs按顺时针方向运动，则其在平面上的映射曲线CF的运动方向可能是顺时针，也可能是逆时针，它完全取决于F(s)本身的特性。,假设s平面上的闭合曲线Cs以顺时针方向围绕F(s)的一个零点-z1， F(s)的其余零点和极点均位于闭合曲线Cs之外。,F(s)的相角为：,由此推论，若s平面上的闭合曲线Cs按顺时针方向包围F(s)的Z个零点，则在F(s)平面上的映射曲线CF将按顺时针方向围绕坐标原点旋转Z周。,当点s沿着闭合曲线Cs顺时针运动一周，,向量s+z1的相角变化了-2，,其余各向量的相角变化都为0，,则F(s)的相角变化了-2。,这表明在F(s)平面的映射曲线按顺时针方向围绕着坐标原点旋转一周。,假设s平面上的闭合曲线Cs以顺时针方向围绕F(s)的一个极点-p1， F(s)的其余零点和极点均位于闭合曲线Cs之外。,F(s)的相角为：,由此推论，若s平面上的闭合曲线Cs按顺时针方向包围F(s)的P个零点，则在F(s)平面上的映射曲线CF将按逆时针方向围绕坐标原点旋转P周。,当点s沿着闭合曲线Cs顺时针运动一周，向量s+p1的相角变化了-2，其余各向量的相角变化都为0，则F(s)的相角变化了+2。这表明在F(s)平面的映射曲线按逆时针方向围绕着坐标原点旋转一周。,s平面上不通过F(s)任何零点和极点的封闭曲线Cs包围F(s)的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线Cs移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线CF将以逆时针方向绕原点旋转N圈。N，Z，P的关系为：N=P-Z。,若N为负，表示CF顺时针运动，包围原点；,若N为0，表示CF不包围原点；,若N为正，表示CF逆时针运动，包围原点。,映射定理（幅角定理） ：,二、乃奎斯特稳定判据：,设负反馈系统的开环传递函数,闭环特征多项式,可见，F(s)的极点就是开环传递函数的极点（开环极点）。,设负反馈系统的开环传递函数,闭环传递函数,可见，F(s)的零点就是闭环传递函数的极点（闭环极点）。,对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。 的零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)在s右半平面的零点个数为零，则闭环系统是稳定的。,我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的。设想：,如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射逆时针包围原点的次数应为：,当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。,这里需要解决两个问题： 1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足幅角条件的？ 2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性 相联系？,它可分为三部分：部分是正虚轴， 部分是右半平面上半径为无穷大的半圆； ； 部分是负虚轴， 。,第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为乃奎斯特回线，简称奈氏回线。如下图：,第2个问题：,对于实际的系统，G(s)H(s)中nm，当s时， 这意味着当s沿着半径为无穷大的半圆变化时，函数始终为一常数。,由此可知，平面上的映射曲线CF是否包围坐标原点，只取决于奈氏路径上虚轴部分的映射，即由 轴的映射曲线来表征。,设闭合曲线Cs以顺时针方向包围了F(s)的Z个零点和P个极点，由幅角原理可知，在F( )平面上的映射曲线CF将按逆时针方向围绕坐标原点旋转N周，其中N=P-Z。,假设在 轴上不存在F(s)的极点和零点，则当s沿着 轴由 变化到 时，在F(s)平面上的映射曲线CF为：,由于 ，因而映射曲线CF 对其坐标原点的围绕等价于开环幅相频率特性曲线 对 点的围绕。,于是闭环系统的稳定性可通过其开环幅相频率特性曲线 （乃氏图）对 点的包围与否来判别，这就是下述的乃奎斯特稳定判据。,乃奎斯特稳定判据：,（1）如果开环系统是稳定的，即P=0，则闭环系统稳定的充要条件是 曲线不包围 点。,（2）如果开环系统不稳定，且已知有P个开环极点位于s的右半平面，则其闭环系统稳定的充要条件是 曲线按逆时针方向围绕(-1,j0)点旋转P周。,开环幅相频率特性 曲线 和 部分是关于实轴对称的，运用乃氏判据时，可以利用对称性把乃氏曲线补全，再进行判断；也可以只画出的部分来判断，如果系统稳定，则应有 。,当 曲线恰好通过 时，说明闭环系统有极点落在虚轴上，系统也是不稳定的。,例开环传递函数 ，试用乃氏判据判断闭环系统的稳定性。,解：开环系统的乃氏图如右。,系统在s右半平面没有开环极点,乃氏图不包围(-1,j0)点,故闭环系统是稳定的。,例设系统开环传递函数为： ，试用乃氏判据判断闭环系统的稳定性。,解：开环极点为 ， 都在s左半平面，所以 。乃氏图如右。,从图中可以看出：乃氏图顺时针围绕 (-1,j0)点2圈。