[高三数学]专题三：数列B-教师版-苏深强.doc

序号：高中数学备课组教师：年级：日期：上课时间：学生：学生情况： 主课题： 数列B教学目的：一、数列的基本性质:1.理解数列、数列的项、通项、有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数数列等概念.2.掌握等差数列、等比数列的通项公式、前项和公式，体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动；3.从生活实际和数学背景中提出递推数列并进行研究。会解决简单的递推数列（即一阶线性递推数列）的有关问题。4.会用数列知识解决简单的实际应用问题；通过数列的建立及其应用，具有一定的数学建模能力。二、数列的极限1. 掌握数列极限的四则运算法则；2. 会求无穷等比数列的各项和。三、数学归纳法1.掌握数学归纳法的一般步骤，并会用于证明与正整数有关的简单命题和整除性问题。2.通过“归纳-猜测-论证”的思维过程，具有一定的演绎推理能力和归纳、猜测、论证能力。教学重点：1. 数列通项公式的求法2. 数列的综合运用教学难点：1. 数列通项公式的求法一、热身训练1、（2010全国卷2理）如果等差数列中，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）35解2、（2010福建理）3设等差数列的前n项和为,若,则当取最小值时,n等于 A6 B7 C8 D9【答案】A 设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值。3、（2010福建理）11在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 【答案】 由题意知，解得，所以通项。4、（2010浙江理）（3）设为等比数列的前项和，则（A）11 （B）5 （C） （D）解：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，代入可知答案选D 5、（2011江苏）设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是_ 【答案】6、（2011江西理） 已知数列的前n项和满足：，且=1那么=A1 B9 C10 D55【答案】A7、（2011江西理） 已知数列的前n项和满足：，且=1那么=A1 B9 C10 D55【答案】A二、知识精要1、数列的概念：孤立的点2、项：求项项的最值（函数法，设最大或最小）3、通项公式：猜想，待定系数，递推（由和求通项，累加累乘，转等差或等比）4、和：求和方法（公式法，错位相减，裂项求和，倒序相加） 无法求和（数学归纳法、单调性、放缩后求和）和的最值（函数法，转项的正负，设最大最小）5、极限问题：6、数学归纳法：三、例题分析1.等差数列1.1通项公式1、（2010辽宁文）（14）设为等差数列的前项和，若，则 。解析：填15. ,解得，、2、（2011四川理）数列的首项为，为等差数列且若则，则 A0 B3 C8 D11【答案】B 由已知知由叠加法3、（2011上海理） 已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。（1）求；（2）求证：在数列中但不在数列中的项恰为；（3）求数列的通项公式。解： ； 任意，设，则，即 假设（矛盾）， 在数列中但不在数列中的项恰为。 ， 当时，依次有， 。4、（2011江苏）设部分为正整数组成的集合，数列，前n项和为，已知对任意整数kM，当整数都成立 （1）设的值； （2）设的通项公式解：（1）由题设知，当，即，从而所以的值为8。 （2）由题设知，当，两式相减得所以当成等差数列，且也成等差数列从而当时，（*）且，即成等差数列，从而，故由（*）式知当时，设当，从而由（*）式知故从而，于是因此，对任意都成立，又由可知，解得因此，数列为等差数列，由所以数列的通项公式为1.2和1、（2010浙江文）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足+15=0。（）若=5，求及a1；（）求d的取值范围。2.等比数列2.1通项公式1、（2011上海理）设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为A是等比数列。 B或是等比数列。C和均是等比数列。D和均是等比数列，且公比相同。【答案】D2、（2010北京理）（2）在等比数列中，公比.若，则m=（A）9 （B）10 （C）11 （D）12答案：C2.2和1、（2010辽宁理）（6）设an是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a2a4=1, ,则（A） (B) (C) (D) 解由a2a4=1可得，因此，又因为，联力两式有，所以q=,所以，故选B。2、（2010天津理）（6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为（A）或5 （B）或5 （C） （D）解 本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 前5项和.选C3、（2010安徽理）10、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是A、B、C、D、【答案】取等比数列,令得代入验算，只有选项D满足。2.3等比与等差的综合1、（2010广东理）4. 已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=A35 B.33 C.31 D.29解 设的公比为，则由等比数列的性质知，即。