河南省洛阳市2015-2016学年高二上学期期中数学试题理科.doc

2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1若ab0，则下列结论不正确的是（）AB0Ca2b2Da3b32下列结论正确的是（）A当x0且x1时，lgx+B当x时，sinx+的最小值为4C当x0时，2D当0x2时，x无最大值3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b=，B=45，则角A=（）A30B60C30或150D60或1204不等式lg（x23x）1的解集为（）A（2，5）B（5，2）C（3，5）D（2，0）（3，5）5下列结论正确的是（）A若数列an的前n项和为Sn，Sn=n2+n+1，则an为的等差数列B若数列an的前n项和为Sn，Sn=2n2，则an为等比数列C非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等差数列，则，可能构成等差数列D非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等比数列，则，一定构成等比数列6在等比数列an 中，a1=4，公比为q，前n项和为Sn，若数列Sn+2也是等比数列，则q等于（）A2B2C3D37设集合A=x丨2x4，B=x丨x2ax40，若BA，则实数a的取值范围为（）A1，2B1，2）C0，3）D0，38在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则ABC的形状一定是（）A正三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形9已知等差数列an的前n项和为Sn，若m1且am1+am+1am21=0，S2m1=39，则m等于（）A10B19C20D3910设数列an满足+2n1an=（nN*），通项公式是（）Aan=Ban=Can=Dan=11若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（）A2B1C1D212设an=+，则对任意正整数m，n（mn）都成立的是（）AamanBamanCamanDaman二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值为14已知数列an满足a1=1，an+1=an+2n1（nN*），则an=15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA=，tanB=，且最长边的长为1，则ABC最短边的长为16若x、y、z均为正实数，则的最大值为三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）（2015秋洛阳期中）（1）已知正数a，b满足a+4b=4，求+的最小值（2）求函数f（k）=的最大值18（12分）（2015秋洛阳期中）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2+c2=b2+ac（1）若b=，sinC=2sinA，求c的值；（2）若b=2，求ABC面积的最大值19（12分）（2015秋洛阳期中）解关于x的不等式ax22x2a0（a1）20（12分）（2014余杭区校级模拟）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知（）求的值；（）若B为钝角，b=10，求a的取值范围21（12分）（2011佛山一模）设数列an是首项为a1（a10），公差为2的等差数列，其前n项和为Sn，且成等差数列（）求数列an的通项公式；（）记的前n项和为Tn，求Tn22（12分）（2015秋洛阳期中）数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意nN*，总有an，Sn，an2成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn中，bn=a1a2a3an，数列的前n项和为Tn，求证：Tn22015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1若ab0，则下列结论不正确的是（）AB0Ca2b2Da3b3【考点】不等式的基本性质 【专题】不等式【分析】根据幂函数的单调性即可判断【解答】解：ba0，且y=x2在（，0）上单调递增减，故a2b2，C错误；故选：C【点评】本题考查不等式的基本性质，解题时要注意幂函数单调性的合理运用2下列结论正确的是（）A当x0且x1时，lgx+B当x时，sinx+的最小值为4C当x0时，2D当0x2时，x无最大值【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【专题】不等式的解法及应用【分析】对于A，考虑0x1即可判断；对于B，考虑等号成立的条件，即可判断；对于C，运用基本不等式即可判断；对于D，由函数的单调性，即可得到最大值【解答】解：对于A，当0x1时，lgx0，不等式不成立；对于B，当xx时，sinx（0，1，sinx+的最小值4取不到，由于sinx=2不成立；对于C，当x0时，2=2，当且仅当x=1等号成立；对于D，当0x2时，x递增，当x=2时，取得最大值综合可得C正确故选：C【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题和易错题3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b=，B=45，则角A=（）A30B60C30或150D60或120【考点】正弦定理 【专题】解三角形【分析】由正弦定理可解得sinA=，利用大边对大角可得范围A（0，45），从而解得A的值【解答】解：a=1，b=，B=45，由正弦定理可得：sinA=，a=1b=，由大边对大角可得：A（0，45），解得：A=30故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质等知识的应用，解题时要注意分析角的范围4不等式lg（x23x）1的解集为（）A（2，5）B（5，2）C（3，5）D（2，0）（3，5）【考点】指、对数不等式的解法 