2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题4三角形四边形存在性.doc

2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题4：三角形四边形存在性问题24. （2012黑龙江龙东地区10分）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，ABOC，AOC=90，BCO=45，BC=12，点C的坐标为（18，0）。（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）过点B作BFx轴于F，在RtBCF中BCO=45，BC=12，CF=BF=12 。 C 的坐标为（18，0），AB=OF=6。点B的坐标为（6，12）。（2）过点D作DGy轴于点G，OD=2BD，OD=OB。ABDG，ODGOBA 。 ，AB=6，OA=12，DG=4，OG=8。D（4，8），E（0，4）。设直线DE解析式为y=kx+b（k0） ，解得。直线DE解析式为y=x+4。（3）结论：存在。点Q的坐标为：（2 ，2 ），（2 ，2 ），（4，4），（2，2）。【考点】一次函数综合题，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，菱形的判定和性质。【分析】（1）构造等腰直角三角形BCF，求出BF、CF的长度，即可求出B点坐标。（2）已知E点坐标，欲求直线DE的解析式，需要求出D点的坐标构造ODGOBA，由线段比例关系求出D点坐标，从而可以求出直线DE的解析式。（3）如图所示，符合题意的点Q有4个：设直线y=x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F，则E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，EF=4。菱形OEP1Q1，此时OE为菱形一边。则有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EFP1E=44。易知P1NF为等腰直角三角形，P1N=NF=P1F=42。设P1Q1交x轴于点N，则NQ1=P1Q1P1N=4（42）=2。又ON=OFNF=2，Q1（2 ，2）。菱形OEP2Q2，此时OE为菱形一边。此时Q2与Q1关于原点对称，Q2（2，2）。菱形OEQ3P3，此时OE为菱形一边。此时P3与点F重合，菱形OEQ3P3为正方形，Q3（4，4）。菱形OP4EQ4，此时OE为菱形对角线。由菱形性质可知，P4Q4为OE的垂直平分线，由OE=4，得P4纵坐标为2，代入直线解析式y=x+4得横坐标为2，则P4（2，2）。由菱形性质可知，P4、Q4关于OE或x轴对称，Q4（2，2）。综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标为：Q1（2，2），Q2（2，2），Q3（4，4），Q4（2，2）。25. （2012黑龙江绥化10分）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）由已知得，FG=AF=2，FB=1。四边形ABCD为矩形，B=90。G点的坐标为（3，4）。（2）设直线EF的解析式是y=kx+b，在RtBFG中，BFG=60。AFE=EFG=60。AE=AFtanAFE=2tan60=2。E点的坐标为（0，42）。又F点的坐标是（2，4）， 解得。直线EF的解析式为。（3）存在。M点的坐标为（），（），（ ）。【考点】一次函数综合题，矩形的性质，折叠性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）根据折叠性质可知FG=AF=2，而FG=ABAF=1，则在RtBFG中，利用勾股定理求出BG的长，从而得到CG的长，从而得到G点坐标。（2）由题意，可知AEF为含30度角的直角三角形，从而可求出E点坐标；又F点坐标已知，所以可利用待定系数法求出直线EF的解析式。（3）分FG为平行四边形边和对角线两种情况讨论，探究可能的平行四边形的形状： 若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形：FG为平行四边形的一边，且N点在x轴正半轴上，如图1所示。过M1点作M1Hx轴于点H，易证M1HN1GBF，M1H=GB=，即yM1=。由直线EF解析式，求出。M1（）。FG为平行四边形的一边，且N点在x轴负半轴上，如图2所示。仿照与相同的办法，可求得M2（）。FG为平行四边形的对角线，如图3所示。过M3作FB延长线的垂线，垂足为H易证M3FHGN3C，则有M3H=CG=4，所以M3的纵坐标为8。代入直线EF解析式，得到M3的横坐标为。M3（）。综上所述，存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为：M1（），M2（），M3（ ）。26. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西10分）如图，在平面直角坐标系中，已知RtAOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x27x+12=0的两根(OA0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒(1)求A、B两点的坐标。(2)求当t为何值时，APQ与AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）由x27 x +12=0解得x1=3，x2=4。 OAOB ，OA=3 , OB=4。A(0，3)， B(4，0)。 (2)由OA=3 , OB=4，根据勾股定理，得AB=5。由题意得，AP=t, AQ=52t 。分两种情况讨论：当APQ=AOB时，如图1，APQAOB。 ，即 解得 t= 。Q（）。当AQP=AOB时，如图2， APQABO。 ，即 解得 t= 。Q（）。（3）存在。M1（）， M2（），M3（）。【考点】动点问题，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的性质，平行四边形的判定。【分析】（1）解出一元二次方程，结合OAOB即可求出A、B两点的坐标。 （2）分APQ=AOB和AQP=AOB两种情况讨论即可。