由与2的等差中项为知，即 ，即，即选C2、（2010天津文）在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.（）证明成等比数列；（）求数列的通项公式；（）记，证明.（I）证明：由题设可知，。从而，所以，成等比数列。（II）解：由题设可得所以 .由，得 ，从而.所以数列的通项公式为或写为，。（III）证明：由（II）可知，以下分两种情况进行讨论：（1） 当n为偶数时，设n=2m若，则，若，则 .所以，从而（2） 当n为奇数时，设。所以，从而综合（1）和（2）可知，对任意有3、（2010四川理）已知数列an满足a10，a22，且对任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2（）求a3，a5；（）设bna2n1a2n1(nN*)，证明：bn是等差数列；（）设cn(an+1an)qn1(q0，nN*)，求数列cn的前n项和Sn.本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力.解：(1)由题意，零m2,n1,可得a32a2a126 再令m3,n1，可得a52a3a18202分(2)当nN *时，由已知(以n2代替m)可得a2n3a2n12a2n18于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8即 bn1bn8所以bn是公差为8的等差数列5分(3)由(1)(2)解答可知bn是首项为b1a3a16,公差为8的等差数列则bn8n2，即a2n+=1a2n18n2另由已知(令m1)可得an-(n1)2.那么an1an2n1 2n1 2n于是cn2nqn1.当q1时，Sn2462nn(n1)当q1时，Sn2q04q16q22nqn1.两边同乘以q，可得 qSn2q14q26q32nqn.上述两式相减得 (1q)Sn2(1qq2qn1)2nqn 22nqn 2所以Sn2综上所述，Sn12分4、（2011湖北理）已知数列的前项和为，且满足：，N*，（）求数列的通项公式；（）若存在N*，使得，成等差数列，是判断：对于任意的N*，且，是否成等差数列，并证明你的结论 解：（I）由已知可得，两式相减可得 即 又所以r=0时， 数列为：a，0，0，； 当时，由已知（）， 于是由可得， 成等比数列， ， 综上，数列的通项公式为 （II）对于任意的，且成等差数列，证明如下： 当r=0时，由（I）知， 对于任意的，且成等差数列， 当，时， 若存在，使得成等差数列， 则， 由（I）知，的公比，于是 对于任意的，且 成等差数列， 综上，对于任意的，且成等差数列。3.通项公式1、（2010四川理）（8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则（A）0 （B） （C） 1 （D）2解：由,且作差得an22an1又S22S1a1，即a2a12a1a1 a22a1故an是公比为2的等比数列Sna12a122a12n1a1(2n1)a1 则选B2、（2010上海文）已知数列的前项和为，且，(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.解析：(1) 当n=1时，a1=-14；当n2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，又a1-1=-150，所以数列an-1是等比数列；(2) 由(1)知：，得，从而(nN*)；由Sn+1Sn，得，最小正整数n=153、（2011广东理） 设b0,数列满足a1=b，（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，解： （1）由令，当当时，当 （2）当时，（欲证），当综上所述4.和1、（2011辽宁理） 已知等差数列an满足a2=0，a6+a8=-10（I）求数列an的通项公式；（II）求数列的前n项和解： （I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得解得故数列的通项公式为 5分 （II）设数列，即，所以，当时， 所以综上，数列 12分2、（2010山东文） 已知等差数列满足：，.的前n项和为. （）求 及；（）令（）,求数列的前n项和.3、（2010安徽文）设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列.()证明：为等比数列；（）设，求数列的前项和. 4、（2010江苏卷）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。解（1）由题意知：， ，化简，得：，当时，适合情形。故所求（2）（方法一）， 恒成立。 又，故，即的最大值为。（方法二）由及，得，。于是，对满足题设的，有。所以的最大值。另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。于是，只要，即当时，。所以满足条件的，从而。因此的最大值为。5、（2011安徽理）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.（）求数列的通项公式；（）设求数列的前项和.解：（I）设构成等比数列，其中则 并利用（II）由题意和（I）中计算结果，知另一方面，利用得所以5.函数思想1、（2010辽宁理）（16）已知数列满足则的最小值为_. 【答案】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=21+2+(n-1)+33=33+n2-n所以设，令，则在上是单调递增，在上是递减的，因为nN+,所以当n=5或6时有最小值。