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文档简介
2直线的极坐标方程1直线的极坐标方程(1)若直线经过点M(0,0),且极轴到此直线的角为,则直线l的极坐标方程为sin()0sin(0)(2)当直线l过极点,即00时,l的方程为 .(3)当直线l过点M(a,0)且垂直于极轴时,l的方程为cos_a.(4)当直线l过点M且平行于极轴时,l的方程为.2图形的对称性(1)若()(),则相应图形关于极轴对称 (2)若()(),则图形关于射线所在直线对称(3)若()(),则图形关于极点对称求直线的极坐标方程例1求过点A(1,0)且倾斜角为的直线的极坐标方程思路点拨思路一:通过运用正弦定理解三角形建立动点M所满足的等式,从而集中条件建立以,为未知数的极坐标方程;思路二:先求出直线的直角坐标方程,然后运用直角坐标向极坐标的转化公式间接得解解法一:设M(,)为直线上除点A以外的任意一点,易知xAM,则OAM,OMA.在OAM中,由正弦定理得,即,sin,化简得(cos sin )1,经检验,点A(1,0)的极坐标适合此方程,满足条件的直线的极坐标方程为(cos sin )1.法二:以极点O为直角坐标原点,极轴为x轴非负半轴,建立平面直角坐标系xOy,直线的斜率ktan 1,直线方程为yx1,将ysin ,xcos 代入上式,得sin cos 1,满足条件的直线的极坐标方程为(cos sin )1.求直线的极坐标方程,首先应明确过点M(0,0),且极轴到此直线的角为的直线极坐标方程的求法另外,还要注意过极点、与极轴垂直和平行的三种特殊情况的直线的极坐标方程1求过A且垂直于极轴的直线l的方程解:如图所示,在直线l上任意取点M(,),A,|OH|2sin.在RtOMH中,|OH|OM|cos ,cos ,即cos ,过A且垂直于极轴的直线l的方程为cos .2设点A的极坐标为,直线l过点A且与极轴所成的角为,求直线l的极坐标方程解:设P(,)为直线l上任意一点(如图)则,在OPA中,有,即sin1.直线的极坐标方程的应用例2在极坐标系中,直线l的方程是sin1,求点P到直线l的距离思路点拨将极坐标问题转化为直角坐标问题解点P的直角坐标为(,1)直线l:sin1可化为sin coscos sin1,即直线l的直角坐标方程为xy20.点P(,1)到直线xy20的距离为d1.故点P到直线l的距离为1.对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题,通常是将它们化为直角坐标方程,在直角坐标系下研究3在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为sin2cos 和sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2的交点的直角坐标为_解析:由sin2cos 2sin2cos y2x,又由sin 1y1,联立故曲线C1和C2交点的直角坐标为(1,1)答案:(1,1)4已知直线的极坐标方程为sin,则点A到这条直线的距离是_解析:点A的直角坐标为(,)直线sin,即sin coscos sin,其直角坐标方程为xy,即xy1.点A(,)到直线xy10的距离为d,故点A到直线sin的距离为.答案:一、选择题1极坐标方程cos (0)表示的曲线是()A余弦曲线B两条相交直线C一条射线 D两条射线解析:选Dcos ,2k(kZ)又0,cos 表示两条射线2已知点P的坐标为(2,),则过点P且垂直于极轴的直线方程是()A1 Bcos C D解析:选C由点P的坐标可知,过点P且垂直于极轴的直线的直角坐标方程为x2,即cos 2.故选C.3如果直线与直线l关于极轴对称,那么直线l的极坐标方程是()A BC D解析:选A由知cos 2sin 1,故cos 2sin 1,即为所求4在极坐标系中,点到曲线cos sin 10上的点的最小距离等于()A. B.C. D2解析:选A将极坐标化为直角坐标即为点(1,1)到直线xy10的距离最小,即,故选A.二、填空题5极坐标方程cos1的直角坐标方程是_解析:将极坐标方程变为cos sin 1,化为直角坐标方程为xy1,即xy20.答案:xy206若直线sin与直线3xky1垂直,则常数k_.解析:直线的极坐标方程可化为sin cos ,即xy10,由题意知1,解得k3.答案:37在极坐标系中,点到直线sin 2的距离为_解析:点对应的直角坐标为(,1),直线sin 2对应的直角坐标方程为y2,所以点到直线的距离为1.答案:1三、解答题8设M,N分别是曲线2sin 0和sin上的动点,求M,N的最小距离解:因为M,N分别是曲线2sin 0和sin上的动点,即M,N分别是圆x2y22y0和直线xy10上的动点,要求M,N两点间的最小距离,即在直线xy10上找一点到圆x2y22y0的距离最小,即圆心(0,1)到直线xy10的距离减去半径,故最小值为11.故M,N的最小距离为1.9求过点(2,3)且斜率为2的直线的极坐标方程解:由题意知,直线的直角坐标方程为y32(x2),即2xy70.设M(,)为直线上任意一点,将xcos ,ysin 代入直角坐标方程2xy70,得2cos sin 70,这就是所求的极坐标方程10已知双曲线的
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