高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8_5 垂直关系课件 理 北师大版

8.5 垂直关系,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.直线与平面垂直,知识梳理,任意,mnO,a,b,ab,2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.,直二面角,(2)判定定理与性质定理,垂线,交线,l,重要结论： (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)直线a，b，则ab.( ) (4)若，aa.( ) (5)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直.( ),1.(教材改编)下列命题中不正确的是 A.如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面 B.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 C.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D.如果平面平面，平面平面，l，那么l,考点自测,答案,解析,根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行平面，也可能在平面内.,2.设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,若，因为m，b，bm，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b，又a，所以ab；反过来，当am时，因为bm，且a，m共面，一定有ba，但不能保证b，所以不能推出.,3.(2016宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题： 若ABAC，BDCD，则BCAD； 若ABCD，ACBD，则BCAD； 若ABAC，BDCD，则BCAD； 若ABCD，ACBD，则BCAD. 其中为真命题的是 A. B. C. D.,答案,解析,如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由ABACAMBC，同理DMBCBC平面AMD，而AD平面AMD，故BCAD.设A在平面BCD内的投影为O，连接BO，CO，DO，由ABCDBOCD，由ACBDCOBDO为BCD的垂心 DOBCADBC.,4.(2016济南模拟)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，G为MC的中点.则下列结论中不正确的是 A.MCAN B.GB平面AMN C.平面CMN平面AMN D.平面DCM平面ABN,答案,解析,显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)，取AN的中点H，连接HB，MH，GB，则MCHB，又HBAN，所以MCAN，所以A正确； 由题意易得GBMH，又GB 平面AMN，MH平面AMN， 所以GB平面AMN，所以B正确； 因为ABCD，DMBN，且ABBNB，CDDMD，所以平面DCM平面ABN，所以D正确.,5.(教材改编)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的投影为点O. (1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心.,答案,解析,外,如图1，连接OA，OB，OC，OP， 在RtPOA、RtPOB和RtPOC中， PAPCPB， 所以OAOBOC，即O为ABC的外心.,(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心.,答案,解析,垂,如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G. PCPA，PBPC，PAPBP， PC平面PAB，AB平面PAB，PCAB， 又ABPO，POPCP， AB平面PGC， 又CG平面PGC， ABCG，即CG为ABC边AB的高. 同理可证BD，AH为ABC底边上的高， 即O为ABC的垂心.,题型分类 深度剖析,题型一 直线与平面垂直的判定与性质,例1 (2016全国甲卷改编)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF ，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.OD . 证明：DH平面ABCD.,证明,几何画板展示,由已知得ACBD，ADCD.,因此EFHD，从而EFDH.,所以OH1，DHDH3. 于是DH2OH2321210DO2，故DHOH. 又DHEF， 而OHEFH，且OH，EF平面ABCD， 所以DH平面ABCD.,思维升华,证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.,跟踪训练1 (2015江苏)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E. 求证：(1)DE平面AA1C1C；,由题意知， E为B1C的中点， 又D为AB1的中点，因此DEAC. 又因为DE 平面AA1C1C，AC平面AA1C1C， 所以DE平面AA1C1C.,证明,(2)BC1AB1.,证明,又因为BC1平面BCC1B1， 所以BC1AC. 因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形， 因此BC1B1C. 因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC， 所以BC1平面B1AC. 又因为AB1平面B1AC， 所以BC1AB1.,题型二 平面与平面垂直的判定与性质,例2 如图，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点. (1)求证：CE平面PAD；,证明,方法一 取PA的中点H，连接EH，DH. 又E为PB的中点， 所以EH綊 AB. 又CD綊 AB， 所以EH綊CD. 所以四边形DCEH是平行四边形，所以CEDH. 又DH平面PAD，CE 平面PAD. 所以CE平面PAD.,方法二 连接CF. 因为F为AB的中点， 所以AF AB. 又CD AB， 所以AFCD. 又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形. 因此CFAD，又CF 平面PAD，AD平面PAD， 所以CF平面PAD.,因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA. 又EF 平面PAD，PA平面PAD， 所以EF平面PAD. 因为CFEFF，故平面CEF平面PAD. 又CE平面CEF，所以CE平面PAD.,(2)求证：平面EFG平面EMN.,证明,因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EFPA. 又因为ABPA， 所以EFAB，同理可证ABFG. 