概率论课件-煤炭工业出.ppt

主要教学参考书,1 .概率论与数理统计 盛骤等编 高等教育出版社 (2002) .概率论与数理统计教程 魏宗舒等编 高等教育出版社（1983),本学科的ABC,本学科的应用,概率统计理论与方法的应用几乎遍及,所有科学技术领域、工农业生产和国民经,济的各个部门中. 例如,1. 气象、水文、地震预报、人口控制,及预测都与概率论紧密相关；,2. 产品的抽样验收，新研制的药品能,否在临床中应用，均要用到假设检验；,4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其,发射都离不开可靠性估计;,3. 寻求最佳生产方案要进行实验设计,和数据处理；,5. 处理通信问题, 需要研究信息论；,水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都,可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知,装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、,6. 许多服务系统，如电话通信、船舶,识就是 排队论.,目前, 概率统计理论进入其他自然科学,领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经,济的稳定增长等问题 , 都大量采用概率统,统计方法.,领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领,课程评分方法 总分 (100) = 平时成绩(30)+期末 (70),答疑 时间:待定 地点:,作业 每周二上午收发,我的联系方式 Email: Office:理A312,学时安排,第一章 概率论的基本概念 8 学时,第二章 随机变量及其分布 8 学时,第三章 多维随机变量及其分布 5 学时,第四章 随机变量的数字特征 5学时,第五章 大数定理及中心极限定理 4学时,第六章 样本及抽样分布 4学时,第七章 参数估计 6 学时,第八章 假设检验 6 学时,合计：48 学时,概率论,数理统计,总复习 2学时,确定性现象,随机现象 ,每次试验前不能预言出现什么结果 每次试验可能出现的结果不止一个 在相同的条件下进行大量观察或试 验时，出现的结果有一定的规律性 称之为统计规律性,1.1 随机事件,对某事物特征进行观察, 统称试验.,若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示,试验前不能预知出现哪种结果,1.1,可在相同的条件下重复进行,试验结果不止一个,但能明确所有的结果,样本空间 随机试验E 所有可能的结果,样本空间的元素, 即E 的每个结果, 称为,随机事件 S的子集, 记为 A ,B ,它是满足某些条件的样本点所组成的集合.,组成的集合称为样本空间 记为S,样本点(or基本事件) 常记为 ，S = ,其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度,观察某地区每天的最高温度与最低温度,观察总机每天9:0010:00接到的电话次数,投一枚硬币3次，观察正面出现的次数,例1 给出一组随机试验及相应的样本空间,基本事件 仅由一个样本点组成的子集 它是随机试验的直接结果,每次试验必定发 生且只可能发生一个基本事件.,必然事件全体样本点组成的事件,记为S, 每次试验必定发生的事件.,随机事件发生 组成随机事件的一个样 本点出现,不可能事件不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.,A,S,随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算,文氏图 ( Venn diagram ), A 包含于B,事件 A 发生必 导致事件 B 发生,A,B,S,且,1. 事件的包含,2. 事件的相等,事件 A与事件B 至 少有一个发生,发生,的和事件 ,的和事件 , A 与B 的和事件,S,3. 事件的并(和),事件 A与事件B 同时 发生,发生,的积事件 ,的积事件 , A 与B 的积事件,4. 事件的交(积), A 与B 的差事件,5. 事件的差, A 与B 互斥,A、 B不可能同时发生,两两互斥,两两互斥,6. 事件的互斥(互不相容), A 与B 互相对立,每次试验 A、 B中有且只有一个发生,A,称B 为A的对立事件(or逆事件)， 记为,注意：“A 与B 互相对立”与“A 与B 互斥”是不同的概念,7. 事件的对立,8. 完备事件组,若 两两互斥，且,则称 为完备事件组,或称 为 的一个划分,吸收律,幂等律,差化积,重余律,对应,交换律,结合律,分配律,反演律,运算顺序： 逆交并差，括号优先,B,C,A,C,分配律 图 示,A,A,B,B,红色 区域,黄色 区域,例2 用图示法简化,A,A,例3 化简事件,解 原式,例4 利用事件关系和运算表达多 个事件的关系,A ,B ,C 都不发生,A ,B ,C 不都发生,例5 在图书馆中随意抽取一本书，,表示数学书，,表示中文书，,表示平装书., 抽取的是精装中文版数学书, 精装书都是中文书, 非数学书都是中文版的，且,中文版的书都是非数学书,则,事件,习题,作业: P5 习题 1 2,1.2 概率的定义及计算,1.2 概率定义计算,历史上概率的三次定义,苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出,设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次，,则称 为事件 A 发生的 频率,频率的性质,事件 A, B互斥，则,可推广到有限个两两互斥事件的和事件,投一枚硬币观察正面向上的次数,n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069,n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016,n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005,频率稳定性的实例,蒲丰( Buffon )投币,皮尔森( Pearson ) 投币,例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词 中各字母出现的频率, 发现各字母出现 的频率不同：,A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006,频 率 的 应 用,第五章指出:当试验次数较大时有,事件发生 的概 率,事件发生 的频 率,概率的 统计定义,在相同条件下重复进行的 n 次,试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一,常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越,小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).,优点：直观 易懂,缺点：粗糙 模糊,不便 使用,设 是随机试验E 的样本空间，若能找到 一个法则，使得对于E 的每一事件 A 赋于一个 实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的概率，这种 赋值满足下面三个条件：,非负性：,归一性：,可列可加性：,其中 为两两互斥事件,概率的 公理化定义,公理化定义,概率的性质,若,对任意两个事件A, B, 有,B,B=AB+(B A),P(B)=P(AB)+ P(B AB),加法公式：对任意两个事件A, B, 有,推广：,一般：,问题:右端共有多少项?,例1 小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙 二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都 能答出的概率为0.1.