高考数学大一轮复习 第十四章 选考部分 14_4 坐标系与参数方程 第2课时 不等式的证明课件 理 苏教版

14.4 坐标系与参数方程,第2课时 不等式的证明,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.不等式证明的方法 (1)比较法： 作差比较法： 知道abab0，ab只要证明 即可，这种方法称为作差比较法. 作商比较法： 由ab0 1且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只要证明 _即可，这种方法称为作商比较法.,知识梳理,ab0,(2)综合法： 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法.即“ ”的方法. (3)分析法： 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法.即“ ”的方法.,由因导果,执果索因,(4)反证法和放缩法： 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法. 在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法.,(5)数学归纳法： 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： 证明当nn0时命题成立； 假设当nk (kN*，且kn0)时命题成立，证明nk1时命题也成立. 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.,2.几个常用基本不等式 (1)柯西不等式： 柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2) (当且仅当adbc时，等号成立). 柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|，等号当且仅当，共线时成立.,(acbd)2,考点自测,根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，,解答,(121212)(abc)3.,解答,x0，y0，,解答,题型分类 深度剖析,题型一 用综合法与分析法证明不等式,证明,因为x0，y0，xy0，,证明,只需证明(abc)23. 即证：a2b2c22(abbcca)3， 而abbcca1， 故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca). 即证：a2b2c2abbcca.,所以原不等式成立.,用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.,思维升华,跟踪训练1 设a、b、c均为正数，且abc1，证明：,由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得 a2b2c2abbcca. 由题设得(abc)21， 即a2b2c22ab2bc2ca1. 所以3(abbcca)1，,证明,证明,题型二 放缩法证明不等式,证明,当|ab|0时，不等式显然成立. 当|ab|0时，,(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有：,思维升华,利用函数的单调性；,(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.,证明,由2nnkn(k1,2，n)，得,原不等式成立.,题型三 柯西不等式的应用,例3 已知x，y，z均为实数.,证明,(2)若x2y3z6，求x2y2z2的最小值.,解答,(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.,思维升华,证明,由柯西不等式及题意得，,.(x2y3z)(y2z3x)(z2x3y)(xyz)227.,课时作业,解答,1.已知xy1，求2x23y2的最小值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,即a2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,3.(2016徐州模拟)设a、b、c是正实数，且abc9，求 的最小值.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,4.设x，y，zR，且满足：x2y2z21，x2y3z ，求xyz.,解答,由柯西不等式可得(x2y2z2)(122232)(x2y3z)2， 即(x2y3z)214，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,求证：|2xy4|a.,证明,即|2xy4|a.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,6.(2016苏州模拟)已知a，b，cR，且2a2bc8，求(a1)2(b2)2(c3)2的最小值.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,由柯西不等式得 (441)(a1)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32， 9(a1)2(b2)2(c3)2(2a2bc1)2. 2a2bc8，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,7.(2015湖南)设a0，b0，且ab . 证明：(1)ab2；,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(2)a2a2与b2b2不可能同时成立.,证明,假设a2a2与b2b2同时成立， 则由a2a2及a0得0a1； 同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾. 故a2a2与b2b2不可能同时成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,9.(1)关于x的不等式|x3|x4|a的解集不是空集，求a的取值范围；,|x3|x4|(x3)(x4)|1， 且|x3|x4|1，即a的取值范围是(1，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,(xyz)2， 即251(xyz)2. 5|xyz|，5xyz5. xyz的取值范围是5,5.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,10.(2016南京模拟)已知a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，).,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,因为a，b(0，)，ab1， x1，x2(0，)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(2)求证：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,方法一 由a，b(0，)，ab1， x1，x2(0，)，及柯西不等式可得：,所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,方法二 因为a，b