所以闭环系统在s右半极点数为： 闭环系统是不稳定的。,解：开环系统奈氏图是一个半径为 ，圆心在 的圆。显然，K1时，包围 (-1,j0)点，K1时不包围(-1,j0)点。,由图中看出：当K1时，奈氏曲线逆时针包围(-1,j0)点一圈，N=1，而 ，则闭环系统是稳定的。,当K=1时，奈氏曲线通过(-1,j0)点，属临界稳定状态。,当K1时，奈氏曲线不包围(-1,j0)点，N=0，P=1，所以Z=1，闭环系统不稳定。,对于、型的开环系统，由于在虚轴上（原点）有极点，因此前述的乃氏路径不满足幅角定理。为了解决这一问题，需要重构乃奎斯特回线。,上面讨论的乃奎斯特判据和例子，都是假设虚轴上没有开环极点，即开环系统都是0型的，这是为了满足幅角定理的条件。,具有积分环节的系统，其开环传递函数为：,可见，在坐标原点有 重极点。若取乃氏回线同上时（通过虚轴的整个s右半平面），不满足映射定理。,三、虚轴上有开环极点时的乃奎斯特稳定判据,为了使奈氏路径不经过原点而仍然能包围整个s右半平面，对奈氏路径作如下修改：以原点为圆心，半径为无穷小做右半圆，使乃氏回线沿着小半圆绕过原点。,部分：正虚轴， ，部分为半径为无穷大的右半圆 ；部分负虚轴， 部分为半径为无穷小的右半圆，,这时的乃氏回线由以下四部分组成：,下面讨论增加的第部分小半圆在Gk(s)平面的映射：,当s沿小半圆移动时，有,S平面,当 从 变化到 ，在 平面上的映射曲线将沿着半径为无穷大的圆弧按顺时针方向从 变化到 。,下面讨论增加的第部分小半圆在Gk(s)平面的映射：,这一段的映射为：半径为 ，角度从 变到 的右半圆。,(a)对于型系统：,S平面,下面讨论增加的第部分小半圆在Gk(s)平面的映射：,这一段的映射为：半径为 ，角度从 变到 的整个圆（顺时针）。,(b)对于型系统：,S平面,例某系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平面没有极点，试用乃氏判据判断闭环系统稳定性。,解：显然这是型系统。先根据乃氏回线画出完整的映射曲线。,从图上看出：映射曲线不包围 (-1,j0)点，所以 N = 0 ，而 ，故闭环系统是稳定的。,例某型系统的开环频率特性 如下图所示，且s右半平面无开环极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。,解：首先画出完整的奈氏曲线的映射曲线。如右图：,从图上可以看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)两圈。因 ，所以 ，闭环系统是不稳定的。,五、根据伯德图判断系统的稳定性,开环系统的极坐标图（奈氏图）和对数坐标图（Bode图）的对应关系：,1、奈氏图上单位圆对应于Bode图上的零分贝线；,2、奈氏图上的负实轴对应于Bode图上的-1800线。,奈氏图,Bode图,临界稳定点：(-1,j0)点,单位圆以外对应,临界稳定点：(-1,j0)点,乃氏图中 (-1, j0)点以左负实轴的穿越点对应伯德图中L() 0范围内的与-180线的穿越点。,正穿越（相角增大）对应伯德图中L() 0范围内随着的增加相频特性从下而上穿过-180线。,负穿越（相角减小）对应伯德图中L() 0范围内随着的增加相频特性从上而下穿过-180线。,对数频率特性稳定判据,若系统开环传递函数有P个位于s右半平面的特征根，则系统闭环稳定的充要条件是：在L()0 的所有频率范围内，相频特性曲线()与-180线的正负穿越次数之差等于P/2。,在s右半平面没有开环极点，P=0,L() 0范围内相频特性从上而下穿越-180线一次，正负穿越次数之差为1。,闭环系统不稳定,在s右半平面没有开环极点，P=0,L() 0范围内相频特性没有穿越-180线。,闭环系统稳定,例已知开环传函,六、系统的相对稳定性和稳定裕度,对控制系统进行分析时，往往还需要了解系统的相对稳定性，即稳定裕量的问题。,最小相位系统闭环稳定的充要条件可简化为：开环频率特性曲线不包围(-1,j0)点。,(-1，j0)点的幅值为1，相角为-180o ，因此可以从幅值和相角两方面来讨论系统的稳定裕量。,通常用开环频率特性 离临界稳定点 (-1，j0)点的远近程度来表征系统的相对稳定性。,1.幅值裕度,Kg1时，系统稳定； Kg=1时，系统临界稳定； Kg1时，系统不稳定。,2.相角裕度,0时，系统稳定； =0时，系统临界稳定； 0时，系统不稳定。,伯德图中：,相角裕度,显然，当 和 时，闭环系统是稳定的；否则是不稳定的。对于最小相位系统， 和 是同时发生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳定程度。常用相角裕度。,增益裕度,保持适当的稳定裕度，可以预防系统中元件性能变化可能带来的不利影响。为了得到较满意的暂态性能，一般相角裕度应当在30o至60o之间，增益裕度应大于6dB。,对于最小相位系统，开环幅频特性和相频特性之间存在唯一的对应关系。通常希望系统的开环对数幅频特性在剪切频率处的斜率为-20dB/dec。,稳定,临界稳定,不稳定,解：当K=10时，开环系统波德图如图所示。,由Bode图可知： L(w) 0时穿越次数为0， 系统是稳定的。,例 控制系统如图所示。1.K=10时，判断系统的稳定性，