求小王,解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”,(1),(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率,(2),(3),例1,由题意,例2 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？,解,最小值在 时取得, 最小值, 最大值,最大值在 时取得,例2,问题:,答：不成立 ！,是否成立?,设 随机试验E 具有下列特点：,基本事件的个数有限 每个基本事件等可能发生,则称 E 为 古典(等可能)概型,古典概型中概率的计算：,记,则,概率的 古典定义,古典概型,排列组合有关知识复习,加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类 方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 共有,种不同的方法,乘法原理：完成一件事情有n 个步骤，第 i 个 步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 共有,种不同的方法,排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有,全排列,可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地 取出 m 个排成一排, 不同的排法有,种,组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地）组成一组， 不同的分法共有,E1: 球编号, 一次取 m 个球,记下颜色,1:,记事件 A 为m个球中有k个白球，则,因此,称超几 何分布,例3 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按 不放回与放回两种方式取m个球（ ), 求其中恰有 k 个 （ ）白球的概率,解 （1）不放回情形,（2）放回情形,E2: 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放回去, 重复 m 次,2:,记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球, 则,称二项分布,设有 k 个不同的球, 每个 球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设 每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:,（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；,（4）恰有 k 个盒子中各有一球；,（3）某指定的一个盒子没有球；,（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( ),（5）至少有两个球在同一盒子中；,例4 （分房模型）,例4,设有 k 个不同的球, 每个 球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设 每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:,（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；,例4 （分房模型）,例4,（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( ),设有 k 个不同的球, 每个 球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设 每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:,（4）恰有 k 个盒子中各有一球；,（3）某指定的一个盒子没有球；,例4 （分房模型）,例4,设有 k 个不同的球, 每个 球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设 每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:,（5）至少有两个球在同一盒子中；,例4 （分房模型）,例4,例4的“分房模型”可应用于很多类似场合,信封,信,钥匙,门锁,女舞伴,生日,人,男舞伴,例5 “分房模型”的应用,生物系二年级有 n 个人，求至少有两,人生日相同（设为事件A ) 的概率.,解,为 n 个人的生日均不相同,这相当于,本问题中的人可被视为“球”，365天为,365只“盒子”,若 n = 64，,每个盒子至多有一个球. 由例4（4）,例5,1o 明确所作的试验是等可能概型,2o 计算古典概率时须注意应用概率计算的有关公式, 将复杂问题简单化.,59,解,例6 在0,1,2,3, ,9中不重复地任取四个数， 求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.,设 A为“能排成首位非零的四位偶数”,四位偶数的末位为偶数, 故有 种可能,而前三位数有 种取法,由于首位为零的四,位数有 种取法,所以有利于A发生的取,法共有 种.,例6,若P(A) 0.01 , 则称A为小概率事件.,小概率事件,一次试验中小概率事件一般是不,会发生的. 若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件.,小概率原理,小概率原理,( 即实际推断原理 ),例7 区长办公室某一周内曾接待过9次来,访, 这些来访都是周三或周日进行的,是否,可以断定接待时间是有规定的？,解 假定办公室每天都接待，则,P( 9次来访都在周三、日) = = 0.0000127,这是小概率事件,一般在一次试验中不会发,发生. 现居然发生了, 故可认为假定不成立,从而推断接待时间是有规定的.,例8,习题,作业 P9 习题,1 2 3,柯尔莫哥洛夫,( A. H. 1903-1987 ),1939年任苏联科学 院院士.