2019高考数学二轮复习专题一平面向量、三角函数与解三角形学案理.docx

专题一 平面向量、三角函数与解三角形全国卷3年考情分析第一讲 小题考法平面向量考点(一) 向量的线性运算与有关定理主要考查平面向量的线性运算以及向量共线、平面向量基本定理的应用.典例感悟典例(1)(2018福州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，2，且rs，则2r3s()A1B2C3 D4(2)(2019届高三开封模拟)已知平面向量a，b，c，a(1,1)，b(2,3)，c(2，k)，若(ab)c，则实数k_.解析(1)法一：根据图形，由题意可得()() .因为rs，所以r，s，则2r3s123，故选C.法二：如图所示，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点B(4m,0)，D(3m,3h)，E(4m,2h)，其中m0，h0.由rs，得(4m,2h)r(4m,0)s(3m,3h)，所以解得所以2r3s123，选C.(2)由题意，得ab(1,4)，由(ab)c，得1k4(2)，解得k8.答案(1)C(2)8方法技巧解决平面向量问题的常用3种方法 几何法求解有关平面向量的问题时，若能灵活利用平面向量加、减法运算及其几何意义进行分析，则有利于问题的顺利获解建系法处理有关平面图形的向量问题时，若能灵活建立平面直角坐标系，则可借助向量的坐标运算巧解题，这也体现了向量的代数化手段的重要性基底法求解有关平面向量的问题时，若能灵活地选取基底，则有利于问题的快速获解理论依据：适当选取一组基底e1，e2，利用平面向量基本定理及相关向量知识，可将原问题转化为关于e1，e2的代数运算问题演练冲关1(2018合肥二模)如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，xy，且2，则()Ax，y Bx，yCx，y Dx，y解析：选A由题意知，又2，所以()，所以x，y.2(2018西安高级中学三模)在ABC中，2，3，连接BF，CE，且BFCEM，xy，则xy等于()A B.C D.解析：选C因为2，所以，所以xyxy.由B，M，F三点共线得xy1.因为3，所以，所以xyxy.由C，M，E三点共线得xy1.联立解得所以xy，故选C.3已知A(1,2)，B(a1,3)，C(2，a1)，D(2,2a1)，若向量与平行且同向，则实数a的值为_解析：法一：由已知得(a,1)，(4，a)，因为与平行且同向，故可设 (0)，则(a,1)(4，a)，所以解得故所求实数a2.法二：由已知得(a,1)，(4，a)，由，得a240，解得a2.又向量与同向，易知a2不符合题意故所求实数a2.答案：2考点(二) 平面向量的数量积及应用主要考查数量积、夹角以及向量模的计算或用数量积解决最值范围问题.典例感悟典例(1)(2018南宁、柳州联考)已知单位向量a，b满足|ab|ab|，则a与ba的夹角是()A.B.C. D.(2)(2018福州四校联考)已知向量a，b为单位向量，且ab，向量c与ab共线，则|ac|的最小值为()A1 B.C. D.(3)(2017全国卷)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A2 BC D1解析(1)因为|ab|ab|，所以(ab)2(ab)2，整理得ab0.在平面直角坐标系中作出a，b，ba，如图，易知a与ba的夹角是，故选D.(2)法一：向量c与ab共线，可设ct(ab)(tR)，ac(t1)atb，(ac)2(t1)2a22t(t1)abt2b2，向量a，b为单位向量，且ab，(ac)2(t1)2t(t1)t2t2t12，|ac|，|ac|的最小值为，故选D.法二：向量a，b为单位向量，且ab，向量a，b的夹角为120，在平面直角坐标系中，不妨设向量a(1,0)，b，则ab.向量c与ab共线，可设ct(tR)，ac，|ac| ，|ac|的最小值为，故选D.(3)如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则(x, y)，(1x，y)，(1x，y)，所以()(x，y)(2x，2y)2x222，故当x0，y时，()取得最小值，为.答案(1)D(2)D(3)B方法技巧解决以平面图形为载体的向量数量积问题的方法(1)选择平面图形中模与夹角确定的向量作为一组基底，用该基底表示构成数量积的两个向量，结合向量数量积运算律求解(2)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决演练冲关1(2018昆明模拟)已知向量a(1,2)，b(1,3)，则|2ab|()A. B2C. D10解析：选C由已知，易得2ab2(1,2)(1,3)(3,1)，所以|2ab|.故选C.2(2018全国卷)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)()A4 B3C2 D0解析：选Ba(2ab)2a2ab2|a|2ab.|a|1，ab1，原式21213.3(2018陕西宝鸡一模)在等腰直角三角形ABC中，ABC90，ABBC2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足|，则的取值范围为()A. B.C. D.