又因为EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG. 所以AB平面EFG. 又因为M，N分别为PD，PC的中点， 所以MNCD，又ABCD，所以MNAB， 所以MN平面EFG. 又因为MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.,引申探究,1.在本例条件下，证明：平面EMN平面PAC.,证明,因为ABPA，ABAC， 且PAACA，所以AB平面PAC. 又MNCD，CDAB，所以MNAB， 所以MN平面PAC. 又MN平面EMN， 所以平面EMN平面PAC.,2.在本例条件下，证明：平面EFG平面PAC.,证明,因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点， 所以EFPA，FGAC， 又EF 平面PAC，PA平面PAC， 所以EF平面PAC. 同理，FG平面PAC. 又EFFGF， 所以平面EFG平面PAC.,思维升华,(1)判定面面垂直的方法 面面垂直的定义； 面面垂直的判定定理(a，a). (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化. 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.,跟踪训练2 (2016江苏)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1. 求证：(1)直线DE平面A1C1F；l,由已知，DE为ABC的中位线， DEAC，又由三棱柱的性质可得ACA1C1， DEA1C1， 又DE 平面A1C1F，A1C1平面A1C1F， DE平面A1C1F.,证明,(2)平面B1DE平面A1C1F.,证明,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1平面A1B1C1， AA1A1C1， 又A1B1A1C1，且A1B1AA1A1， A1C1平面ABB1A1， B1D平面ABB1A1， A1C1B1D， 又A1FB1D，且A1FA1C1A1， B1D平面A1C1F， 又B1D平面B1DE， 平面B1DE平面A1C1F.,题型三 垂直关系中的探索性问题,例3 如图，在三棱台ABCDEF中，CF平面DEF，ABBC. (1)设平面ACE平面DEFa，求证：DFa；,在三棱台ABCDEF中，ACDF，AC平面ACE，DF 平面ACE，DF平面ACE. 又DF平面DEF，平面ACE平面DEFa， DFa.,证明,(2)若EFCF2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由.,解答,线段BE上存在点G，且BG BE，使得平面DFG平面CDE. 证明如下： 取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G， 连接GD，GF， CFEF， GFCE. 在三棱台ABCDEF中，ABBCDEEF. 由CF平面DEFCFDE. 又CFEFF，DE平面CBEF，DEGF.,又GF平面DFG， 平面DFG平面CDE. 此时，如平面图所示，延长CB，FG交于点H， O为CE的中点，EFCF2BC， 由平面几何知识易证HOCFOE，,思维升华,同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明.,跟踪训练3 (2016北京东城区模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，M为棱AC的中点.ABBC，AC2，AA1 . (1)求证：B1C平面A1BM；,证明,连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM， 在B1AC中，M，O分别为AC，AB1中点， OMB1C， 又OM平面A1BM，B1C 平面A1BM， B1C平面A1BM.,(2)求证：AC1平面A1BM；,证明,侧棱AA1底面ABC，BM平面ABC， AA1BM， 又M为棱AC中点，ABBC，BMAC. AA1ACA，BM平面ACC1A1， BMAC1. AC2，AM1.,AC1CA1MA， 即AC1CC1ACA1MAC1AC90， A1MAC1. BMA1MM，AC1平面A1BM.,解答,平面AC1N平面AA1C1C. 证明如下： 设AC1中点为D，连接DM，DN. D，M分别为AC1，AC中点，,又N为BB1中点，DMBN，且DMBN， 四边形BNDM为平行四边形，,BMDN， BM平面ACC1A1，DN平面ACC1A1. 又DN平面AC1N，平面AC1N平面AA1C1C.,典例 (12分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点. 求证：(1)AN平面A1MK； (2)平面A1B1C平面A1MK.,立体几何证明问题中的转化思想,思想与方法系列17,规范解答,思想方法指导,(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理； (2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等； (3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.,返回,证明 (1)如图所示，连接NK. 在正方体ABCDA1B1C1D1中， 四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形， AA1DD1，AA1DD1， C1D1CD，C1D1CD. 2分 N，K分别为CD，C1D1的中点，DND1K，DND1K， 四边形DD1KN为平行四边形， 3分 KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN，,四边形AA1KN为平行四边形，ANA1K. 4分 A1K平面A1MK，AN 平面A1MK， AN平面A1MK. 6分 (2)如图所示，连接BC1. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，ABC1D1，ABC1D1. M，K分别为AB，C1D1的中点， BMC1K，BMC1K， 四边形BC1KM为平行四边形，MKBC1. 8分 在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1平面BB1C1C，,BC1平面BB1C1C，A1B1BC1. MKBC1，A1B1MK. 四边形BB1C1C为正方形，BC1B1C. 10分 MKB1C. A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1B1CB1， MK平面A1B1C. 又MK平面A1MK， 平面A1B1C平面A1MK. 12分,返回,课时作业,1.若平面平面，平面平面直线l，则 A.垂直于平面的平面一定平行于平面 B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面 C.垂直于平面的平面一定平行于直线l D.