（3）当t=2时，如图，OP=2，BQ=4，P（0，1），Q（）。 若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则 当AQ为对角线时，点M1的横坐标与点Q的横坐标相同，纵坐标为。M1（）。 当PQ为对角线时，点M2的横坐标与点Q的横坐标相同，纵坐标为。M2（）。当AP为对角线时，点Q、M3关于AP的中点对称。由A(0，3)，P（0，1）得AP的中点坐标为（0，2）。由Q（）得M3的横坐标为，纵坐标为。M3（）。综上所述，若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则M点的坐标为（）或（）或（）。27. （2012湖北襄阳12分）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）四边形ABCO为矩形，OAB=AOC=B=90，AB=CO=8，AO=BC=10。由折叠的性质得，BDCEDC，B=DEC=90，EC=BC=10，ED=BD。由勾股定理易得EO=6。AE=106=4。设AD=x，则BD=CD=8x，由勾股定理，得x2+42=（8x）2，解得，x=3。AD=3。抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），解得。抛物线的解析式为：。 （2）DEA+OEC=90，OCE+OEC=90，DEA=OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5。而CQ=t，EP=2t，PC=102t。当PQC=DAE=90，ADEQPC，即，解得。当QPC=DAE=90，ADEPQC，即，解得。当或时，以P、Q、C为顶点的三角形与ADE相似。（3）存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：M1（4，32），N1（4，38）；M2（12，32），N2（4，26）；M3（4，），N3（4，）。【考点】二次函数综合题，折叠和动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质。【分析】（1）根据折叠图形的轴对称性，CEDCBD，在RtCEO中求出OE的长，从而可得到AE的长；在RtAED中，AD=ABBD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式。 （2）由于DEC=90，首先能确定的是AED=OCE，若以P、Q、C为顶点的三角形与ADE相似，那么QPC=90或PQC=90，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t的值。（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点。由得抛物线顶点，则：M（4，）。平行四边形的对角线互相平分，线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，）。EC为平行四边形的边，则ECMN，设N（4，m），则M（48，m+6）或M（4+8，m6）；将M（4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=38，此时 N（4，38）、M（4，32）；将M（12，m6）代入抛物线的解析式中，得：m=26，此时 N（4，26）、M（12，32）。综上所述，存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：M1（4，32），N1（4，38）；M2（12，32），N2（4，26）；M3（4，），N3（4，）。28. （2012湖南永州10分）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx1（a0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PHl，H为垂足（1）求二次函数y=ax2+bx1（a0）的解析式；（2）请直接写出使y0的对应的x的取值范围；（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；（4）试问是否存在实数m可使POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）二次函数y=ax2+bx1（a0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），-，解得。二次函数的解析式为y=x21。（2）当2x2时y0。（3）当m=0时，|PO|2=1，|PH|2=1；当m=2时，P点的坐标为（2，0），|PO|2=4，|PH|2=4；当m=4时，P点的坐标为（4，3），|PO|2=25，|PH|2=25。由此发现|PO|2=|PH|2。设P点坐标为（m，n），即n=m21|OP|2= m2+ n2，|PH|2=（n+2）2=n2+4n+4=n2+m2。对于任意实数m，|PO|2=|PH|2。（4）存在。由（3）知OP=PH，只要OH=OP成立，POH为正三角形。设P点坐标为（m，n），|OP|2= m2+ n2，|OH|2=4+ m2，由|OP|=|OH|得，m2+ n2=4+ m2，即n2=4，解得n=2。当n=2时，n=m21不符合条件，当n=2时，由2=m21解得m=2。故当m=2时可使POH为正三角形【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，等边三角形的判定。【分析】（1）根据二次函数y=ax2+bx1（a0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），待定系数法求出a和b的值，抛物线的解析式即可求出。（2）令y=x21=0，解得x=2或x=2，由图象可知当2x2时y0。（3）分别求出当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值然后观察其规律，再进行证明。（4）由（3）知OP=OH，只要OH=OP成立，POH为正三角形，求出|OP|、|OH|含有m和n的表达式，令两式相等，求出m和n的值。