高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8_3直线平面平行的判定与性质课件理苏教版

8.3 直线、平面平行的判定与性质,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.线面平行的判定定理和性质定理,知识梳理,这个平面内,la,a,l,l,交线,l,l,b,2.面面平行的判定定理和性质定理,相交直线,a,b,abP,a,b,相交,交线,a,b,重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a，a，则； (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a，b，则ab； (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若，则.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面. ( ) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.( ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行. ( ),(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面. ( ) (5)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.( ) (6)若，直线a，则a.( ),考点自测,1.(教材改编)下列命题中不正确的有_. 若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面； 若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行； 平行于同一条直线的两个平面平行； 若直线a，b和平面满足ab，a，b，则b.,答案,解析,中，a可以在过b的平面内； 中，a与内的直线可能异面； 中，两平面可相交； 中，由直线与平面平行的判定定理知，b，正确.,2.设l，m为直线，为平面，且l，m，则“lm”是“”的_条件.,答案,解析,必要不充分,当平面与平面平行时， 两个平面内的直线没有交点， 故“lm”是“”的必要条件； 当两个平面内的直线没有交点时， 两个平面可以相交， lm是的必要不充分条件.,3.(2016盐城模拟)下列命题中，正确的序号为_. 平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个 平面平行； 平行于同一个平面的两个平面平行； 若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行； 若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面.,答案,解析,由面面平行的判定定理和性质知正确.对于，位于两个平行平面内的直线也可能异面.,4.(教材改编)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_.,答案,解析,平行,连结BD，设BDACO，连结EO， 在BDD1中，O为BD的中点， 所以EO为BDD1的中位线， 则BD1EO，而BD1平面ACE，EO平面ACE， 所以BD1平面ACE.,5.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为_.,答案,解析,平行四边形,平面ABFE平面DCGH， 又平面EFGH平面ABFEEF，平面EFGH平面DCGHHG， EFHG.同理EHFG， 四边形EFGH的形状是平行四边形.,题型分类 深度剖析,题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点1 直线与平面平行的判定 例1 如图，四棱锥PABCD中，ADBC，ABBC AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点. (1)求证：AP平面BEF；,证明,连结EC， ADBC，BC AD， BC綊AE， 四边形ABCE是平行四边形， O为AC的中点. 又F是PC的中点，FOAP， FO平面BEF，AP平面BEF， AP平面BEF.,(2)求证：GH平面PAD.,证明,连结FH，OH，F，H分别是PC，CD的中点， FHPD，FH平面PAD. 又O是BE的中点，H是CD的中点， 又FHOHH，平面OHF平面PAD. 又GH平面OHF，GH平面PAD.,OHAD，OH平面PAD.,几何画板展示,命题点2 直线与平面平行的性质 例2 (2017镇江月考)如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为 .点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH. (1)证明：GHEF；,证明,因为BC平面GEFH，BC平面PBC， 且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC. 同理可证EFBC，因此GHEF.,(2)若EB2，求四边形GEFH的面积.,解答,如图，连结AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连结OP，GK. 因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC， 同理可得POBD. 又BDACO，且AC，BD都在底面内， 所以PO底面ABCD. 又因为平面GEFH平面ABCD， 且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH. 因为平面PBD平面GEFHGK， 所以POGK，且GK底面ABCD，,从而GKEF. 所以GK是梯形GEFH的高. 由AB8，EB2得EBABKBDB14， 从而KB DB OB，即K为OB的中点.,再由POGK得GK PO，,即G是PB的中点，且GH BC4.,由已知可得OB ，,所以GK3.,故四边形GEFH的面积S GK,判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)； (3)利用面面平行的性质定理(，aa)； (4)利用面面平行的性质(，a，a，aa).,思维升华,跟踪训练1 如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CDAB.求证：四边形EFGH是矩形.,证明,CD平面EFGH，而平面EFGH平面BCDEF，CDEF. 同理HGCD，EFHG. 同理HEGF，四边形EFGH为平行四边形. CDEF，HEAB，HEF为异面直线CD和AB所成的角. 又CDAB，HEEF. 平行四边形EFGH为矩形.,题型二 平面与平面平行的判定与性质 例3 (2016镇江模拟)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面；,证明,G，H分别是A1B1，A1C1的中点， GH是A1B1C1的中位线， GHB1C1. 又B1C1BC，GHBC， B，C，H，G四点共面.,(2)平面EFA1平面BCHG.,证明,E，F分别是AB，AC的中点，EFBC. EF平面BCHG，BC平面BCHG， EF平面BCHG. A1G綊EB，四边形A1EBG是平行四边形， A1EGB. A1E平面BCHG，GB平面BCHG， A1E平面BCHG. A1EEFE， 平面EFA1平面BCHG.,引申探究 1.