先后当选美,法, 意,荷,英,德 等国的外籍 院士 及皇家学会会员. 为 20 世纪最有影响的俄 国数学家.,俄国数学家,柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一 系列重要分支作出重大贡献.,他建立了在测度论基础上的概率论 公理系统, 奠定了近代概率论的基础.,他同时也是随机过程论的奠基人之一.,例7 某人的表停了，他打开收音机听电台 报时，已知电台是整点报时的，问他等待 报时的时间短于十分钟的概率,9点,10点,10分钟,例9,几何概型 设样本空间为有限区域 , 若样本点 落入 内任何区域 G 中的概率与区域G 的测度成正比, 则样本点落入G内的概率 为,例8 两船欲停同一码头, 两船在一昼夜内 独立随机地到达码头. 若两船到达后需在 码头停留的时间分别是 1 小时与 2 小 时， 试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等 待空出码头的概率.,解 设船1 到达码头的瞬时为 x , 0 x 24 船2 到达码头的瞬时为 y , 0 y 24,设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头,例10,用几何概型可以回答例2中提出的“概率 为 1 的事件为什么不一定发生?”这一问题.,如图，设试验E 为“ 随机地向边,长为1 的正方形内投点” 事件A 为“点投在黄、蓝两个三角形内” ,由于点可能投在正方形的对角线上, 所以,事件A未必一定发生.,求,第一章,二、乘法公式,一 、条件概率,第四节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,条件概率,三、全概率公式与贝叶斯公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 定义：,引例：取一副牌，随机地取一张,(1) 问抽中的是K的概率,(2) 若已知抽中的是红桃，问抽中的是K的概率,解 (1),一、条件概率,B抽中的是K,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) A抽中的是红桃,B抽中的是K,定义, 条件概率,(有条件的事件发生的概率和无条件的不一定相等),分析：,即求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,结论：对一般古典概型问题，设,分别表示,试验E，事件AB，事件A所包含的基本事件数，则有：,定义：(严格的数学定义)设A,B为两事件，且,称,为事件A发生条件下事件B发生的条件概率。,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 条件概率的性质,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,另：条件概率也同时满足概率的6个性质,例如：,和事件,逆事件, 计算条件概率,(1) 在缩减样本空间中求事件概率,(2) 利用定义(公式),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1 某动物活20年的概率为0.8，活25年的概率为0.4，,现在一动物20岁了，问它能活25年以上的概率？,解 设A: 动物活20年 B: 动物活25年,又,( 4 , 1 ) , ( 4 , 2 ) , ( 4 , 3 ) ,( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 4 ),( 2 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ),S = ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2 盒子里有4只产品，其中3只一等品，一只二等品，,试验 E：依次取两只，做无放回抽样.事件 A: 第一次取,得一等品；,事件 B: 第二次取得一等品，求,解 法一（缩减样本空间）,间S，将产品编号，1 , 2 , 3为一等品,4号为二等品,表示第一次，第二次分别取到 i号，j号。,为了能具体写出E的样本空,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由引例的结论得：,法二（公式法）由条件概率的公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3 设一批产品的一、二、三等品各占60%,30%,10% ,现从中任取一件，结果不是三等品，求取得是一等品,的概率。,解,则由已知得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 设,，则有,，则有,推广 三维,n 维,（条件概率公式的变形）,其中,其中,二、乘法公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,假设某学校学生四级英语考试的及格率为98%，,其中70% 的学生通过六级英语考试 , 试求从该校随机,的选出一名学生通过六级考试的概率。,解,设 A = “ 通过四级英语考试 ”,B = “ 通过六级英语考试 ”,由题意, 可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,设一个班中30名学生采用抓阄的办法分一张电影,票的机率是否相等？,解 设,“第 名学生抓到电影票”,机动 目录 上页 下页 返回 结束, ,所以抓阄决定谁去看电影是公平的。,例6. 某人忘了电话号码的最后一个数字，因而随意拨,号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率，若已,知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？,解 设,表示第i次拨通所需电话；,表示不超过三次而接通所需电话；,机动 目录 上页 下页 返回 结束,表示最后一个数为奇数时，不超过三次接通所需电话.,法一,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法二,类似于抓阄问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,西如图所示。,解,有三个箱子，分别编号为1 , 2 , 3 , 箱内所放东,球，求取得红球的概率.,B 发生总是伴随着 A1，A2，A3 之一同时发生，,即,且,某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一,1. 引例,三、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由于,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 事件的划分,定义 设 S 是随机试验E 的样本空间,若：,（互斥性）,（完备性）,则称,是样本空间 S 的一个划分。,例如 设试验 E 为“掷骰子观察其点数”。