又因为，所以，的最小值为6.数列与不等式的综合1、（2010天津文）（15）设an是等比数列，公比，Sn为an的前n项和。记设为数列的最大项，则= 。【答案】4因为8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值。2、（2011重庆理） 设实数数列的前n项和，满足 （I）若成等比数列，求和； （II）求证：对 （I）解：由题意，由S2是等比中项知由解得 （II）证法一：由题设条件有故从而对有 因，由得要证，由只要证即证此式明显成立.因此最后证若不然又因矛盾.因此证法二：由题设知，故方程（可能相同）.因此判别式又由因此，解得因此由，得因此3、（2010全国卷2理）已知数列的前项和（）求；（）证明：4、（2010重庆理）在数列中，=1，其中实数。（I） 求的通项公式；（II） 若对一切有，求c的取值范围。5、（2010湖北理）（） 7.应用题1、（2011湖北理）九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。【答案】2、（2010湖北理）如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前n个圆的面积之和，则= A 2 B. C.4 D.68.数学归纳法1、（2010安徽理）设数列中的每一项都不为0。 证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有。9.极限、无穷项的和1、（2010江西理）4. （ ）A. B. C. 2 D. 不存在解 考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。 选B2、（2011四川理）已知定义在上的函数满足，当时，设在上的最大值为，且的前项和为，则A3 B C2 D【答案】D 由题意,在上，10.创新题1、（2011福建理）已知函数f（x）=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断：ABC一定是钝角三角形ABC可能是直角三角形ABC可能是等腰三角形ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A B C D【答案】B2、（2010北京理）已知集合对于，定义A与B的差为A与B之间的距离为（）证明：，且;（）证明：三个数中至少有一个是偶数() 设P，P中有m(m2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P). 证明：（P）.证明：（I）设， 因为，所以, 从而 又由题意知，.当时，; 当时，所以(II)设， ，. 记，由（I）可知 所以中1的个数为，的1的个数为。 设是使成立的的个数，则 由此可知，三个数不可能都是奇数， 即,三个数中至少有一个是偶数。（III）,其中表示中所有两个元素间距离的总和，设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0则=由于所以从而3、（2011北京理）若数列满足，数列为数列，记=（）写出一个满足，且0的数列；（）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；（）对任意给定的整数n（n2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。解：（）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）（）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以.所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.所以a2000=12+（20001）1=2011.充分性，由于a2000a10001，a2000a10001a2a11所以a2000a19999，即a2000a1+1999.又因为a1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故是递增数列.综上，结论得证。（）令因为所以因为所以为偶数,所以要使为偶数,即4整除.当时，有当的项满足，当不能被4整除，此时不存在E数列An，使得4、（2010湖南文）给出下面的数表序列：其中表n（n=1,2,3 ）有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。（I）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n3）（不要求证明）； （II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为 求和： 四、课堂练习1、（2010全国卷1文）（4）已知各项均为正数的等比数列，=5，=10，则=(A) (B) 7 (C) 6 (D) 解 由等比数列的性质知，10,所以,所以选A 2、（2010全国卷2文）已知是各项均为正数的等比数列，且，（）求的通项公式；（）设，求数列的前项和。3、（2010全国卷1理）已知数列中， .（）设，求数列的通项公式；（）求使不等式成立的的取值范围 .4、（2010湖南理）15若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列例如，若数列是，则数列是已知对任意的，则 ， 五、课后作业 1、（2010江西理）证明以下命题：（1） 对任一正整a,都存在整数b,