浅谈无理函数不定积分的求解方法.doc

要浅谈无理函数不定积分的求解方法摘要：我们将自变量包含在根式之下的函数称为无理函数。这样的特点使得无理函数不定积分，在通常情况下求解较为复杂。对于一个无理函数来说，大多数情况下，较常见的情况是同一个无理函数有多个求不定积分的方法，如何从多种不定积分求解方法中选出最优的解法，就是一个我们需要考虑的问题了。本文旨在将以往的无理函数不定积分求解方法进行综述，探讨各个方法在求解上的应用与具体使用过程。同时，总结了对一些常见的无理函数不定积分类型的常用解法。为无理函数不定积分的求解提供一种思路。关键字：无理函数 不定积分 计算方法Abstract:We usually call the function which have one or more arguments under the radical as irrational function. The feature of irrational function makes the irrational function integral become tough problem for we to solve. For an irrational function,in most cases,the more commonsituationisthe sameirrational functionwith multipleindefiniteintegral method. So,how toselect an optimalsolutionfrom a variety ofindefinite integralmethod, isaproblem that we need to consider.This article aims to past the irrational function of indefinite integral solution method to carry on the summary, discusses the application of various methods on solving the use with specific process. At the same time, summarizes the irrational function of some common indefinite integral types of commonly used method. In order to provide a way to solve the irrational function indefinite integral problems.key words: irrational function indefinite integral method1.无理函数不定积分的求解方法通常情况下，我们对无理函数不定积分的求解通常都会先对无理函数部分做前置处理工作。对无理函数全体构成无理函数域，我们通常用大体两种思想进行变换求解：有理化，或分离法。这两种思想，若即若离，经常混合使用。在这之下细化为四种变形：1.由函数单调性，及其定义域直接求解；2.利用基本不等式限定求解；3.利用三角函数变换求解；4.利用转换给定区间二次函数值域问题求解；从这四种细分的无理函数值域问题求解方式上，我们不难看出：平方法和换远法，这两者都是将无理函数转化为有利函数来求解；分离常数法和分离有界变量法，这两者都是通过将无理函数积分分解为可知范围有理函数积分的方法来求解的。那么，我们就来看，由这两种思想主导的这几种方法，在无理函数不定积分求解上的方法变形与延伸：1.1凑微分法凑微分法，根据字面意思来看，就是视图通过对现有可用积分（即已知结果的积分）的知识，来通过拼凑组合的方式来实现对原有积分格式的变形。形成我们可以利用已知结果积分求解的格式。此方法的关键是根据被积函数的特点来寻找合适于题目的积分，并通过适当的方式来凑出该积分的原函数变形。例1：求解积分 解： 上面这道例题，我们就通过将原式中的变形为，使得我们能够将式子中的单独拿出来并与积分中的共同构成，使得我们能够将看作一个整体，以便于使用已知积分来对原式进行求解。1.2倒变换法倒变换法常用于解决一些能够通过自变量假设取反，即这种形式，化成第一种解法的题目来使用。