高中数学 计数原理1.2排列与组合1.2.2第2课时组合的综合应用学案新人教A版.docx

第2课时组合的综合应用学习目标1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题知识点组合的特点(1)组合的特点是只取不排组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出(2)组合的特性元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求(3)相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合类型一有限制条件的组合问题例1课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解(1)CC825(种)(2)至多有2名女生当选含有三类：有2名女生；只有1名女生；没有女生，所以共有CCCCC966(种)选法(3)分两类：第一类女队长当选，有C495(种)选法，第二类女队长没当选，有CCCCCCC295(种)选法，所以共有495295790(种)选法反思与感悟有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏跟踪训练1某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭则每天不同午餐的搭配方法共有()A210种 B420种 C56种 D22种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案A解析由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有CCCC210(种)类型二与几何有关的组合应用题例2如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？考点组合的应用题点与几何有关的组合问题解(1)方法一可作出三角形CCCCC116(个)方法二可作三角形CC116(个)，其中以C1为顶点的三角形有CCCC36(个)(2)可作出四边形CCCCC360(个)反思与感悟(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算常用直接法，也可采用间接法(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决跟踪训练2空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为()A205 B110 C204 D200考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案A解析方法一可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为CCCCCCCC205.方法二从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为CC205.类型三分组、分配问题例36本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组2本(平均分组)；(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)考点排列组合综合问题题点分组分配问题解(1)每组2本，均分为3组的方法数为15.(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为CCC20360.(3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为15.反思与感悟一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，mp，其中k组元素数目相等，那么分组方法数是.跟踪训练36本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)甲2本，乙2本，丙2本；(2)甲1本，乙2本，丙3本；(3)甲4本，乙、丙每人1本；(4)每人2本；(5)一人1本，一人2本，一人3本；(6)一人4本，其余两人每人1本考点排列组合综合问题题点分组分配问题解(1)(2)(3)中，由于每人分的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得：(1)共有CCC90(种)不同的分配方法；(2)共有CCC60(种)不同的分配方法；(3)共有CCC30(种)不同的分配方法(4)(5)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题分配给3人，同一本书给不同的人是不同的分法，属于排列问题实际上可看作两个步骤：先分为3组，再把这3组分给甲、乙、丙3人的全排列数A即可因此，(4)共有CCCAA90(种)不同的分配方法；(5)共有CCCA360(种)不同的分配方法；(6)共有CCCAA90(种)不同的分配方法例4将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子考点排列组合综合问题题点分组分配问题解(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C10(种)(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000|00|，有C种插法，故共有CC40(种)(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如|00|0000|，有C种插法将两块板与前面三块板之一并放，如|00|0000|，有C种插法故共有C(CC)30(种)反思与感悟相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法隔板法专门解决相同元素的分配问题(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(nm)，有C种方法可描述为n1个空中插入m1块板跟踪训练4某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A4种 B10种C18种 D20种考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案B解析由于只剩一本书，且这些画册、集邮册分别相同，可以从剩余的书的类别进行分析又由于排列、组合针对的是不同的元素，应从4位朋友中进行选取第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友，只有1位朋友得到画册即把4位朋友分成人数为1,3的两队，有1个元素的那队分给画册，另一队分给集邮册，有C种分法第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友，有2位朋友得到画册，即把4位朋友分成人数为2,2的两队，一队分给画册，另一队分给集邮册，有C种分法因此，满足题意的赠送方法共有CC4610(种)1某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有()A26种 B84种 C35种 D21种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案C解析从7名队员中选出3人有C35(种)选法2身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是()A5 040 B36 C18 D20考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案D解析最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有C20(种)3直角坐标平面xOy上，平行直线xn(n0,1,2，5)与平行直线yn(n0,1,2，5)组成的图形中，矩形共有()A25个 B36个 C100个 D225个考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案D解析从垂直于x轴的6条直线中任取2条，从垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为CC1515225.4从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有_种(用数字作答)考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案140解析安排方案分为两步完成：从7名志愿者中选3人安排在周六参加社区公益活动，有C种方法；再从剩下的4名志愿者中选3人安排在周日参加社区公益活动，有C种方法故不同的安排方案共有CC4140(种)5正六边形顶点和中心共7个点，可组成_个三角形考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案32解析不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C332.1无限制条件的组合应用题其解题步骤为：(1)判断；(2)转化；(3)求值；(4)作答2有限制条件的组合应用题：(1)“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的一、选择题1若从1,2,3，9这9个整数中同时取3个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有()A30种 B33种 C37种 D40种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案D解析从1,2,3，9这9个数中取出3个不同的数，使其和为奇数的情况包括：(1)取出的3个数都是奇数，取法有C10(种)；(2)取出的3个数中有2个偶数、1个奇数，取法有CC30(种)，根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有103040(种)2某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为()A24种 B14种 C28种 D48种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案B解析方法一分两类完成：第1类，选派1名女生、3名男生，有CC种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有CC种选派方案故共有CCCC14(种)不同的选派方案方法二6人中选派4人的组合数为C，其中都选男生的组合数为C，所以至少有1名女生的选派方案有CC14(种)3直线ab，a上有5个点，b上有4个点，以这九个点为顶点的三角形个数为()ACCCC B(CC)(CC)CC9 DCC考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案A解析可以分为两类：a上取两点，b上取一点，则可构成三角形个数为CC；a上取一点，b上取两点，则可构成三角形个数为CC，利用分类加法计数原理可得以这九个点为顶点的三角形个数为CCCC，故选A.4从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有()ACC种 BCA种CCACA种 DAA种考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案B解析先从5名男选手中任意选取2名，有C种选法，再从6名女选手中任意选择两名与选出的男选手打比赛，有CA，即A种所以共有CA种5将标号为A，B，C，D，E，F的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A，B的卡片放入同1个信封，则不同的放法共有()A12种 B18种 C36种 D54种考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案B解析由题意知，不同的放法共有CC318(种)6某地招募了20名志愿者，他们编号分别为1号，2号，19号，20号，如果要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是()A16 B21 C24 D90考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案B解析分2类：第1类，5号与14号为编号较大的一组，则另一组编号较小的有C6(种)选取方法第2类，5号与14号为编号较小的一组，则编号较大的一组有C15(种)选取方法由分类加法计数原理得，共有CC61521(种)选取方法7北京财富全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为()ACCC BCAAC. DCCCA考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案A解析首先从14人中选出12人共C种，然后将12人平均分为3组共种，然后这两步相乘，得.将三组分配下去共CCC种故选A.8假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为()A30 B21 C10 D15考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案D解析用“隔板法”在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C15(种)分配方法二、填空题9在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选择方案有_种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案10解析在生物、政治、历史三门中选择1门，则在物理、化学、地理中选2门，有CC9(种)选法；在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选，有C1(种)选法共有选法9110(种)10.如图所示的几何体是由一个正三棱锥PABC与正三棱柱ABCA1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有_种考点涂色问题题点涂色问题答案12解析先涂三棱锥PABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有CCCC321212(种)不同的涂法11在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案60解析一、二、三等奖，三个人获得，有A24(种)一、二、三等奖，有一个人获得2张，一个人获得1张，共有CA36(种)，共有243660(种)不同的获奖情况三、解答题12现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，求不同取法的种数考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有CCC64(种)，若2张同色，则有CCCC144(种)，若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有CCCC192(种)，剩余2张同色，则有CCC72(种)，所以共有6414419272472(种)不同的取法13现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中