2017届中考数学二轮专题复习《解读相似三角形的一个基本模型》素材苏教版.docx

解读相似三角形的一个基本模型“一线三等角” 相似三角形是初中几何中的核心模块，也是考查学生分析和解决问题等综合能力的重要载体.在解决问题时，我们要能从复杂的图形中分离和构造基本图形，从而将几何问题“模块”化，以提高解题效率.本文主要探究相似三角形的一个基本模型“一线三等角”.基本图形1 如图1，点v三点共线，则 (证明略). 一、直接运用基本图形例1 如图2，在矩形中，由8个边长均为1的正方形组成的“型”模板如图放置，则的长度为 .解析 由基本图形1，可知.设,则.由,得，故.由，得. 点评 由基本图形可知、两两相似，又由于与的关系上升到全等，再通过相似及全等，就能找到边与边的数量关系，建立方程. 二、添加辅助线后运用基本图形 例2 在直角坐标系中，点是抛物线在第二象限上的点，连结，过点作，交抛物线于点，以、为边构造矩形，如图3，当点的横坐标为时，求点的坐标. 解析 过点作轴于点，过点作轴于点,则令，则.由基本图形1，得,.代入得，解得: (舍去)，, 点(2,4). 点评 解题关键是构造基本图形. 三、弱化条件“直角”，拓展甚本图形如图4，弱化条件“直角”，仍有点、三点共线，那么成立吗? 按照基本图形1的证明方法，结论仍然成立，于是得到第二个基本图形:甚本圈形2 如图5，在中，是上一点，点、分别在、上，则.(证明略) 变式1 甚本圈形3当点与重合时，如图6，则 (证明略). 变式2 甚本图形4当点为中点时，如图7，则 (证明略). 四、应用练习 1.等腰三角形底边上一线三等角 例3 如图8，在Rt中，现取一块等腰直角三角板，将45角的顶点放在中点处，三角板的直角边与线段、分别交于点、，设. (1)试求与的函数关系式，并写出的取值范围; (2)试判断与的大小关系?并说明理由; (3)在三角板绕点旋转的过程中，能否成为等腰三角形?若能，求出对应的值;若不能，请说明理由.解析 (1)由基本图形4，可知.则,即,故; (2)由基本图形4，可知,则与相等;(3)当时，,由(2)得; 当时， 由(2)得, 点与点重合,; 当时，, 由(2)得. 点评 本题第(1)问，本质是考查三角形相似，对应边成比例，将几何问题过渡到函数问题.第(2)问是对三角形相似判定的考查，也为第(3)问作铺垫.第(3)问有三种情况，具体在解决时可以利用第(2)问的结论，将问题转化到中这个有一定角，定边的三角形中.在等腰梯形中，将腰延长会交于一点，形成等腰三角形，故以上题型在等腰梯形中也适用. 2.等腰梯形底边上一线三等角例4 如图9，在等腰梯形中，点、分别在边、上移动，且，则点移动过程中，线段长的最小值为 .解析 由基本图形2 , .设，则, ,当时，.又当最大时，最小，此时.作于点，.3.函数问题中一线三等角例5 如图10，已知直线与抛物线交于点.若点与抛物线上对称轴右侧的点，点在线段上(与点、不重合)，点是轴正半轴上的动点，且满足.试探究: 在什么范围时，符合条件的点的个数分别是1个、2个?解析 延长交轴于点.设,，即，,直线解析式为.由， 解得(6,2).由基本图形2，得,.设，则,由，得，.如图11，当时，此时点只有一个; 当时，任取的一个值，都有两个值，此时点有两个. 点评 本题的解题核心是三角形相似，也考查了一次函数、勾股定理等重要知识，将所求解的问题转化为二次函数图象与性质问题是解题的关键.五、归纳总结 由“一线三等角”基本模型搭建桥梁可以得到相似三角形，这类问题经常是以矩形、正方形、等边三角形、等腰三角形、等腰梯形为图形背景出现.在几何学习过程中，我们要学会归纳一些简单的基本模型，学会从复杂的图形里提炼基本模型，并将其作为解决问题的手段和方法.分析问题时，首先由条件联想基本知识和基本模型，再从图形中寻找基本模型.若不能直接找到基本模型，则考察条件中是