29. （2012湖南娄底10分）已知二次函数y=x2（m22）x2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1x2，与y轴交于点C，且满足（1）求这个二次函数的解析式；（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由【答案】解：（1）二次函数y=x2（m22）x2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1x2，令y=0，即x2（m22）x2m=0 ，则有：x1+x2=m22，x1x2=2m。，化简得到：m2+m2=0，解得m1=2，m2=1。当m=2时，方程为：x22x+4=0，其判别式=b24ac=120，此时抛物线与x轴没有交点，不符合题意，舍去；当m=1时，方程为：x2+x2=0，其判别式=b24ac=90，此时抛物线与x轴有两个不同的交点，符合题意。m=1。抛物线的解析式为y=x2+x2。（2）存在。理由如下：假设在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形。如图所示，连接PAPBACBC，过点P作PDx轴于D点。抛物线y=x2+x2与x轴交于AB两点，与y轴交于C点，A（2，0），B（1，0），C（0，2）。OB=1，OC=2。PACB为平行四边形，PABC，PA=BC。PAD=CBO，APD=OCB。在RtPAD与RtCBO中，PAD=CBO ，PA=BC，APD=OCB ，RtPADRtCBO（AAS）。PD=OC=2，即yP=2。直线解析式为y=x+3，xP=1。P（1，2）。在直线y=x+3上存在一点P，使四边形PACB为平行四边形，P点坐标为（1，2）。【考点】二次函数综合题，二次函数与x点问题，曲线图上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）欲求抛物线的解析式，关键是求得m的值根据题中所给关系式，利用一元二次方程根与系数的关系，可以求得m的值，从而问题得到解决。注意：解答中求得两个m的值，需要进行检验，把不符合题意的m值舍去。（2）利用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得P点的纵坐标，从而得到P点的横坐标，从而求得P点坐标。30. （2012湖南衡阳10分）如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0t）秒解答如下问题：（1）当t为何值时，PQBO？（2）设AQP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2x1，y2y1）称为“向量PQ”的坐标当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标【答案】解：（1）A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8。如图，当PQBO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=103t。PQBO，即，解得t=。当t=秒时，PQBO。（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10如图所示，过点P作PDx轴于点D，则PDBO。APDABO。，即，解得PD=6t。S与t之间的函数关系式为：S=（0t）。当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）。如图所示，当S取最大值时，t=，PD=6t=3，PD=BO。又PDBO，此时PD为OAB的中位线，则OD=OA=4。P（4，3）。又AQ=2t=，OQ=OAAQ=，Q（，0）。依题意，“向量PQ”的坐标为（4，03），即（，3）当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，3）。【考点】动点问题，平行线分线段成比例，二次函数的最值，勾股定理，三角形中位线定理。【分析】（1）如图所示，当PQBO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式，求出t的值。（2）求S关系式的要点是求得AQP的高，如图所示，过点P作过点P作PDx轴于点D，构造平行线PDBO，由APDABO得 求得PD，从而S可求出S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值。求出点P、Q的坐标：当S取最大值时，可推出此时PD为OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2x1，y2y1），即可求解。31. （2012湖南株洲10分）如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c过A、B两点（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标【答案】解：（1）分别交y轴、x轴于A、B两点，A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）。将x=0，y=2代入y=x2+bx+c得c=2；将x=4，y=0代入y=x2+bx+c得0=16+4b+2，解得b=。抛物线解析式为：y=x2+x+2。（2）如图1，设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4t。，ME=BEtanABO=（4t） =2t。又N点在抛物线上，且xN=t，yN=t2+t+2。当t=2时，MN有最大值4。（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）如图2，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形。（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a），由AD=MN，得|a2|=4，解得a1=6，a2=2，从而D为（0，6）或D（0，2）。（ii）当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点，由D1（0，6），N（2，5）易得D1N的方程为y=x+6；由D2（0，2），M（2，1）D2M的方程为y=x2。