高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8_5 空间向量及其运算课件 理 苏教版

8.5 空间向量及其运算,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.空间向量的有关概念,知识梳理,0,1,相同,相等,相反,相等,平行或重合,平面,2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(a0)，b与a共线的充要条件是存在实数使ba. (2)共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数(x，y)，使 . (3)空间向量基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得p .,pxayb,xe1ye2ze3,3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 a， b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作 ，其范围是 ，若a，b ，则称a与b ，记作ab. 两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则 叫做向量a，b的数量积，记作 ，即ab .,a，b,0a，b,互相垂直,|a|b|cosa，b,ab,|a|b|cosa，b,(2)空间向量数量积的运算律 结合律：(a)b ； 交换律：ab ； 分配律：a(bc) .,(ab),ba,abac,4.空间向量的坐标表示及其应用 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).,a1b1a2b2a3b3,b1a1，b2a2，b3a3,a1b1a2b2a3b30,1.向量三点共线定理：在平面中A、B、C三点共线的充要条件是： (其中xy1)，O为平面内任意一点. 2.向量四点共面定理：在空间中P、A、B、C四点共面的充要条件是： (其中xyz1)，O为空间中任意一点.,几何画板展示,几何画板展示,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)空间中任意两非零向量a，b共面.( ) (2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc).( ) (3)对于非零向量b，由abbc，则ac.( ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( ) (5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有 0.( ),考点自测,1.已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点， 则 的值为_.,答案,解析,则|a|b|c|a，且a，b，c三向量两两夹角为60., (a2cos 60a2cos 60) a2.,2.(2016苏州模拟)向量a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，下列结论正确的是_. ab，ac; ab，ac； ac，ab.,答案,解析,因为c(4，6,2)2(2，3,1)2a， 所以ac. 又ab(2)2(3)0140， 所以ab.,3.(教材改编)已知a(2,4，x)，b(2，y,2)，若|a|6，且ab，则xy的值为_.,答案,解析,1或3,依题意得,xy1或xy3.,4.如图，在四面体OABC中， a， b， c， D为BC的中点，E为AD的中点，则 _. (用a，b，c表示),答案,解析,5.(教材改编)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为_.,答案,解析,1222122(12cos 120021cos 120) 2，,题型分类 深度剖析,题型一 空间向量的线性运算 例1 (1)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点.,答案,解析,(2)三棱锥OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是ABC的重心，用基向量 表示 .,解答,用已知向量表示某一向量的方法 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.,思维升华,跟踪训练1 (2016盐城模拟)如图所示，在空间几何体ABCDA1B1C1D1中，各面为平行四边形，设 a， b， c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：,解答,因为P是C1D1的中点，,解答,因为M是AA1的中点，,题型二 共线定理、共面定理的应用 例2 (2016南京模拟)已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点. (1)求证：E，F，G，H四点共面；,证明,连结BG，,由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面.,证明,(2)求证：BD平面EFGH；,所以EHBD. 又EH平面EFGH，BD平面EFGH， 所以BD平面EFGH.,(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有,证明,找一点O，并连结OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.,由(2)知,同理,所以 ，即EH綊FG，,所以四边形EFGH是平行四边形， 所以EG，FH交于一点M且被M平分.,(1)证明空间三点P，A，B共线的方法 (R)； 对空间任一点O， (tR)； 对空间任一点O， (xy1). (2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法 对空间任一点O， 对空间任一点O， (xyz1)； ,思维升华,跟踪训练2 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足 (1)判断 三个向量是否共面；,解答,由题意知,(2)判断点M是否在平面ABC内.,解答,由(1)知 共面且基线过同一点M，,M，A，B，C四点共面. 从而点M在平面ABC内.,题型三 空间向量数量积的应用 例3 (2016盐城模拟)如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA12，A1ABA1AD120. (1)求线段AC1的长；,解答,则|a|b|1，|c|2，ab0， cacb21cos 1201.,线段AC1的长为 .,(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；,解答,设异面直线AC1与A1D所成的角为，, abc， bc，, (abc)(bc)abacb2c20112222，,故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为 .,(3)求证：AA1BD.,证明, c(ba)cbca(1)(1)0，, ，AA1BD.,(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置； (2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角； (3)可以通过|a| ，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.,思维升华,跟踪训练3 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60. (1)求 的长；,解答,则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，,abbcca .,(abc)2a2b2c22(abbcca) 1112( )6，, ，即AC1的长为 .,(2)求 与 夹角的余弦值.,解答,bca， ab，,(bca)(ab) b2a2acbc1，,即 与 夹角的余弦值为 .,典例 (14分)如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1，在底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别是A1B1，A1A的中点. (1)求 的模； (2)求cos 的值； (3)求证：A1BC1M.,坐标法在立体几何中的应用,思想与方法系列18,规范解答,思想方法指导,利用向量解决立体几何问题时，首先要将几何问题转化成向量问题，通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解.,(1)解 如图，建立空间直角坐标系. 