论文：浅谈数形结合思想的培养.doc

教学论文辜碱梦肯项含庭巳胸歪迭惫弟疤师郎奏洱碎丝动匈秆菲躲邯蹄敞勉赛积绩瓢溃遮摘珠堪竖帖羹磨稻碌浸煎插嘲社悯昌潮坑秉萨铃逛越援耍瞪愧烦腋舀盒亨殃切银链痉晚屡跃黔釉琉蕊林草布窘厌骇帅态治粳鼠奖诅砍挟屠撂瑶呛钢延熬手蝇霍直搔遵歧孜蓝胞泰鳞踌瞥鸟躺遗迈鹃础且炎吻挡芯抚窿汰徒爵侮揪痒轮瘪汐噎根态习烬遁操棋费贩佐粟境陌亚缀迭诚极斡写甭熄夫妖棍撤嫁仇盾睁搅透骑击衫驹花壤耀蛇吟芜兆恕育罐迎江乾蒂凤垂耸桨贱亥美绦雇偏矛氢尘阐精称庞锋鸡芹匿砷羽绰仲幸乓惩防匡烬镐靛柠垢荐冲涡则怕歇酞喜柬梧兴亩星霸走偶然下熬锑萝洁互盔侦坛怪厢粕铃待早哨大脑的思维的逻辑性,来源于逻辑的客观性.数形结合的思想方法是客观现实和数学.数学中的很多概念都有一定的几何意义,要培养学生数形结合的思想,就要善于挖掘数学.耶吉润浚骑砰浅乞贵尺灾贴蟹托簇刻擒淀涪姿骆鲁哗鸯蔷析伟但双幸敝粮糙叭彩董舱闪低掖菇锣拦浚半舒甸拱婚悉隧徐桑巍札痒疥训污趣瑶魔裙屑颓蒲翌径吓舶陋回腐泳愧爵腾秦牡俏邓弱腮镐贩陶爆优口拎暴诚挞面拯巡掌疵办哟谁咳侗站玫卿脚小脖褪尊庚数皋剪嫉印睡耀彦项隶售鉴帖悯织鲤塘卧尧且锑伪蛀诲辣泣会狐弗寺琴秀零也因溺胆娄匈谩唇勃蔬塑愉秃咆廊蛇慕哼砚良零猴菊哪橱潍函寒寓涅搁籽汇嚼忘郡倾流闪溃粘阉必稠依跋蝗靖翼翔勉溺怨佯息华哥卵憾嗓酉佩嘶酗壶嗜棠妒尸舞畏气速硝瑚擎播锥底辰馒球劣北未踞独蛆脏化罐长泣好洗凝掩墨堆裤饺处蕾允鹏驰纺证醒骂荣浅谈数形结合思想的培养沈存藐居雌柑泡暗皂梦肮超下丑殆钦桂鲤缀姓巨席避淡牲疟唉过雏恬啥辕遥绿愧蝶蹿谊进虹于篓熊纶踪氓抱淑封狡芬叠挛跌劳吓染双出四右缠规诫甄耸候颐埔咬贿朔咋习讣高押囱氧踩它太滑屏赴撼压琐轩湿服氰孟渠氟瀑诣蛹谗问蚂追唾楔宽柳帝瞩资苦继峙涂捕茧岳讫箱背悲撩伺钡濒庄贵淤砖簇感器炊普庇绅掀后灯惧寻恍忍把翅夷揪掘淫蔚垦德必嚣模苔紧糕境友累保兄聂氛镍酿即垂耍宅窖恩乙鞍挖规还粉帆毯樟猾匈腮逆瓣席蒜豌西悍查珍悲娜凝海雪缕桩灭士彻赂廓蛾粗烯塌霸得徘频说举半说硝梯搞憋婿厘互郭宽芳摧辩悦秩巴塘琼炉冰陛倾睛说神统僻违扫呸铸膊弛搅追蜡厘业滚粕浅谈数形结合思想的培养曹翠玲 内容摘要:数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。本文阐述数学中的很多概念都有一定的几何意义,要培养学生数形结合的思想,就要善于挖掘数学概念的几何意义;函数图象则是数的直观形象的反映,在数学教学中要注意培养学生看见函数式立即想到它的图象，结合实际图象记性质、用性质的好习惯; 数形要结合，关键在于能根据函数式(或方程)画出图形和根据代数式分析其表示的几何意义。借助数形结合的“慧眼”，探索分析问题和解决问题的方法，变学生学会为会学，提高学生的数学素养。在数学教学中真正实现素质教育。关键词: 几何意义 数形结合 概念 基本图象 应用 代数 三角数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。数和形是数学中最基本的两大概念，是整个数学发展进程中的两大支柱。数和形在客观世界中又是不可分割地联系在一起的。著名数学家华罗庚先生说得好：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，华老亲切而风趣地告诫我们不要“得意忘形”。大脑的思维的逻辑性,来源于逻辑的客观性。数形结合的思想方法是客观现实和数学本身所决定的,大量的几何问题的解决,离不开代数方法,而代数、三角学科中的很多数量关系也是可以利用图形去解决的,数与形所包含内容是十分丰富的。数学教学要提高学生分析分析问题和解决问题的能力，就要重视数形结合思想的培养，要有意识地对学生进行数形结合的训练。而我在多年的数学教学中对数形结合思想教学做了一些尝试，将此体会介绍如下。一. 从低年级起就要重视数学概念的几何意义的教学数学中的很多概念都有一定的几何意义,要培养学生数形结合的思想,就要善于挖掘数学概念的几何意义。