这种变换其实可以认为是第一种方法，凑微分法的一种变形。但是，需要注意的是，使用这种方法后，一定要将原式中的也做相应的代换，否则，将会导致结果错误。同时，使用这种方法还需要注意的是，在用替换后的变量计算得出结果后，不要忘记将原变量替换回来，否则也会造成结果错误。例2：求解积分解：令，则 上面这道题，我们发现单纯从原式来看，题目是比较难以解决的。但是，如果我们使用，将原函数中的自变量替换掉，则原式就变为了第一种情况的这中已知函数格式，那么，接下来的解题过程变不再麻烦。所以，本例中首先使用自变量倒换，来实现原函数化简。1.3根式变换法除了上面这两种换原积分思想外，我们在面对一些无理函数不定积分根式的时候，常常也会将有特点的根式进行换原代换，来完成简化原函数为已知有理函数不定积分形式。这种方法常常会用于一些根式特点明显，且多次重复出现的情况，我们来看例题：例3：求解积分解：令，则 很明显，这种方法也可以看作是凑微分法的变形。上例中，我们发现原函数的根式具有明显特点，实质上可看为是对的一系列运算，那么，我们如果将看作一个整体的话，将会明显简化原函数。所以，我们假设，并依次来对原函数变形。将原函数转化为，结合分部积分的思想（即拆分，总结随后，此处只是利用分部积分的思想），来对原函数进行简单拆分，求解。1.4分部积分法分部积分，顾名思义就是将原函数拆开为各个部分，来分别进行积分的过程。分部积分法主旨，就是通过将原函数拆分为一个一个的可单独求解积分，通过对每一个小块的积分的求解求和，来得到原函数积分对应结果。这种方法一般都会利用公式，来完成需求。通常用于分母中出现，且分子较为复杂的时候使用。例4：求解积分解： 例题4中，通过对原函数的观察，我们发现原函数具有分子复杂，分母满足形式。由此，我们可以推断，该函数一定可以使用分部积分方法化简。我们取，取，则。随后调用公式即可。1.5分项积分法所谓分项积分的方法，便是通过对被积函数各项的适当拆分，来将其化为分部积分的无理函数不定积分求解方法。这种方法可以看作是分部积分方法的变形。通常情况下，当分母仅仅含有一个因式，或者说近景是一个因式的幂方的时候，我们为了将其分子凑成该因式的组和，常常会对分子进行适当的操作（一般为加减，但不局限于加减）来对其进行变形，以便于分部积分。例5：求解积分解： 上例中，我们发现原函数分母为根号中包含自变量幂方且与分子配套的形式，符合使用分项积分法的条件。我们为了使分子构成分母根号下部分，我们对分子进行加减一个单位的操作，使得原式变为。进而进行拆分求解操作。2.用欧拉代换法求解无理函数不定积分2.1欧拉代换法欧拉代换是一种比较复杂的代换思想及数学操作。欧拉代换的一般形式主要是对常见二次三项式的运算。通常情况下，我们将二次三项式分为一下几种情况进行讨论：1.若，我们设；2.若，我们设；3.若有两个相异实根和时，我们设或，则或根据这几种分法，我们一般解题时，首先需要做的一步就是判断对应复杂二次三项式无理函数不定积分的所属类型。然后再根据具体的情况，选取三种类型中的合适者，进行解题。下面，我们来看例题：例6：求解积分解：，其中，我们取第一种欧拉变换 令，则有， 则： 上面这种做法，是我们通过条件直接判断，采用第一种情况对应做法来完成该复杂二次三项式无理函数不定积分求解的。但是，通过仔细观察我们发现，上面这道题目中可以拆分为，即原二次三项式有两个相异实根。那么，除采用第一种情况下的解题技巧外，我们还可以使用第三种情况下的解题技巧。下面，我们来看使用第三种情况下解题技巧，来解答本题：解：有相异实根与，我们取第三 种欧拉变换。 令，则即 有： ， 则： 通过上面的运算，我们发现，欧拉变换法解决复杂无理函数不定积分，需要判断并使用对应方法这点，有些过于复杂。经过我们的分析，这是由于我们对具体的欧拉变换过程中，涉及的各个参数过于细化所造成的。那么，我们能够找得到一种统一的方法来描述欧拉变换法解决二次三项式，就是简化欧拉变换法解决问题的关键了。2.2欧拉代换法的变式解法为了使格式统一，我们这里重新假设变量：当有两个相异实根和时，我们设或；当无实根时，我们设或；型无理函数不定积分积分都是可以使用欧拉代换，化为对应有理函数积分来解决的。从本质上来讲，这两个式子是统一则通式的不同表现而已，本质都是有欧拉变换推广而来。