在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD平面A1B1BA.,证明,如图所示，连结HD，A1B， D为BC1的中点，H为A1C1的中点， HDA1B， 又HD平面A1B1BA， A1B平面A1B1BA， HD平面A1B1BA.,2.在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D.,证明,如图所示，连结A1C交AC1于点M， 四边形A1ACC1是平行四边形， M是A1C的中点，连结MD， D为BC的中点， A1BDM. A1B平面A1BD1， DM平面A1BD1， DM平面A1BD1.,又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD， 四边形BDC1D1为平行四边形， DC1BD1. 又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1， DC1平面A1BD1， 又DC1DMD，DC1，DM平面AC1D， 平面A1BD1平面AC1D.,证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行； (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.,思维升华,跟踪训练2 如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证： (1)BE平面DMF；,证明,如图所示，连结AE，设DF与GN交于点O， 连结AE，则AE必过O点， 连结MO，则MO为ABE的中位线， 所以BEMO. 因为BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.,(2)平面BDE平面MNG.,证明,因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD， EF的中点，所以DEGN. 因为DE平面MNG，GN平面MNG， 所以DE平面MNG. 因为M为AB的中点， 所以MN为ABD的中位线，所以BDMN. 因为BD平面MNG，MN平面MNG， 所以BD平面MNG. 因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线， 所以平面BDE平面MNG.,题型三 平行关系的综合应用 例4 (2016盐城模拟)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由.,解答,几何画板展示,方法一 存在点E，且E为AB的中点时，DE平面AB1C1. 下面给出证明： 如图，取BB1的中点F，连结DF， 则DFB1C1， AB的中点为E，连结EF，ED， 则EFAB1，B1C1AB1B1， 平面DEF平面AB1C1. 而DE平面DEF， DE平面AB1C1.,方法二 假设在棱AB上存在点E，使得DE平面AB1C1， 如图，取BB1的中点F，连结DF，EF，ED，则DFB1C1， 又DF平面AB1C1，B1C1平面AB1C1， DF平面AB1C1， 又DE平面AB1C1，DEDFD， 平面DEF平面AB1C1， EF平面DEF，EF平面AB1C1， 又EF平面ABB1，平面ABB1平面AB1C1AB1， EFAB1，点F是BB1的中点，点E是AB的中点. 即当点E是AB的中点时，DE平面AB1C1.,利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.,思维升华,跟踪训练3 (2016南京模拟)如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？,解答,几何画板展示,AB平面EFGH， 平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG，EH. ABFG，ABEH， FGEH，同理可证EFGH， 截面EFGH是平行四边形. 设ABa，CDb， FGH(即为异面直线AB和CD所成的角或其补角).,又设FGx，GHy，则由平面几何知识可得 ，,两式相加得 1，即y (ax)，,SEFGHFGGHsin ,x (ax)sin x(ax).,x0，ax0且x(ax)a为定值，,当且仅当xax时等号成立.,此时x ，y .,即当截面EFGH的顶点E、F、G、H分别为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大.,典例 (14分)如图，在四棱锥SABCD中，已知底面ABCD为直角梯形，其中ADBC，BAD90，SA底面ABCD，SAABBC2，tanSDA . (1)求四棱锥SABCD的体积； (2)在棱SD上找一点E，使CE平面SAB，并证明.,立体几何中的探索性问题,答题模板系列5,规范解答,答题模板,解 (1)SA底面ABCD，tanSDA ，SA2， AD3. 2分 由题意知四棱锥SABCD的底面为直角梯形， 且SAABBC2， VSABCD SA (BCAD)AB, 2 (23)2 . 6分,(2)当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时， 可使CE平面SAB. 8分 证明如下： 取SD上靠近D的三等分点为E， 取SA上靠近A的三等分点为F，连结CE，EF，BF，,则EF綊 AD，BC綊 AD，,BC綊EF，CEBF. 12分 又BF平面SAB，CE平面SAB， CE平面SAB. 14分,返回,解决立体几何中的探索性问题的步骤 第一步：写出探求的最后结论； 第二步：证明探求结论的正确性； 第三步：给出明确答案； 第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.,返回,课时作业,1.(2016南通模拟)有下列命题： 若直线l平行于平面内的无数条直线，则直线l； 若直线a在平面外，则a； 若直线ab，b，则a； 若直线ab，b，则a平行于平面内的无数条直线. 其中真命题的个数是_.,答案,解析,1,命题，l可以在平面内，不正确； 命题，直线a与平面可以是相交关系，不正确； 命题，a可以在平面内，不正确； 命题正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,2.(2016苏北四校联考)如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD是正方形，E，F分别为PA，PD的中点.在此几何体中，给出下列四个结论： 直线BE与直线CF是异面直线； 直线BE与直线AF是异面直线； 直线EF平面PBC； 平面BCE平面PAD. 其中正确结论的序号为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,因为EF綊 AD，AD綊BC，所以EF綊 BC，,所以E，B，C，F四点共面，所以BE与CF共面，所以错误； 因为AF平面PAD，E平面PAD，E直线AF，B平面PAD， 所以BE与AF是异面直线，所以正确； 因为EFBC，EF平面PBC，BC平面PBC， 所以EF平面PBC，所以正确； 由于不能推出线面垂直， 故平面BCE平面PAD不成立，所以错误.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,3.对于空间中的两条直线m，n和一个平面，下列命题中的真命题是_. 