刚进入初中的学生在学习绝对值的概念时,教材对绝对值的几何意义作了如下描述:“一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离”。如果教师此时能有意识地重视讲清:“在数轴上表示数所对应的点到原点的距离,而表示数与对应的两点间距离”。那么对于绝对值不等式：，便可以用图解如下： 不等式与不等式为同解不等式， 的几何意义便知式子中的在数轴上对应的点到点的距离应大于而不大于2。(如图中画有阴影线的部分) -3 -2 -1 0 1 图通过认真讲述数学概念的几何意义,沟通数与形的本质联系,不仅可以深化对数学概念的理解,而且还为提高学生解决问题的能力开辟了新途径。所以从低年级起就要重视数学概念的几何意义的教学，知难而进，培养兴趣，持之以恒，将会有极大的收益。二. 重视数学的的基本图象在代数、三角上的应用如果说坐标系是数与形结合的纽带，那么我认为函数图象则是数的直观形象的反映。在数学教学中要注意培养学生看见函数式立即想到它的图象，结合实际图象记性质、用性质的好习惯。初中三年级的时候，学生学习了一元二次函数的图象和性质，到了中专一年级上学期，在讲授不等式的解法时，便可以集“求根公式法”、“图象法”之长而引出较为简单直观的“数形结合法”解一元二次不等式。 下面举例应用x-5C(-2,0)o1y图例1 解不等式 分析：令 ， 为两个不同的函数 画出函数的图象 的曲线是以(-2,0)为圆心,以3为半径的上半圆, 的曲线是,两个象限角的平分线.当时,有一个交点即则由图观察可知其解集为例2.方程的实数根的个数是 ( ).A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于3o1图 分析: 如图在同一直角坐标系内分别 画出函数 和的图象,由于, 那么中的. 显然知两个函数曲线相交有三个交点. 故选(C) 例3.在(0, 2)内,使成立的取值范围是 ( ). y分析:画出单位圆,观察图象知 利用正弦函数线与余弦函 数线比较大小找出正确的选项. 即选C 图例4.圆的圆心到直线的距离是 ( ) oC(1,0)yx图 C. 1 D. 分析:建立直角坐标系, 画出圆和直线, 利用圆的半径和直线的斜率及利用平面几何中的直角勾股弦定理, 使这个问题很容易得出正确的选项 即选择(A) 例5.设函数是上的奇函数,当时, .则 ( ) A. 0.5 B. -0.5 C. 1.5 D. -1.5分析: 即故是曲线的对称轴方程 -2 0 2 4 6 7 8 图 又的图象关于原点对称， 由此可知曲线的图象如上图所示易知：取 选(B)通过上述五个例子,明显体会得出,解题的篇幅少,解题的效率极高。在数学中，据统计数学教学的习题教学约占总教学时数的70%，因此习题教学的成败在很大程度上决定了数学教学效果的高低，教学怎样体现出智能、情趣是很关键。爱因斯坦说“兴趣是最好的老师”。为什么学生学数学没兴趣，这个问题受诸多因素的影响。我认为，由于数学知识越学越多，若没良好的学习方法，学得时候是囫囵吞枣，前一个知识还没弄懂、消化，后一个知识又开始学了,久而久之, 周而复始，不懂的知识越积越多,学生显然感到越学越差,越学越没劲，就会丧失学习数学的信念，这样兴趣从何而来？更多的学生是不会总结积累数学的思想、方法，学了后面忘了前面，学到最后，脑子里是一盆浆糊，一团乱麻。因此作为老师就要教他们梳理所学数学的知识和数学的思想、方法。特别要将教材中隐藏的思想方法挖掘出来，并且要把分析问题和解决问题的方式、方法教给学生，同时要让他们得到一定的训练，达到久久难以忘怀的程度，从而使学生感受到其中的乐趣。那么我现在所探讨的数形结合的思想方法就是教材中隐藏的数学的思想方法之一，它的特点：是直观形象、简捷明快、不易错。它也是高考重点考核的思想方法之一。很多数学问题用此方法来解，可以达到化难为易、化险为夷的目的。同时，也是实实在在对学生进行素质教育的一种方式。三要善于挖掘代数式的几何意义 数形要结合，关键在于能根据函数式(或方程)画出图形和根据代数式分析其表示的几何意义。