【专题】不等式的解法及应用【分析】利用对数的定义、性质能求出不等式lg（x23x）1的解集【解答】解：lg（x23x）1，解得2x0或3x5，不等式lg（x23x）1的解集为（2，0）（3，5）故选：D【点评】本题考查不等式的解集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用5下列结论正确的是（）A若数列an的前n项和为Sn，Sn=n2+n+1，则an为的等差数列B若数列an的前n项和为Sn，Sn=2n2，则an为等比数列C非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等差数列，则，可能构成等差数列D非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等比数列，则，一定构成等比数列【考点】等比数列；等差数列 【专题】等差数列与等比数列【分析】在A中，由，得到an不为的等差数列；在B中，由a1=S1=22=0，得到an不为等比数列；在C中，若，构成等差数列，能推导出a=c，与非零实数a，b，c不全相等矛盾，从而，不可能构成等差数列；在在D中，若a，b，c成等比数列，则=，一定成等比数列【解答】解：在A中，数列an的前n项和为Sn，Sn=n2+n+1，a1=S1=1+1+1=3，an=SnSn1=（n2+n+1）（n1）2+（n1）+1=2n，n=1时，an=2a1，故an不为的等差数列，故A错误；在B中，数列an的前n项和为Sn，Sn=2n2，a1=S1=22=0，an不为等比数列，故B错误；在C中，若，构成等差数列，则=，b2=ac，ac=（）2=，a=c，继而a=c=b，与非零实数a，b，c不全相等矛盾，不可能构成等差数列，故C错误；在D中，非零实数a，b，c不全相等，a，b，c成等比数列，b2=ac，=，一定成等比数列，故D正确故选：D【点评】本题考查等差数列和等比数列的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质，公式的合理运用6在等比数列an 中，a1=4，公比为q，前n项和为Sn，若数列Sn+2也是等比数列，则q等于（）A2B2C3D3【考点】等比关系的确定 【专题】计算题【分析】由数列Sn+2也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列，即（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解方程即可求解【解答】解：由题意可得q1由数列Sn+2也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解可得 q=3故选C【点评】等比数列得前n项和公式的应用需要注意公式的选择，解题时要注意对公比q=1，q1的分类讨论，体现了公式应用的全面性7设集合A=x丨2x4，B=x丨x2ax40，若BA，则实数a的取值范围为（）A1，2B1，2）C0，3）D0，3【考点】集合的包含关系判断及应用 【专题】计算题；集合【分析】因为BA，所以不等式x2ax40的解集是集合A的子集，即函数f（x）=x2ax4的两个零点在2，4）之间，结合二次函数的图象性质只需f（2）0，f（4）0，列不等式组即可得a的取值范围【解答】解：=a2+160设方程x2ax4=0的两个根为x1，x2，（x1x2）即函数f（x）=x2ax4的两个零点为x1，x2，（x1x2）则B=x1，x2若BA，则函数f（x）=x2ax4的两个零点在2，4）之间注意到函数f（x）的图象过点（0，4）只需，解得：0a3，故选：C【点评】本题考查了集合之间的关系，一元二次不等式的解法，二次函数的图象和性质，函数方程不等式的思想8在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则ABC的形状一定是（）A正三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形【考点】余弦定理；正弦定理 【专题】解三角形【分析】在ABC中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos2=，转化为1+cosA=+1，整理即可判断ABC的形状【解答】解：在ABC中，cos2=，=+1+cosA=+1，cosAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，sinAcosC=0，sinA0，cosC=0，C为直角故选：B【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题9已知等差数列an的前n项和为Sn，若m1且am1+am+1am21=0，S2m1=39，则m等于（）A10B19C20D39【考点】等差数列的前n项和 【专题】计算题【分析】利用等差数列的性质am1+am+1=2am，根据已知中am1+am+1am21=0，我们易求出am的值，再根据am为等差数列an的前2m1项的中间项（平均项），可以构造一个关于m的方程，解方程即可得到m的值【解答】解：数列an为等差数列则am1+am+1=2am则am1+am+1am21=0可化为2amam21=0解得：am=1，又S2m1=（2m1）am=39则m=20故选C【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中等差数列最重要的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq，是解答本题的关键10设数列an满足+2n1an=（nN*），通项公式是（）Aan=Ban=Can=Dan=【考点】等比数列的通项公式 【专题】计算题【分析】设2n1an的前n项和为Tn，由数列an满足+2n1an=（nN*），知，故2n1an=TnTn1=，由此能求出通项公式【解答】解：设2n1an的前n项和为Tn，数列an满足+2n1an=（nN*），2n1an=TnTn1=，=，经验证，n=1时也成立，故故选C【点评】本题主要考查了数列递推式以及数列的求和，同时考查了利用错位相消法求数列的和，属于中档题11若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（）A2B1C1D2【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2xy3=0的交点A（4，5）时，z最大，将m等价为斜率的倒数，数形结合，将点A的坐标代入xmy+1=0得m=1，故选C【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解12设an=+，则对任意正整数m，n（mn）都成立的是（）AamanBamanCamanDaman【考点】数列递推式 