若m，n，则mn； 若m，n，则mn； 若m，n，则mn； 若m，n，则mn.,答案,解析,对，直线m，n可能平行、异面或相交，故错误； 对，直线m与n可能平行，也可能异面，故错误； 对，m与n垂直而非平行，故错误； 对，垂直于同一平面的两直线平行，故正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,4.(2016南京、徐州、连云港联考)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列正确命题的序号是_. 若mn，m，则n； 若mn，m，则n； 若m，m，则； 若n，n，则.,答案,解析,如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这一平面，正确； 若mn，m，则n或n，不正确； 若m，m，则，可能平行也可能相交，不正确； 若n，n，则，不正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,5.如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是_.,答案,解析,平行,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,如图，分别取另三条棱的中点A，B，C， 将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL， 因为PQAL，PRAM， 且PQ与PR相交，AL与AM相交， 所以平面PQR平面AMBNCL， 即平面LMN平面PQR.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,6.(2016全国甲卷)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： 如果mn，m，n，那么； 如果m，n，那么mn； 如果，m，那么m； 如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等. 其中正确的命题有_.,答案,解析,当mn，m，n时，两个平面的位置关系不确定，故错误， 经判断知均正确， 故正确答案为.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,7.设，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“m，n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题. ，n；m，n；n，m. 可以填入的条件有_.,答案,解析,或,由面面平行的性质定理可知，正确； 当n，m时，n和m在同一平面内， 且没有公共点，所以平行，正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,8.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件_时，有平面D1BQ平面PAO.,答案,解析,Q为CC1的中点,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,假设Q为CC1的中点. 因为P为DD1的中点， 所以QBPA. 连结DB，因为O是底面ABCD的中心， 所以D1BPO， 又D1B平面PAO，QB平面PAO，且PAPO于P， 所以D1B平面PAO，QB平面PAO， 又D1BQB于B，所以平面D1BQ平面PAO. 故点Q满足条件，Q为CC1的中点时，有平面D1BQ平面PAO.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,9.将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”.给出下列四个命题： 垂直于同一平面的两直线平行； 垂直于同一平面的两平面平行； 平行于同一直线的两直线平行； 平行于同一平面的两直线平行. 其中是“可换命题”的是_.(填命题的序号),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,由线面垂直的性质定理可知是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故是“可换命题”； 因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以是假命题，不是“可换命题”； 由公理4可知是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故是“可换命题”； 因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故是假命题，故不是“可换命题”.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,10.空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是_.,答案,解析,(8,10),GH5k，EH4(1k)，周长82k. 又0k1，周长的取值范围为(8,10).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,*11.在三棱锥SABC中，ABC是边长为6的正三角形，SASBSC15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.D，E分别是AB， BC的中点，如果直线SB平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,如图，取AC的中点G， 连结SG，BG. 易知SGAC，BGAC，SGBGG， 故AC平面SGB， 所以ACSB. 因为SB平面DEFH，SB平面SAB， 平面SAB平面DEFHHD， 则SBHD. 同理SBFE.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,又D，E分别为AB，BC的中点， 则H，F也为AS，SC的中点，,从而得HF綊 AC綊DE，,所以四边形DEFH为平行四边形. 又ACSB，SBHD，DEAC， 所以DEHD， 所以四边形DEFH为矩形，,其面积SHFHD( AC)( SB) .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,12.如图，E、F、G、H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证： (1)EG平面BB1D1D；,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,取B1D1的中点O，连结GO，OB，,OG綊 B1C1，BE綊 BC，,OG綊BE， 四边形BEGO为平行四边形，故OBEG， 又EG平面BB1D1D，OB平面BB1D1D， EG平面BB1D1D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2)平面BDF平面B1D1H.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,由题意可知BDB1D1. 如图，连结HB、D1F， 易证四边形HBFD1是平行四边形， 故HD1BF. 又B1D1HD1D1， BDBFB， 所以平面BDF平面B1D1H.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1