依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，,(2)解 依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0，1,2).,(3)证明 依题意得C1(0,0,2)，M( ，2)，,(1,1，2)，,所以 ，即A1BC1M. 14分,课时作业,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.在下列命题中： 若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行； 若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面； 若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面； 已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc. 其中正确命题的个数是_.,答案,解析,0,a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故不正确； 根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故不正确； 三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确； 只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为pxaybzc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,2.(2016苏州模拟)已知a(2,1，3)，b(1,2,3)，c(7,6，)，若a，b，c三向量共面，则_.,答案,解析,9,由题意知cxayb， 即(7,6，)x(2,1，3)y(1,2,3)，,解得9.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,3.(2017南京检测)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为 A1C1与B1D1的交点.若 a， b， c，则向量 _. (用a，b，c表示),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,4.如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是_.,答案,解析,111 3 ，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,5.(2016徐州模拟)如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且 ， 若 ，则x，y，z的值分别为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,x ，yz .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,6.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且 ， N为B1B的中点，则 _.,答案,解析,以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则A(a，0,0)，C1(0，a，a)，N(a，a， ). 设M(x，y，z)，,点M在AC1上且 ，,(xa，y，z) (x，ay，az)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,7.A，B，C，D是空间不共面四点，且 ， 则BCD的形状是_三角形.(填锐角、直角、钝角中的一个),答案,解析,锐角,所以CBD为锐角. 同理BCD，BDC均为锐角.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,8.(2016南京模拟)设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若 ，则x，y，z的值分别 为_.,答案,解析,如图所示，取BC的中点E，连结AE.,xyz .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,9.(2016连云港模拟)已知a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，则c_.,答案,解析,(3，2,2),因为ab，所以 ，,解得x2，y4， 此时a(2,4,1)，b(2，4，1)， 又因为bc，所以bc0， 即68z0，解得z2，于是c(3，2,2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,10.已知ABCDA1B1C1D1为正方体， 向量 与向量 的夹角是60； 正方体ABCDA1B1C1D1的体积为 其中正确的序号是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,中， ，故正确；,中， ，因为AB1A1C，故正确；,中，两异面直线A1B与AD1所成的角为60，但 与 的夹角为120，故不正确；,中， 0，故也不正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,*11.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 A1MD1P； A1MB1Q； A1M平面DCC1D1； A1M平面D1PQB1. 以上正确说法的个数为_.,答案,解析,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14, ，A1MD1P，,由线面平行的判定定理可知， A1M平面DCC1D1，A1M平面D1PQB1. 正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,12.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：,解答,则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解答, (bcabc2ac) .,(3)EG的长；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.,解答,由于异面直线所成角的范围是 ，,所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,*13.如图，在直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D、E分别为AB、BB的中点. (1)求证：CEAD；,证明,根据题意得，|a|b|c|，且abbcca0，,即CEAD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1