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探索宇宙奥秘的数学结课论文 任课老师-赵海青 班级：农电0802 姓名：左一丁 学号：200801090227三次数学危机提到数学，我有一种感觉，数学是自然中最基础的学科，它是所有科学之父，没有数学，就不可能有其他科学的产生。就人类发展史而言，数学在其中起的作用是巨大的，难怪有人说数学是人类科学中最美的科学。但在数学的发展史中，并不是那么一帆风顺的，其中历史上曾发生过三大危机，危机的发生促使了数学本生的发展，因此我们应该辨证地看待这三大危机。第一次数学危机第一次数学危机发生在公元前五世纪古希腊时期,时间最早。当人类逐渐脱离蒙昧走向文明的时候,不同的民族都会利用他们原始文明中的经验、思维方式给这个奇妙变化的世界一种解释:这个世界是如何构成的?怎样发展变化的?不同的民族文化对这种世界的解释表现出各自的智慧形态,有的民族(如在印度)采用了一种从神秘走向宗教的解释世界的方式;在中国则形成了阴阳学说、金木水火土“五行”学说等以此来解释世界。与此不同,古希腊民族则采用了一种以数字,即以数学解释世界的独特方式。毕达哥拉斯对数论作了许多研究,将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等。因为有了数,才有几何学上的点,有了点才有线面和立体,有了立体才有火、气、水、土这四种元素,从而构成万物,所以数在物之先。他曾证明用三条弦发出某一个乐音,以及它的第五度音和第八度音时,这三条弦的长度之比为643。在这里,他们满怀信心地期望,人们将发现数是最高统治者。因此,他们认为,凡物皆数,数是事物的原型,也构成宇宙的秩序。如果想认识周围的世界,就必须找出事物中的数。一旦数的结构被抓住,就能控制整个世界。同样的道理,“和谐”和“美感”也是由一定数的比例关系组成的。伟大的时刻来临了,毕达哥拉斯发现了现时众所周知的勾股定理(其实中国于公元前一千一百年已有此定理)。但是,这个胜利是短命的。其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数表示,而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数2!的诞生。小小2!的出现,却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰,无理数的出现,标志着毕达哥拉斯学派作为一种自然哲学体系的衰落。毕达哥拉斯学派所宣扬的算术和几何之间的完满和谐原来是一个骗局:数对于宇宙的最直接方面几何尚且无法解释,它又如何能够统治宇宙呢?实际上,这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上:任何量,在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰,就是在今天,测量技术已经高度发展时,这个断言也毫无例外是正确的!可是为我们的经验所确信的,完全符合常识的论断居然被小小的2!的存在而推翻了!这应该是多么违反常识,多么荒谬的事!它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是,面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机,从而导致了西方数学史上一场大的风波,史称“第一次数学危机”。原来第一次数学危机是无理数的发现,不过它还说出了有理数的不完备性,亦即有理数不可以完全填满整条直线,在有理数之间还有罅隙,无疑这些都是可被证明的事实,是不能否定的。面对着事实,数学家展开广阔的胸襟,把无理数引入数学的大家庭。一直到18世纪,当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时,拥护无理数存在的人才多起来。到19世纪下半叶,现在意义上的实数理论建立起来后,无理数本质被彻底搞清,无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位的确立,一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数,另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。第二次数学危机第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高,17世纪几乎在同一时期,微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世,就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿,还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上,但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而,从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。1734年,贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿,为计算比如说x2的导数,先将x取一个不为0的增量x,由(x+x)2-x2,得到2xx+(x)2,后再被x除,得到2x+x,最后突然令x=0,求得导数为2x。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零,一会儿又说不是零。因此,贝克莱嘲笑无穷小量是“鬼魂”。他说,你们那些相信这种“鬼魂”的数学家们,有什么理由怀疑上帝的存在呢?数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说,贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱,由此导致了第二次数学危机的产生。对于无穷小量所带来的数学本身非逻辑非严谨性的问题,那些曾具体从事微积分研究的数学家们早就有过这样或那样的思考,在他们之间并展开过激烈的讨论和争论。从数学的角度看,如何较好地理解这一问题或许可以被看成一个纯技术性的问题;但是,从文化的角度看,我们又只有从更为广泛的角度去进行考察,特别是密切联系当时在欧洲人生活中占重要地位的基督教文化,才能更好地理解围绕无穷小运算所展开的激烈争论及其内涵。综上可见,微积分作为一种新的数学方法,如果它的有关争论只限于数学家的群体之中,那就是一个纯粹的学术问题,一代解决不了可以留给下一代去解決(事实是,经过一百多年的努力,数学家们已为微积分理论奠定了严密的逻辑基础,这就是建立在实数理论之上的极限理论)。例如,数学史上的费尔玛猜想、哥德巴赫猜想等一系列数学问题就都是这样的纯数学问题。但是,微积分不一样,它已经越出了数学的数量计算的层面,进入到一个宗教和哲学的层面,进而在整个西方文化的核心层面(指对整个文化系统产生重大影响的非技术应用的思想意识层面)引起了争论。微积分学说与上帝的对立,使整个西方的宗教、哲学界都积极参与到这场表面上是数学、实质上则是文化的争论中来。使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于1821年开始出版了几本具有划时代意义的书与论文。其中给出了分析学一系列基本概念的严格定义。如他开始用不等式来刻画极限,使无穷的运算化为一系列不等式的推导。这就是所谓极限概念的“算术化”。后来,德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的我们目前所使用的“-”方法。另外,在柯西的努力下,连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上。不过,在当时情况下,由于实数的严格理论未建立起来,所以柯西的极限理论还不可能完善。柯西之后,魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究,都将分析基础归结为实数理论,并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系。魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有界数列极限存在原理;戴德金建立了有名的戴德金分割;康托尔提出用有理“基本序列”来定义无理数。1892年,另一个数学家创用“区间套原理”来建立实数理论。由此,沿柯西开辟的道路,建立起来的严谨的极限理论与实数理论,完成了分析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性,从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分学基础,这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。微积分学坚实牢固基础的建立,结束了数学中暂时的混乱局面,同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。第三次数学危机十九世纪下半叶,康托尔创立了著名的集合论,在集合论刚产生时,曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了,并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现,从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年,国际数学家大会上,法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称:“借助集合论概念,我们可以建造整个数学大厦今天,我们可以说绝对的严格性已经达到了”可是,好景不长。1903年,一个震惊数学界的消息传出:集合论是有漏洞的!这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说:“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时,其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”戴德金也因此推迟了他的什么是数的本质和作用一文的再版。可以说,这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石,而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。危机产生后,数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造,通过对集合定义加以限制来排除悖论,这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄,以保证排除一切矛盾;另一方面又必须充分广阔,使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年,策梅罗在自已这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系,后来经其他数学家改进,称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外,集合论的公理系统还有多种,如诺伊曼等人提出的NBG系统等。公理化集合系统的建立,成功排除了集合论中出现的悖论,从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面,罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前,导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争,形成了现代数学史上著名的三大数学流派,而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。以上简单介绍了数学史上由于数学悖论而导致的三次数学危机与度过,从中我们不难看到数学悖论在推动数学发展中的巨大作用。有人说:“提出问题就是解决问题的一半”,而数学悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。它对数学家说:“解决我,不然我将吞掉你的体系!”正如希尔伯特在论无限一文中所指出的那样:“必须承认,在这些悖论面前,我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想:在数学这个号称可靠性和真理性的模范里,每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话,那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢?”悖论的出现逼迫数学家投入