由两方程联立解得D为（4，4）。综上所述，所求的D点坐标为（0，6），（0，2）或（4，4）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，锐角三角函数定义，平行四边形的判定和性质。【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式。（2）求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值。（3）明确D点的可能位置有三种情形，如图2所示，不要遗漏其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标。32. （2012湖北鄂州12分）已知：如图一，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点，且AB=2.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E、D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒 ；设，当t为何值时，s有最小值，并求出最小值。（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）在中，由x=0得y=2，C（0，2）。 由 y=0得 x=2，A（2，0）。 AB=2，B（4，0）。 可设抛物线的解析式为，代入点C（0，2）得。抛物线的解析式为。（2）由题意：CE=t，PB=2t，OP=42t。EDBA，CEDCOB。 ，即。ED=2t。当t=1时，有最大值1。当t=1时，的值最小，最小值是1。（3）存在。设BC所在直线的解析式为y=kx+b，由B（4，0），C（0，2）得 ，解得，C所在直线的解析式为。 由题意可得：D点的纵坐标为t2，则D点的横坐标为2t。又。PBD=ABC，以P、B、D为顶点的三角形与ABC相似有两种情况：当时，即，解得；当时，即，解得。综上所述，当或时，以P、B、D为顶点的三角形与ABC相似。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）求出C、A、B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x2）（x4），代入点C的坐标求出a即可。（2）由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，由EDBA得出CEDCOB ，从而，求出ED=2CE=2t，根据 ，根据二次函数的最值求出即可。（3）以P、B、D为顶点的三角形与ABC相似有两种情况：和代入求出即可。33. （2012福建宁德13分）如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD10，OB8将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合(1)直接写出点A、B的坐标：A( ， )、B( ， )；(2)若抛物线yx2bxc经过点A、B，则这条抛物线的解析式是 ；(3)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MNx轴于点N问是否存在点M，使AMN与ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；(4)当x7，在抛物线上存在点P，使ABP的面积最大，求ABP面积的最大值【答案】解：（1）（6，0），（0，8）。 （2）。 （3）存在。设M，则N（m，0）MN=，NA=6m。 又DA=4，CD=8，若点M在点N上方，则AMNACD。，即，解得m=6或m=10。与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。此时不存在点M，使AMN与ACD相似。若点M在点N下方，则AMNACD。，即，解得m=2或m=6。与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。此时不存在点M，使AMN与ACD相似。若点M在点N上方，则AMNACD。，即，方程无解。此时不存在点M，使AMN与ACD相似。若点M在点N下方，则AMNACD。，即，解得m=或m=6。当m=时符合条件。此时存在点M（，），使AMN与ACD相似。综上所述，存在点M（，），使AMN与ACD相似。（4）设P（p，）， 在中，令y=0，得x=4或x=6。 x7分为x4，4x6和6x7三个区间讨论： 如图，当x4时，过点P作PHx轴于点H则OH=p，HA=6p ，PH=。 当x4时，随p的增加而减小。当x=时，取得最大值，最大值为。如图，当4x6时，过点P作PHBC于点H，过点A作AGBC于点G。则BH= p，HG=6p，PH=， 当4x6时，随p的增加而减小。当x=4时，取得最大值，最大值为8。如图，当6x7时，过点P作PHx轴于点H。则OH=p，HA= p6，PH=。当6x7时，随p的增加而增加。当x=7时，取得最大值，最大值为7。综上所述，当x=时，取得最大值，最大值为。【考点】二次函数综合题，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理， 曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定，二次函数的性质。【分析】（1）由OD10，OB8，矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合，可得OA2=AB2OB2=10282=36，OA=6。A（6，0），B（0，8）。（2）抛物线yx2bxc经过点A、B， ，解得。 这条抛物线的解析式是。（3）分若点M在点N上方，若点M在点N下方，若点M在点N上方，若点M在点N下方，四种情况讨论即可。（4）根据二次函数的性质，分x4，4x6和6x7三个区间分别求出最大值，比较即可。