三个幂等矩阵线性组合的幂等性高等代数毕业论文.doc

编号 莆田学院毕 业 论 文课题名称：三个幂等矩阵线性组合的幂等性系 别 数学与应用数学 学生姓名 学 号 专 业 数学与应用数学 年 级 指导教师 莆田学院学士学位论文莆田学院学士学位毕业论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 三个幂等矩阵线性组合的幂等性摘 要本文给出了3个非零的两两不同且相互可交换的幂等矩阵的线性组合还是幂等矩阵的一些充分条件，这些条件不仅概括了文献1及文献2中的相关结论，而且还得到一些新结果。关键词：幂等矩阵；线性组合；对角化；相似矩阵Idempotency of linear combinations of three idempotent matricesAbstract Some sufficient conditions for linear combination of the three nonzero, different and mutually commutative idempotent matrices which is still idempotent matrix, has being considered in this article. Those conditions not only summarize the related conclusions of the first reference and the fourth reference, but also obtain some new results.Key words: Idempotent matrixes; Linear combination; Diagonalization; Similar matrices目 录0 序言11 预备知识42 主要结果及证明43 讨论103.1 与文献1之间的关系103.2 与文献2之间的关系103.3 命题3结论（a）与命题5结论（6）的关系103.4 不足之处104 说明10参考文献26致 谢270 序言近年来，2个和3个幂等矩阵的线性组合仍然是幂等矩阵的问题，是算子论中的一个重要问题已被研究.现状如下：命题1 （文献3，定理4）设，是数域F上的两个阶非零幂等阵，为非零的数，则矩阵,的线性组合仍是幂等阵当且仅当下列四个条件之一成立.(i) ；(ii) ；(iii) ；(iv) ；命题2 （见文献4,Theorem 1）设，且，.如果下列情况之一成立，则矩阵是幂等矩阵，其中，表示复数.： 当， 时，有，；，；，；，；，；，或；，或；，或；，或；，或 或或.当，时，有 ，； ，； ，或；当，时，有 ，； ，； ，或.当，时，有，；，.命题3 （文献1，Theorem 3.2） Let withandbe their linear combination of the form ,With nonzero scalars .Them we have the following situations for whichis an idempotent matrix. denotes a commuting family of nonzero idempotent matrices.;命题4 （文献1，Remark 1）For ,under the hypotheses of the theorem, we have the following:If then .If then .If then .If then .If then .If then .If then .命题5 （文献2，定理3）设是3个非零两两不同且相互可交换的幂等矩阵并且是非零复数时，如果下列情形之一成立，则矩阵是幂等矩阵.本文主要讨论3个非零两两不同且相互可交换的幂等矩阵的线性组合还是幂等矩阵的一些充分条件, 这些条件不仅概括了文献1与文献2的相关结论，而且还得到一些新结果.1 预备知识定义1 若阶方阵，存在可逆矩阵，使得，则称矩阵与相似.定义2 若阶方阵与一个对角矩阵相似，则称是可对角化的.定义3 若阶方阵，存在可逆矩阵，使得和都是对角矩阵，则称可同时对角化.引理1 设是3个非零两两不同且相互可交换的幂等矩阵并且是非零复数，令.为幂等矩阵当且仅当.证明：参看文献2，引理1. 引理2 所有可对角化的矩阵，若它们两两相互可交换，则它们可同时对角化.证明：参看文献5. 引理3 是3个非零两两不同且相互可交换的幂等矩阵并且是非零复数，则为幂等矩阵当且仅当.其中分别是的特征值.证明：参看文献2，引理2. 2 主要结果及证明定理1 是3个非零两两不同且相互可交换的幂等矩阵，且满足下列之一，则为幂等矩阵(1) ，；(2) ，；(3) ，；(4) ，；(5) ，；(6) ，；(7) ，；(8) ；证明：由引理1知只需证明：.仅证明（1）的情况，其它类似可证.当（1）成立时，由(1) ，代入得：. 定理2 是3个非零两两不同且相互可交换的幂等矩阵，且满足下列之一，则为幂等矩阵(1) ，；(2) ，；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；证明：由引理1知只需证明：.仅证明(1)的情况，其它类似可证.当（1）成立时，由(1) ，代入得：. 定理3 是3个非零两两不同且相互可交换的幂等矩阵，且满足下列之一，则为幂等矩阵(1) ，；(2) ，；(3) ，；(4) ，；(5) ，；(6) ，；(7) ，；(8) ；证明：由引理1知只需证明：.仅证明（1）的情况,其它可类似证明。当（1）成立，由(1)，代入得：. 定理4 是3个非零两两不同且相互可交换的幂等矩阵，且满足下列之一，则为幂等矩阵1. ，；2. ，；3. ，；4. ，；5. ，；6. ，；7. ；8. ，；9. ，；10. ，；11. ，；12. ，；13. ，；14. ，；15. ，；16. ，；17. ，； 18.；证明：仅证1的情况，其它可类似证明.由引理1知只需证明：.当1成立时,由1.，代入得：. 定理5 若为幂等矩阵,则与是等价的.证明：由引理1知为幂等矩阵当且仅当,即.因此只要证明为幂等矩阵当且仅当. 充分条件：由于两两可交换，由引理2，存在可逆矩阵使：，由此得： .可见为幂等矩阵当且仅当 其中.由.对，可能的取值范围: .因为，则不能有两个为1.所以只能有.由此得：.必要条件：因为为幂等矩阵当且仅当.若,有，则为幂等矩阵. 注：若时，有下列的条件成立；证明：仅证的情况，其它可类似证明.由于.则对，可能的取值范围又由于. 所以只能有.由于，不失一般性，设，对于，任意取自中的两个时，或者或者或者，这些都与已知条件矛盾。因此. 只能有，从而得：. 3 讨论3.1 与文献1之间的关系1）文献1所得的命题3和4只是本文定理1，2，3，4中的一部份：命题3结论（a）是定理4中的结论16；命题3结论（b）是定理3结论（5）和（6）；命题3结论（c）定理2结论（5）和（6）；命题3结论（d）定理1结论（5）和（6）；2）文献1所得的命题4是本文注的一部份：命题4中的结论分别对应注中结论（a），（d2），（d1），（b2），（b3），（c3），（c1）.3.2 与文献2之间的关系在文献2基础上，增加了9个充分条件（可分为两类）：定理4结论1-6和13-15.3.3 命题3结论（a）与命题5结论（6）的关系由定理5知，命题5结论（6）与命题3结论（a）是等价的.3.4 不足之处定理1，2与3的结论没有命题4中的结论（5）范围广,是属于其中的一部分. 