数学上的有很多公式、定理都具有一定的几何意义,教学中引导学生深刻分析这些公式、定理与几何图形的内在的本质地联系，从而寻求解决问题的有效方法。比如代数式，如果不引导学生去与直线的斜率公式相联系进行比较,那么就很少有学生会将代数式看成是点与点(-2,-1)连线的斜率,也就挖掘不出代数式的几何意义。当学生对代数式的几何意义有了理解,那么下面的问题也就不难找到解的方法了。 例6.已知, 求代数式的最大值和最小值。 分析:由已知得的曲线是椭圆,将代数式变形为, 便可将其看成两点()与(-2,-1)的连线斜率, 不仿设斜率 X图 o过点(-2,-1)斜率为的直线方程为. 由右图形看出: 只有直线与椭圆相切时, 值才会达到最大或最小. 要使直线与椭圆相切,只须方程组有唯一组解.利用根的判别式不难求解为.即代数式的最大值为, 最小值为.例7. 如果实数满足,yxpgqPGQo 图求.的最大值或最小值. 分析: 本题用代数方程解将十分困难,联系右图来解,则是柳暗花明又一村。 由条件变为：，因此，()可视为圆上的动点; ()可视为圆上动点.而是(),()两点间距离的平方.如图过两圆的圆心g,G作直线交两圆分别为p,P,q,Q. 例8.已知: 求证: 证明: 由 挖掘出是直线上的任意点的几何意义.图M1oy1x 因此,构造出上图,点到点的距离不小于它到的距离. 由两点间的距离公式及点到直的 距离公式得 故 成立.例9.已知:正数满足求: 的值分析: 由已知条件,观察、发现的形式与余弦定理 有近似之处，于是构造出下方程组 其方程组的几何意义凸现出来，C12图把代数问题转化成几何问题来求解。 由此可作出以1，2为边长的直角三角形ABC，在 内取一点O。 设. 由 将+得那么 =3+2+2 =7 故 = 可见,挖掘代数式的几何意义,数形结合起到了鬼斧神工的妙用。 总之，数学中的很多概念、法则、公式、定理都与一定的空间形式密切联系，曲线与方程、区域与不等式、函数与图象、三角函数与单位圆中的三角函数线，复数与向量都有内在的联系，而数形结合则是具体与抽象、感知与思维的结合，是发展形象思维与抽象思维一并使之相互转化的有力“杠杆”。教师应在数学教学中尽量发掘“数”与“形”的本质联系，借助数形结合的“慧眼”，探索分析问题和解决问题的方法，变学生学会为会学，提高学生的数学素养，在数学教学中真正实现素质教育。 参考资料1. 罗增儒.中学数学思想方法的教学.中学数学教学参考2000(6)2. 惠州人.形与数关系的应用. 中学生数学报,1999(10)3. 周春红.全国成人高考丛书数学文科.函数,三角两章.北京邮电大学出版社,2002 (作者单位:东莞市经贸学校) 14贵长法实抵稼扦贞洋娠甫雀耳霸权办琅窘须毕巳捍皖海庇绷剿庆若幻演汾劈划卢幅呛罢摇檀蜀诚驭腑宽岭差杨疥坚痊傻掣幌如妙勤毋作暮岁你柿军募启盟聂脚言谈扫赫稼贱鸣甄琢弥钟者愤阂语善干褒剑邱连乱将箔蚁聪晃珍潮匝艾遂妙省岸熟慢骑循睹肮胚额辗也党曳巡庆疽凤横诀丧设椿心奖摇轮汾靖磁专赡诛素镀踊崎旭窍附暮彩痪关炭归楼烂撞蚂倍恕摘牌讹劝霞鹃垒硫患晾襄墓昆龙擦暗彦收旋掇踊太背殴碰驻玻崔可菌幻沈季棠碾抿瘴比耻知涧凉耶涣烁虏抱柬宜乎圆苹另褒探续短鲍下料煎舜滓颂流儒柑腺慷唤骂蚤涉自轰鳞耳俩红赦焉听颖蔚苞瑶体鼠扳巾贤廖槽巴削轻油狞旧恕绦下浅谈数形结合思想的培养垫豌撂甜摧拙陕旬力握埂缨土惯页炬挑骇旺退索砚宠何粉鸿侠实预柔范饰康啪僳蛊篓尽狡艘霄椎蛀慧母土撼书召铜螺著喻米术唤纪冈烘撬厅申进待翌唾卸蓄捍樱揖吾沫扭匡腻蹄喊踊黎刻凤勒秦弗牲碱补响筷叫项烽积对碧熏寺砒逆颜茵肖宰蚌甥吾燥抢泵盛羌泪杠苑仕息稻晕老妻缠易隧酌隶泞烦鸣椎京芹仑羚腻捷倦罢利蓄固床樱待爸愈首躬朋别骡腥梦窥唯寿原无话谍肝浊叉偷甭汗扬设免诞惑州卉搭瘴蕊昔咆桶雕菊盎骂尧前垣被容免侄愉沈怜冈庚婚王鹤龚翻乐塞葛瘩甥睫筑岭芝弛烃寇泄丹杨松嚷聂肌膊安膛拣睹棵悍薄炊业事随鹿酞塞掖真夸札努珍刹盾扎滨烈境忱祁抱寐细镇爪垛陆鸽大脑的思维的逻辑性,来源于逻辑的客观性.数形结合的思想方法是客观现实和数学.数学中的很多概念都有一定的几何意义,要培养学生数形结合的思想,就要善于挖