【专题】等差数列与等比数列；三角函数的求值【分析】利用“放缩法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：aman=+=故选：A【点评】本题考查了“放缩法”、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值为4【考点】简单线性规划 【分析】足约束条件的平面区域，求出可行域中各个角点的坐标，分析代入后即可得到答案【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知：当x=1，y=2时，2x+y取最大值4故答案为：4【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中根据约束条件，画出满足约束条件的可行域并求出各角点的坐标，是解答此类问题的关键14已知数列an满足a1=1，an+1=an+2n1（nN*），则an=n22n+2【考点】数列递推式 【专题】等差数列与等比数列【分析】由已知利用an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1即可得出【解答】解：a1=1，an+1=an+2n1（nN*），an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=（2n3）+（2n5）+1+1=+1=n22n+2故答案为：n22n+2【点评】本题考查了“累加求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA=，tanB=，且最长边的长为1，则ABC最短边的长为【考点】解三角形 【专题】解三角形【分析】由题意和两角和的正切公式易得tanC，可得c=1，b为最短边，由正弦定理可得【解答】解：由题意可得tanC=tan（A+B）=1，C=135，c为最长边，故c=1，又0tanB=tanA，B为最小角，b为最短边，tanB=，sinB=，由正弦定理可得b=，故答案为：【点评】本题考查解三角形，涉及正弦定理和两角和的正切公式，属中档题16若x、y、z均为正实数，则的最大值为【考点】基本不等式 【专题】不等式的解法及应用【分析】把要求的式子化为，利用基本不等式求得它的最大值【解答】解：x2+xy，y2+z2yz，=，当且仅当x=z= 时，等号成立，故答案为：【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）（2015秋洛阳期中）（1）已知正数a，b满足a+4b=4，求+的最小值（2）求函数f（k）=的最大值【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数的最值及其几何意义 【专题】不等式的解法及应用【分析】（1）运用乘1法，可得+=（a+4b）（+）=（5+），再由基本不等式即可得到最小值；（2）令t=（t），则g（t）=，再由基本不等式即可得到最大值【解答】解：（1）由a，b0，且a+4b=4，即有+=（a+4b）（+）=（5+）（5+2）=，当且仅当a=2b=时取得最小值，则+的最小值为；（2）令t=（t），则g（t）=，当且仅当t=2，即k=时，取得等号，即有f（k）的最大值为【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和换元法的运用，以及满足的条件：一正二定三等，属于中档题18（12分）（2015秋洛阳期中）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2+c2=b2+ac（1）若b=，sinC=2sinA，求c的值；（2）若b=2，求ABC面积的最大值【考点】余弦定理 【专题】解三角形；不等式的解法及应用【分析】（1）由正弦定理化简已知可得：c=2a，根据a2+c2=b2+acb=，即可解得a，c的值（2）由余弦定理可求cosB，从而可求sinB，又b=2，a2+c2=b2+ac解得ac4，利用三角形面积公式即可求得ABC面积的最大值【解答】解：（1）sinC=2sinA，由正弦定理可得：c=2a，又a2+c2=b2+acb=，a2+4a2=3+2a2，解得：a=1，c=26分（2）由余弦定理可得：cosB=，sinB=，又b=2，a2+c2=b2+ac4+ac=a2+c22ac，即ac4，SABC=，当且仅当a=c=2时等号成立故ABC面积的最大值为12分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的综合应用，属于中档题19（12分）（2015秋洛阳期中）解关于x的不等式ax22x2a0（a1）【考点】一元二次不等式的解法 【专题】不等式的解法及应用【分析】由1a0，a=0，0a1，a1，进行分类讨论，由此利用分类讨论思想和一元二次方程的解法能求出原不等式的解集【解答】解：（1）当a=0时，有2x0，x0（2）a0时，=44a2当0，即0a1方程ax22x+a=0的两根为=，不等式的解集为x|x当=0，即a=1时，有x22x+10，x；当0，即a1时，方程ax22x+a=0无实数根，不等式ax22x+a0无解，x（3）当1a0时，0，不等式ax22x+a0的解集为x|x或x综上，关于x的不等式ax22x2a0（a1）的解集为：当1a0时，关于x的不等式ax22x2a0（a1）的解集为：x|x或x；当a=0时，关于x的不等式ax22x2a0（a1）的解集为：x|x0；当0a1时，关于x的不等式ax22x2a0（a1）的解集为：x|x当a1时，关于x的不等式ax22x2a0（a1）的解集为：【点评】本题考查不等式的解集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用20（12分）（2014余杭区校级模拟）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知（）求的值；（）若B为钝角，b=10，求a的取值范围【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用 【专题】计算题；解三角形【分析】（）直接利用正弦定理化简已知表达式，通过两角和的正弦函数与三角形的内角和，求出的值；（）通过（）求出a与c的关系，利用B为钝角，b=10，推出关系求a的取值范围【解答】（本小题满分14分）解：（I）由正弦定理，设，则，所以（4分）即（cosA3cosC）sinB=（3sinCsinA）cosB，化简可得sin（A+B）=3sin（B+C）（6分）又A+B+C=，所以sinC=3sinA因此（8分）（II）由得c=3a（9分）由题意，（12分）（14分）【点评】本题考查正弦定理与两角和的正弦函数的应用，注意三角形的判断与应用，考查计算能力21（12分）（