样本空间为,其中,，,，,是 S 的一个划分。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,不是 S 的一个划分。,，,，,而,3. 全概率公式,设随机试验 E 的样本空间 S， A 为 E 的任意一,定理,个事件,为 S 的一个划分,，则有,称为全概率公式。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证,由已知得,所以,互不相容,故,又因为,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,去构造这一组 Bi 往往可以简化计算.,全概率公式的理论和实用意义在于:,在较复杂情况下计,算P(A)不易, 但 A 总是伴随着某个Bi 出现，,所以适当地,例7 假设有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球2个红球，乙,袋中有2个红球3个白球，今从甲中任意取一只放入乙中，,再从乙中任取一球，问取到白球的概率为多少？,解 设 A 表示从乙中取到白球， B1 表示从甲中取到白,球， B2 表示从甲中取到红球 , B1 ，B2 为S的一个划分，,由全概率公式得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,某厂生产的仪器每台以 0.7 的概率可以出厂，,以 0.3 的概率需要进一步调试，,经调试后以 0.8 的概率,可以出厂，,以 0.2 的概率为不合格品，不能出厂。,求每,台仪器能出厂的概率。,例8,解,设 B “仪器能出厂”,A1 “仪器需要调试”,A2 “仪器不需要调试”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,运用全概率 公式计算P(A),机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 贝叶斯公式,定理,设随机试验 E 的样本空间为S , A 为 E 的任意,一个事件,为S 的一个划分, 且,则,，称此式为贝叶斯公式。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,已知 “结果” 求 “原因”,寻找导致 A 发生的每个原因的概率., 贝叶斯公式是在观察到事件 A 已发生的条件下，,注：, 全概率公式是在已知导致事件A 的每个原因发,生的概率的条件下，求事件A 发生的概率。,已知 “原因” 求 “结果”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.,设某工厂甲, 乙, 丙 3 个车间生产同一种产品, 产量,依次占全厂的45, 35, 20,且各车间的合格品率为,0.96, 0.98, 0.95,现在从待出厂的产品中检查出1个次品,问该产品是由哪个车间生产的可能性最大？,解,分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产，,设 A 表示“任取一件产品为次品”,由题意得,由贝叶斯公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以该产品是甲车间生产的可能性最大。,用全概率公式求,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10. 在电报系统中，不断发出“0”和“1” ，发“0”和“1”,的概率为0.6和0.4，发“0”分别以0.7, 0.1和 0.2接受为“0”,“1”和模糊信息“X ”，发“1”分别以 0.85, 0.05和 0.1接收,“1”,“0”和模糊信息“X ”，试求：, 收到信息为模糊信息的概率。, 收到模糊信息应该译成什么信息的最好。,分析 发信息 收信息,“0”,“0” 0.7,“1” 0.1,“X ” 0.2,0.6,“1”,“1” 0.05,“0” 0.85,“X ” 0.1,0.4,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解 设Ai 表示“发出的信息为“i” ，i=0,1,Bi 表示“收到的信息为“i” ，i=0,1, X,，所以应为“0”信息好。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,商店成箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果无次品，便买下了这一箱.否则退回，问 顾客买下该箱的概率； 在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率。,B0 ,B1 ,B2 分别表示“箱中恰好有0，1，2只次品, 由全概率公式:,解,例11,设 A 表示“顾客买下所察看的一箱”,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 由Bayes全公式:,习题,作业 P33习题,13,14,17,19,21,24,第一章,二、多个事件相互独立,一 、两个事件相互独立,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,事件的相互独立性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引言 考虑：,在什么条件下成立？,即 已知事件B 发生, 并不影响事件A发生的概率,B 表示“乙掷出偶数点”,A 表示“甲掷出偶数点”,可知,这时称事件A、B独立。,引例 掷甲乙两枚骰子，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一 、两个事件相互独立,定义1,设A、B是两个事件，如果有如下等式成立,则称事件A、B相互独立。,定理,设 A、B是两个事件, 若,，则A、B 相互独立的充分必要条件,为, 若A、B 相互独立,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证, 若 相互独立,则有,反之由乘法公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 当,时，互不相容与相互独立,不能同时成立。,证,A、B互不相容,反之 A、B 相互独立,则,，故A、B不可能互不相容。,其余同理可证。, 若A、B 相互独立,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注：区分互不相容、相互独立,二、 多个事件的相互独立性,若下面四个等式同时成立,定义2,则称A, B, C相互独立，,如果只有前三个等式成立，则称A, B, C两两相互独立。,注：事件 (n2) 相互独立,事件两两相互独立,n 个事件 A1, A2, , An 相互独立 是指下面的关系式同时成立,定义,常由实际问题的意义 判断事件的独立性,例1 已知事件 A, B, C 相互独立,证明事件,证,例4,若 n 个事件 A1, A2, , An 相互独立,将这 n 个事件任意分成 k 组,同一个事件