高中数学圆锥曲线2.3柱面与平面的截面2.4平面截圆锥面学案北师大版.docx

3柱面与平面的截面4平面截圆锥面1.了解柱面、旋转面、圆锥面的形成过程.2.了解平面截圆柱面所得交线为圆或椭圆.3.了解平面截对顶圆锥面所得交线为圆、椭圆、双曲线和抛物线.基础初探教材整理1柱面与平面的截面(1)柱面、旋转面圆柱面 如图231所示，圆柱面可以看成是一个矩形ABCD以一边CD所在的直线为轴，旋转一周后AB边所形成的曲面.图231旋转面如图231所示，平面上一条曲线C绕着一条直线l旋转一周后所形成的曲面称为旋转面.(2)垂直截面用垂直于轴的平面截圆柱面，所得的交线为一个圆.(3)一般截面当截面与圆柱面的轴不垂直时，所得交线为椭圆.1.用一个平面去截一个圆柱面，其交线是()A.圆B.椭圆C.两条平行线D.以上均可能【解析】当平面垂直于圆柱面的轴时，交线为圆；当平面与圆柱面的轴平行时，交线为两条平行线，当平面与圆柱面的轴不平行也不垂直时，交线为椭圆，故选D.【答案】D教材整理2平面截圆锥面(1)圆锥面取直线l为轴，直线l与l相交于点O，其夹角为(090)，l绕l旋转一周得到一个以O为顶点，l为母线的圆锥面.(2)垂直截面当截面与圆锥面的轴垂直时，所得的交线是一个圆.(3)一般截面定理：在空间，直线l与l相交于点O，其夹角为，l绕l旋转一周得到以O为顶点，l为母线的圆锥面，任取平面，若它与轴l的交角为，则当时，平面与圆锥面的交线为椭圆；当时，平面与圆锥面的交线为抛物线；当时，平面与圆锥面的交线为双曲线.2.用一个过圆锥面顶点的平面去截圆锥面，则交线为() 【导学号：96990047】A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.两条相交直线【答案】D3.一圆锥面的母线和轴线成30角，当用一与轴线成30的不过顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.两条相交直线【解析】如图所示，可知应为抛物线.【答案】C质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型平面与圆柱面交线性质的应用圆柱的底面半径为5，高为5，若一平行于轴的平面截圆柱得一正方形，求轴到截面的距离.【精彩点拨】将题目中给出的关系转化为线面关系求解.【自主解答】如图所示，ABCD为边长为5的正方形，连接OC，OD，OCD为等边三角形.设CD的中点为E，连接OE，则OECD，且OE，又AD上底面，ADOE，故OE平面ABCD，故OE为轴到截面的距离，轴到截面的距离为.1.解答本题时，应根据线面关系作出线面距.2.当圆柱面的截面平行于轴或垂直于轴时，利用点、线、面关系可解决.再练一题1.如图232所示，圆柱面的母线长为2 cm，点O，O分别是上、下底面的圆心.若OAOB，OA1 cm.求：图232(1)OO与AB所成的角的正切值；(2)过AB与OO平行的截面面积；(3)O到截面的距离.【解】(1)设过A的母线为AA，则OOAA，OOAA是矩形.易知OBA是等腰直角三角形，AB.又AA2，OO与AB所成的角为BAA，tan BAA.(2)所求截面为矩形AABB，面积等于2 cm2.(3)O到截面的距离即OO到截面的距离，也是O到截面的距离为 cm.平面与圆锥面交线性质的应用如图233所示，AB，CD是圆锥面的正截面(垂直于轴的截面)上互相垂直的两条直线，过CD和母线VB的中点E作一截面.已知圆锥侧面展开图扇形的中心角为，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么曲线.图233【精彩点拨】【自主解答】设O的半径为R，母线VBl，则圆锥侧面展开图的中心角为，sinBVO.圆锥的母线与轴的夹角BVO.O，E分别是AB，VB的中点，OEVA.VOEAVOBVO，VEO，即VEOE.又ABCD，VOCD，CD平面VAB.VE平面VAB，VECD.又OECDO，VE平面CDE，OE是VO在平面CDE上的射影.VOE是截面与轴线的夹角，截面轴线夹角大小为.由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面CDE与圆锥面的截线为一抛物线.1.解答本题的关键是求出截面与轴的夹角以及母线与轴的夹角.2.判断平面与圆锥面交线形状的方法(1)求圆锥面的母线与轴线的夹角，截面与轴的夹角；(2)判断与的大小关系；(3)根据定理判断截线是什么曲线.再练一题2.如图234所示，平面ABC是圆锥面的正截面，PAB是圆锥的轴截面，已知APC60，BPC90，PA4.图234(1)求二面角APCB的余弦值；(2)求正截面圆圆心O到平面PAC的距离.【解】(1)APC60，APC为等边三角形.如图所示，分别取PC，BC的中点D，E，连接AD，DE，则ADPC，DEPB.又PBPC，DEPC.故ADE为二面角APCB的平面角.连接AE，在RtACE中，求得AE224.又ADPA2，DEPB2，在ADE中，由余弦定理，得cosADE.(2)取AC的中点F，连接PF，OF，则AC平面POF，从而平面PAC平面POF.过O点作OHPF，垂足为H，则OH平面PAC，故OH的长为O点到平面PAC的距离.在RtACB中，ACPA4，BCPB4，从而AB4，OP2.在RtPOF中，OFBC2，OP2，PFPA2，由面积关系，得OH.即O点到平面PAC的距离为.探究共研型截面的图形特征探究1平面截圆柱面，与圆柱面的轴的夹角变化，所截出的椭圆有什么变化？【提示】变化不影响椭圆的短轴，越小，长轴越长，椭圆越扁，离心率越大.探究2若平面与圆柱面轴的夹角为，圆柱面的半径为r，则平面截圆柱面所得的椭圆的长轴长2a，短轴长2b，离心率e的值如何用，r表示？【提示】由两焦球球心距离等于截得椭圆的长轴长，故2a，椭圆的短轴长2b2r，离心率ecos .如图235，已知球O1，O2分别切平面于点F1，F2.G1G22a，Q1Q22b，G1G2与Q1Q2垂直且互相平分，求证：F1F22【自主解答】连接AB，过G1作G1HBG2，H为垂足，则四边形ABHG1是矩形，G1HAB.设P1，P2分别是Q1，Q2的平行射影，连接P1P2，P1Q1，P2Q2，则P1Q1P2Q2.P1Q1Q2P2是平行四边形.Q1Q2P1P2，即Q1Q2等于底面直径，G1HABQ1Q22b.又由切线长定理得G1AG1F1G2F2，G2F1G2B，G2F1G2F2G2BG1A.又G1ABH，G2F1G2F2G2BBH.F1F2G2H.在RtG1G2H中，G2H2.构建体系1.一个平面和圆柱面的轴成角(090)，则同时与圆柱面和该平面都相切的球的个数为()A.0B.1C.2D.由的不同而定【解析】由焦球的定义知，符合定义的球有2个.【答案】C2.一个圆锥轴截面的顶角为120，母线长为1，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为()A. B.C.D.【解析】设截面两母线的夹角为，则0120，当90时，截面面积S最大，此时S11sin 90.【答案】A3.圆锥面的母线与轴线成角，过顶点的平