34. （2012福建龙岩14分）在平面直角坐标系xoy中， 一块含60角的三角板作如图摆放，斜边 AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（1，0） （1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式； （2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中EDF=90，DEF=60），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C 此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M 设AE=x，当x为何值时，OCEOBC； 在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使PEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）B（3，0），C（0，）。 A（1，0）B（3，0）可设过A、B、C三点的抛物线为 。 又C（0，）在抛物线上，解得。经过A、B、C三点的抛物线解析式 即。（2）当OCEOBC时，则。 OC=， OE=AEAO=x1， OB=3，。x=2。 当x=2时，OCEOBC。 存在点P。 由可知x=2，OE=1。E（1，0）。 此时，CAE为等边三角形。 AEC=A=60。又CEM=60， MEB=60。 点C与点M关于抛物线的对称轴对称。 C（0，），M（2，）。 过M作MNx轴于点N（2，0），MN=。 EN=1。 。若PEM为等腰三角形，则：)当EP=EM时, EM=2，且点P在直线x=1上，P(1，2)或P（1，2）。 ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，P(1，2) 。 ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，P(1，) 综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，2）或（1，2）或（1，）时，EPM为等腰三角形。【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定。【分析】（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长，从而求得点B、C的坐标。设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。（2）根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。 求得EM的长，分EP=EM， EM=PM和PE=PM三种情况求解即可。35. （2012福建漳州12分）已知抛物线y=x2 + 1(如图所示) (1)填空：抛物线的顶点坐标是(_，_)，对称轴是_； (2)已知y轴上一点A(0，2)，点P在抛物线上，过点P作PBx轴，垂足为B若PAB是等边三角形，求点P的坐标； (3)在(2)的条件下，点M在直线AP上在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形?若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x=0）。（2）PAB是等边三角形， ABO=9060=30。AB=2OA=4。PB=4。把y=4代入y=x2+1，得 x=。点P的坐标为（，4）或（ ，4）。（3）存在。所有满足条件的点N的坐标为 (，1)， (-，-1)， (-，1)， (，-1)。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，等边三角形的性质，菱形的判定。【分析】（1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可。（2）根据等边三角形的性质求得PB=4，将PB=4代入函数的解析式后求得x的值即可作为P点的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标。（3）首先求得直线AP的解析式，然后设出点M的坐标，利用勾股定理表示出有关AP的长即可得到有关M点的横坐标的方程，求得M的横坐标后即可求得其纵坐标：设存在点M使得OAMN是菱形，OAP900，OA不可能为菱形的对角线，只能为菱形的边。若点P的坐标为（，4），点A的坐标为（0，2），设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b，则，解得： 。 AP所在直线的解析式为：y=x+2。点M在直线AP上，设点M的坐标为：（m， m+2）。如图，作MHy轴于点H，则MH= m，AN=OHOA=m+22=m。OA为菱形的边，AM=AO=2。在RtAMH中，AH2+MH2=AM2，即：m2+（m）2=22，解得：m=。M（，3）或（，1）。当M（，3）时，N（，1）；当M（，1）时，N（，1）。若点P的坐标为（，4），同理可得N的坐标为（，1）或（，1）。综上所述，存在点N（，1），（，1），（，1），（，1），使得四边形OAMN是菱形。36. （2012福建三明12分）已知直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N（1）如图，当点M与点A重合时，求：抛物线的解析式；（4分）点N的坐标和线段MN的长；（4分）（2）抛物线在直线AB上平移，是否存在点M，使得OMN与AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由（4分）【答案】解：（1）直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，A（，0），B（0，5）。当顶点M与点A重合时，M（，0）。抛物线的解析式是：，即。N是直线与在抛物线的交点，解得或。N（，4）。如图，过N作NCx轴，垂足为C。N（，4），C（，0）NC=4MC=OMOC=。 。（2）存在。点M的坐标为（2，1）或（4，3）。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。【分析】（1）由直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，求出点A、B的坐标，由顶点M与点A重合，根据二次函数的性质求出顶点解析式。 联立和，求出点N的坐标，过N作NCx轴，由勾股定理求出线段MN的长。（2）存在两种情况，OMN与AOB相似： 情况1，OMN=900，过M作MDx轴，垂足为D。 设M（m，），则OD= m，DM=。 