4 说明对于上述定理1-5，人们会有疑问：定理的条件结论很多，但证明很简单，其实得到这些结论的背景还是要费些周折.首先，由于两两可交换，由引理1，则存在可逆矩阵,使：，则令，.可见为幂等矩阵当且仅当.由.对于，可能取到的范围.其次，因为方程组有3个变量，当时，可以解出的值，其必要条件是所选取的3个向量是无关的.因此采用穷举法穷取A中非零的3个向量（共有种），正好可以选取无关的情况,从而可以解出的值.下面用穷举法把它们都列出来.，此时.（矛盾）.把它代入方程组,若方程组有解,不失一般性，.即,由及得：方程组无解.此时（矛盾）.类似（1）的证明可得：方程组无解.，.把这一组特征值代入方程组，若方程组有解,不失一般性， , .即 由及得:则.容易验证：.,.把这一组特征值代入方程组，若方程组有解,不失一般性，,.即，由及得：.则.容易验证：., .把这一组特征值代入方程组，若方程组有解,不失一般性，.即 由及得：.则.此时 .容易验证：. 此时.把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性，.即 由及得: .容易验证：. 此时 （矛盾）把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性，.即 由及得: .则.,.把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有：.即 由及得:,则.容易验证：., 此时（矛盾）.类似（1）的证明得:方程组无解.,.把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有,即 由及得: 则或.容易验证：. .把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有：.即 由及得: .则或.此时.容易验证：. 此时 （矛盾）把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有：即 由及得: . 则. 此时.把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有：.即 由及得:,.容易验证:. .把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有： ,.此时 .容易验证:. .把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有：,.此时 .容易验证:. 此时 （矛盾）.把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有：.即 由及得: .则.把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有：,. .容易验证：. ，.把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有：.即 由及得: . .此时 .容易验证:. .把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有：,.此时 .容易验证:. .把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有： , ,，.易知 .容易验证:.,把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有：, . .容易验证:.,.把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有： .，.容易验证:.,.把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有: . ，.容易验证:.,把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有: .，.容易验证:., .把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有, .此时 .容易验证:.,.把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有： .容易验证:.,.把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有：,.此时 .容易验证:. 此时.把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有:,.，.容易验证:.,.把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有：,. .容易验证:.,.把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有： , .容易验证:., 此时.把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有：,.容易验证:. 此时.把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有：,.，.容易验证:. 此时.把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有：,. .容易验证:. 此时.把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有：,.，.容易验证:. 则.把这一组特征值代入方程组,若方程组有解,不失一般性有：,.此时 .容易验证:. 最后，对上述计算得到的结果进行整理，总结得出上面的定理.参考文献1 Halim zdemir,Ahrnet Yasar zban.On idempotency of linear combinations of idempotent matrices J.Applied Mathematics and Computation,2004,159(2):439-448.2 王月清，王爱丽.3个幂等矩阵线性组合的幂等性J.宝鸡文理学院学报（自然科学版），2005, 25(3):167-168.3 宁群.关于幂等矩阵的相似与线性组合J.大学数学，2004,20,(3):84-85. 4 Baksalary, Oskar Maria.Idempotency of linear combinations of three idempotent matrices, two of which are disjointJ.Linear Algebra and its Applications,2004,388:67-78.5 张禾瑞，郝炳新，高等代数（第四版），高等教育出版社，北京.6 Vachelav Rabanovich.Every matrix is a linear combination of three idempotents J. Linear Algebra and its Applications 2004,15(3):228-235.7 Jerzy K.Baksalary,Oskar Maria Badsalary, Idempotency of linear combinations of an idempotent matrix