2020版高考数学第二章函数概念与基本初等函数第2讲函数的单调性与最值检测.docx

第2讲 函数的单调性与最值 基础题组练1下列四个函数中，在(0，)上为增函数的是()Af(x)3x Bf(x)x23xCf(x) Df(x)|x|解析：选C.对于A，当x0时，f(x)3x为减函数；对于B，当x时，f(x)x23x为减函数，当x时，f(x)x23x为增函数；对于C，当x(0，)时，f(x)为增函数；对于D，当x(0，)时，f(x)|x|为减函数2函数f(x)|x2|x的单调减区间是()A1，2 B1，0C0，2 D2，)解析：选A.由于f(x)|x2|x结合图象可知函数的单调减区间是1，23已知函数f(x)x3(a0)的最小值为8，则实数a()A1 B2C4 D8解析：选B.由xa0，得xa，故函数的定义域为a，)因为函数f(x)在a，)上单调递增，所以f(x)minf(a)a38，解得a2.故选B.4定义新运算“”：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2，2的最大值等于()A1 B1C6 D12解析：选C.由已知得，当2x1时，f(x)x2；当1x2时，f(x)x32.因为f(x)x2，f(x)x32在定义域内都为增函数，所以f(x)的最大值为f(2)2326.5函数f(x)的最大值为_解析：当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x0，x0)(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值解：(1)证明：任取x1x20，则f(x1)f(x2)，因为x1x20，所以x1x20，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(0，)上是增函数(2)由(1)可知，f(x)在上为增函数，所以f2，f(2)2，解得a.8已知f(x)(xa)(1)若a2，试证明f(x)在(，2)上单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围解：(1)证明：设x1x20，x1x20，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，2)上单调递增(2)设1x10，x2x10，所以要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，所以a1.综上所述，a的取值范围为(0，1综合题组练1已知函数f(x)对任意的x1x2都有(x1x2)f(x2)f(x1)0成立，则实数a的取值范围是()A(，3 B(，3)C(3，) D1，3)解析：选D.由(x1x2)f(x2)f(x1)0，得(x1x2)f(x1)f(x2)g(1)，则x的取值范围是()A(0，10) B(10，)C. D.(10，)解析：选C.因为g(lg x)g(1)，g(x)f(|x|)，所以f(|lg x|)f(1)，所以f(|lg x|)f(1)又因为f(x)在0，)上是增函数，所以|lg x|1，所以1lg x1，所以x10.3已知函数y，x(m，n的最小值为0，则m的取值范围是_解析：函数y1，且在x(1，)时单调递减，在x2时，y0；根据题意x(m，n时y的最小值为0，所以1m2.答案：1，2)4(创新型)对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_解析：依题意，h(x)当02时，h(x)3x是减函数，所以h(x)在x2时，取得最大值h(2)1.答案：15已知函数f(x)ax(1x)(a0)，且f(x)在0，1上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值解：f(x)x，当a1时，a0，此时f(x)在0，1上为增函数，所以g(a)f(0)；当0a1时，a0)，F(x)若f(1)0，且对任意实数x均有f(x)0成立(1)求F(x)的表达式；(2)当x2，2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求k的取值范围解：(1)因为f(1)0，所以ab10，所以ba1，所以f(x)ax2(a1)x1.因为对任意实数x均有f(x)0恒成立，所以所以所以a1，从而b2，所