由此，我们下面给出证明：，任意一点，将带入原式，有： (1)对(1)两边同时平方，我们有：经过整理后，我们有： (2)那么，我们将整理好后的(2)式带入原式中，则有：为的相应有理函数积分形式。由(1)可知：当有两个相异实根和时，我们取为这两个实根中的一个。则代入(1)式中我们会发现，(2)式和才用欧拉代换所得相异实根抢矿下结果一致；当无实根时，我们取。则代入(1)式中我们会发现，(2)式所对应变换化简结果与欧拉变换对应无实根情况下结果一致；由上我们可得，(1)(2)式即为通用代换公式，为我们在解题过程中提供了一种不用分析对应情况的统一解题方法。例7：求解积分解：当时， 设，对它做两边平方，并整理代换 有： ， 则： 我们发现，如果用原本的欧拉代换法的话，本题在解决上会较为繁琐。通过本例，我们也发现了改进后统一欧拉代换法的必要性。例8：求解积分解：当时， 设 对它做两边平方，并整理代换，有： 则： 当时， 当时， 当时， 其中： 上例中原函数，我们发现其中的、均为未知数。且如果采用原有欧拉代换法，由推出的判别式符号无法确定。当，且时，；当，且时，；所以，单纯的判断，是无法判断出到底该选取欧拉代换法中的哪一种情况。因此，导致无法不经过讨论就直接选取到合适的情况解题。这时，就体现出了改进欧拉代换法的有点。改进欧拉代换法不需要复杂判断，涵盖了以上标准欧拉代换法中的各种情况，统一使用对原式进行替换，化简了求解过程。3.常见无理函数不定积分综上所述，总结了常用的无理函数不定积分求解方法，以及两种思路：有理化，分离法。在前文基础上，提供了一些常见无理函数不定积分的解题技巧。常见的无理函数不定积分，我们主要有三类：、我们依次来看：3.1被积函数为方法：令，则有：，经过代换后带入，即可。例9：求解积分解：设，则， 有： 例10：求解积分解：设，则， 有： 3.2被积函数为方法：令，则有：，经过代换后带入，即可。例11：求解积分解：设，则， 有： 又 代入原式，得： 3.3被积函数为第一种方法，欧拉变换法：这种方法也是此类体最常用的方法，由于前文中详细阐述了该方法的应用，这里就不再赘述了。我们主要来看一下第二种不常见的取巧方法，该方法在有些情况下能够收到奇效。第二种方法，配方法：记，则代入，可使其化简为一下三种格式的其中一种：、则，我们对应无理函数不定积分也可以转换为下列三种格式中的一种：、我们对上述三种化简方式有着不同的处理过程分别设：、然后带入对应格式中，即可化为有理函数不定积分求解。这里，我们拿前文中出现过的一道例题（例6），来比较说明一下这种方法：例12：求解积分解： 通过采用配方法（凑微分和换元思想的具体应用）对上面这道例题的再次计算，我们发现，和原有欧拉变换法比较而言，这种方法从字面上看相对简练，但是需要用到多次换远，因此容易混淆。建议在可行的情况下，还是采取欧拉变换法进行计算。致谢：此文得以完成，凝聚了许许多多老师、同学、朋友，亲人的心血和关爱！在我即将完成学业之际，谨向五年来给与我无私帮助、支持，关心和呵护过我的所有老师、同学、朋友、亲人致以最诚挚的谢意！感谢罗永贵老师，罗老师作为我的论文指导老师在本文的撰写过程中给予我大量的指导和帮助，花费了很多心血.尤其是在调研报告、方法研究、论文撰写等各个环节给予我的指导和帮助。感谢我的同窗好友们，四年来朝夕共处的日子里，是他们给了我最大的温暖和感动，感谢他们在我论文写作过程中提出的宝贵建议和帮助。论文写作过程中借鉴和引用了许多学界前辈的观点和论据，向他们表示感谢！最后，特别感谢参加论文评审的各位老师！参考文献1 伍胜健,数学分析(共3册)M，北京大学出版社,2009.2 陈纪修，数学分析(上册)M，高等教育出版社,2004.3 常庚哲,史济怀，数学分析教程(上册)M，中国科学技术大学出版社,2010.4 邓东皋尹小玲,数学分析简明教程M,高等教育出版, 1999.5 陈传璋. 数学分析（第二版）M. 高等教育出版社,2005:175-179. 6 高解，杨安春，谈无理函数的不定积分J,苏州教育学院学报，1997年第01期.7 胡海龙. 常见无理函数不定积分方法小结J. 科技信息,2011.8 金爱莲. 谈无理函数不定积分的一些方法J. 科技信息,2014.9 高解,杨安春. 谈无理函数的不定积分J. 苏州教育学院学报,1997.10殷谷良. 一类无