又OA=，OB=5， 则由OMDBAO得，即，解得m=2。M（2，1）。 情况2，ONM=900，若OMN与AOB相似，则OMN=OBN。 OM=OB=5。 设M（m，），则解得m=4。M（4，3）。综上所述，当点M的坐标为（2，1）或（4，3）时，OMN与AOB相似。37. （2012福建福州13分）如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PDBC，交AB于点D，连接PQ点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t0)(1) 直接用含t的代数式分别表示：QB_，PD_(2) 是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；(3) 如图，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长【答案】解：(1) QB82t，PDt。 (2) 不存在。理由如下：在RtABC中，C90，AC6，BC8， AB10。 PDBC， APDACB。 ，即：， ADt。 BDABAD10t。 BQDP， 当BQDP时，四边形PDBQ是平行四边形。82tt，解得：t。当t时，PD，BD106， DPBD。PDBQ不能为菱形。设点Q的速度为每秒v个单位长度，则BQ8vt，PDt，BD10t。要使四边形PDBQ为菱形，则PDBDBQ，当PDBD时，即t10t，解得：t。当PDBQ时，t时，即8v，解得：v。要使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，点Q的速度为单位长度/秒。 (3) 如图，以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系。依题意，可知0t4。当t0时，点M1的坐标为(3，0)；当t4时，点M2的坐标为(1，4)。设直线M1M2的解析式为ykxb， ，解得：。直线M1M2的解析式为y2x6。点Q(0，2t)，P(6t，0)，在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标为(，t)。把x，代入y2x6，得y26t。点M3在直线M1M2上。线段PQ中点M所经过的路径长即为线段M1M2。过点M2作M2Nx轴于点N，则M2N4，M1N2。 M1M22。线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度。【考点】锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，一次函数综合题，勾股定理，菱形的判定和性质【分析】(1) 根据题意得：CQ2t，PAt，由RtABC中，C90，AC6，BC8，PDBC，即可得tanA ，则可求得QB与PD的值。(2) 易得APDACB，即可求得AD与BD的长，由BQDP，可得当BQDP时，四边形PDBQ是平行四边形，即可求得此时DP与BD的长，由DPBD，可判定PDBQ不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PDBDBQ，列方程即可求得答案。(3) 建立直角坐标系，求出线段PQ中点M始末坐标M1和M2，求出直线M1M2的解析式，并证明线段PQ任一中点在直线M1M2上，从而得出线段M1M2即为线段PQ中点M所经过的路径长，根据勾股定理即可求出。38. （2012辽宁丹东14分）已知抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），O是坐标原点，且（1）求抛物线的函数表达式； （2）直接写出直线BC的函数表达式；（3）如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD为边作正方形ODEF.将正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒（0t2）.求：s与t之间的函数关系式； 在运动过程中，s是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由（4）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1） A（1，0）, ，C（0，3）。抛物线经过A（1，0）,C（0，3），解得。抛物线的函数表达式y=x22x3。（2）直线BC的函数表达式为y=x3。（3）当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时，设D点的坐标为（m，2），根据题意得：2=m3，m=1。当0t1时，S1=2t；当1t2时，如图，O1（t，0），D1（t，2），G（t，t3），H（1，2）， GD1=t1，HD1= t1。S= 。s与t之间的函数关系式为在运动过程中，s是存在最大值：当t =2秒时，S有最大值，最大值为。（4）存在。M 1（，0）M2（，0），M3（，0），M4（，0）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，正方形的性质，二次函数的性质，平行四边形的判定。【分析】（1）求出点C的坐标，即可根据A，C的坐标用待定系数法求出抛物线的函数表达式。（2）求出点B的坐标（3，0），即可由待定系数法求出直线BC的函数表达式。（3）分0t1和1t2讨论即可。 由于在0t2上随t的增大而增大，从而在运动过程中，s是存在最大值：当t =2秒时，S有最大值，最大值为。（4）由点P（1，k）在直线BC上，可得k=2。P（1，2）。则过点P且平行于x轴的直线N1N2和在x轴上方与x轴的距离为2的直线N3N4，与y=x22x3的交点N1、N2、 N3、N4的坐标分别为N1（，2），N2（，2）， N3（， 2），N4（， 2）。若AP是边，则M1的横坐标为PN1加点A的横坐标：；M2的横坐标为PN2加点A的横坐标：；M3的横坐标为N3的纵坐标加N3的横坐标：；M4的横坐标为N4的纵坐标加N4的的横坐标：。若AP是对角线，符合条件的点M与上述M 1（，0）和M2（，0）重合。综上所述，M 1（，0），M2（，0），M3（，0），M4（，0）。39. （2012辽宁阜新12分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交