垂直于直线l的平面一定与平面，都垂直,答案,解析,对于A，垂直于平面的平面与平面平行或相交，故A错误； 对于B，垂直于直线l的直线与平面垂直、斜交、平行或在平面内，故B错误； 对于C，垂直于平面的平面与直线l平行或相交，故C错误；易知D正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A.若，m，n，则mn B.若，m，n，则mn C.若mn，m，n，则 D.若m，mn，n，则,答案,解析,A中，m与n可垂直、可异面、可平行； B中，m与n可平行、可异面； C中，若，仍然满足mn，m，n，故C错误；故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,3.(2016包头模拟)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是 A.CC1与B1E是异面直线 B.AC平面ABB1A1 C.AE与B1C1是异面直线，且AEB1C1 D.A1C1平面AB1E,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线； B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC平面ABB1A1； C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线； D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1平面AB1E不正确，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,4.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： BDAC； BAC是等边三角形； 三棱锥DABC是正三棱锥； 平面ADC平面ABC. 其中正确的是 A. B. C. D.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,由题意知，BD平面ADC，故BDAC，正确； AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等边三角形，正确； 易知DADBDC，又由知正确； 由知错.故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,5.如图所示，直线PA垂直于O所在的平面，ABC内接于O，且AB为O的直径，点M为线段PB的中点.现有结论：BCPC；OM平面APC；点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是 A. B. C. D.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,对于，PA平面ABC，PABC， AB为O的直径，BCAC，BC平面PAC， 又PC平面PAC，BCPC； 对于，点M为线段PB的中点，OMPA， PA平面PAC，OM 平面PAC， OM平面PAC； 对于，由知BC平面PAC， 线段BC的长即是点B到平面PAC的距离， 故都正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.如图，BAC90，PC平面ABC，则在ABC和PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_；与AP垂直的直线有_.,答案,解析,AB、BC、AC,AB,PC平面ABC，PC垂直于直线AB，BC，AC；ABAC，ABPC，ACPCC， AB平面PAC，与AP垂直的直线是AB.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,7.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1平面C1DF， 则线段B1F的长为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,设B1Fx， 因为AB1平面C1DF，DF平面C1DF， 所以AB1DF.,设RtAA1B1斜边AB1上的高为h，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,在RtDB1E中，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,8.如图，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论： AFPB；EFPB；AFBC； AE平面PBC. 其中正确结论的序号是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,由题意知PA平面ABC，PABC. 又ACBC，且PAACA， BC平面PAC，BCAF. AFPC，且BCPCC， AF平面PBC， AFPB，又AEPB，AEAFA， PB平面AEF，PBEF. 故正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,9.(2016保定模拟)如图，在直二面角MN中，等腰直角三角形ABC的斜边BC，一直角边AC，BC与所成角的正弦值为 ，则AB与所成的角是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,如图所示，作BHMN于点H，连接AH， 则BH，BCH为BC与所成的角.,ABC为等腰直角三角形，ACAB ，,AB与所成的角为BAH.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,10.(2016全国乙卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60. (1)证明：平面ABEFEFDC；,证明,由已知可得AFDF，AFFE，DFFEF， 所以AF平面EFDC， 又AF平面ABEF， 故平面ABEF平面EFDC.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,(2)求二面角E-BC-A的余弦值.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,过D作DGEF，垂足为G，由(1)知DG平面ABEF.,由(1)知DFE为二面角D-AF-E的平面角，故DFE60，则|DF|2，|DG| ，可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0， ).,由已知，ABEF，AB 平面EFDC，EF平面EFDC， 所以AB平面EFDC，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，,又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF， 由BEAF，可得BE平面EFDC， 所以CEF为二面角C-BE-F的平面角，CEF60，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,11.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，平面AED平面ABCD，EFAB，AB2，BCEF1，AE ，DE3，BAD60，G为BC的中点. (1)求证：FG平