解析：选C以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,0)，直线AC的方程为xy2.设M(a,2a)，则0a1.由|，得N(a1,1a)，(a,2a)，(a1,1a)a(a1)(2a)(1a)2a22a222.0a1，当a时，取得最小值.当a0或a1时，2.的取值范围是.故选C.4在ABC中，8，的夹角为150.若M为ABC内的动点，且MAB，MBC，MCA的面积分别为2，m，n，则的最小值是()A20 B18 C16 D8解析：选D设ABC的内角B，C所对的边分别为b，c，因为8，的夹角为150，所以8 bccos 30，解得bc16，所以SABCbcsinBAC16sin 304.依题意得2mn4，解得mn2.因为5528，所以的最小值是8.故选D.必备知能自主补缺依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干主干知识要记牢1平面向量的两个充要条件若两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)abab(b0)x1y2x2y10.(2)abab0x1x2y1y20.2平面向量的性质(1)若a(x，y)，则|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .(4)|ab|a|b|.二级结论要用好1三点共线的判定(1)A，B，C三点共线，共线(2)向量，中三终点A，B，C共线存在实数，使得，且1.针对练1在ABCD中，点E是AD边的中点，BE与AC相交于点F，若mn (m，nR)，则_.解析：如图，2，mn，m(2n1)，F，E，B三点共线，m2n11，2.答案：22中点坐标和三角形的重心坐标(1)设P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段P1P2的中点P的坐标为.(2)三角形的重心坐标公式：设ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则ABC的重心坐标是G.3三角形“四心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则(1)O为ABC的外心|.(2)O为ABC的重心0.(3)O为ABC的垂心.(4)O为ABC的内心abc0.易错易混要明了1要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意向量平行；00(R)，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0a0；但不说0与任意非零向量垂直2当ab0时，不一定得到ab，当ab时，ab0；abcb，不能得到ac，即消去律不成立；(ab)c与a(bc)不一定相等，(ab)c与c平行，而a(bc)与a平行3两向量夹角的范围为0，向量的夹角为锐角(钝角)与向量的数量积大于(小于)0不等价针对练2已知向量a(2，1)，b(，1)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是_解析：依题意，当a与b的夹角为钝角时，ab21.而当a与b共线时，有21，解得2，即当2时，ab，a与b反向共线，此时a与b的夹角为，不是钝角，因此，当a与b的夹角为钝角时，的取值范围是(2，)答案：(2，)A级124提速练一、选择题1(2018贵州模拟)已知向量a(1,2)，b(m，1)，若ab，则实数m的值为()A.BC3 D3解析：选B由题意，得1(1)2m0，解得m，故选B.2(2018福州模拟)已知a(1,2)，b(1,1)，c2ab，则|c|()A. B3C. D.解析：选B因为c2ab2(1,2)(1,1)(3,3)，所以|c|3.故选B.3(2019届高三广西五校联考)设D是ABC所在平面内一点，2，则()A BC D解析：选A.4(2018云南调研)在ABCD中，8，6，N为DC的中点，2，则()A48 B36C24 D12解析：选C()()22826224.5已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影是()A. BC3 D3解析：选C依题意得，(2,1)，(5,5)，(2,1)(5,5)15，|，因此向量在方向上的投影是3.6(2019届高三湖南五市十校联考)ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足2a，2ab，则向量a，b的夹角为()A30 B60C120 D150解析：选C2ab2ab，则向量a，b的夹角即为向量与的夹角，故向量a，b的夹角为120.7(2018西工大附中四模)已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点G在ABC内，且满足0，0，若a2b2c2(R)，则()A5 B2C2 D5解析：选D设BC的中点为D，连接GD(图略)，则2.又0，所以2，所以A，G，D三点共线，且AG2GD.故()()同理可得BG()由0，得()()0，所以()(2)0，即|22|20，所以b22c2bc0，化简得a2b25c2.又a2b2c2(R)，所以5.故选D.8已知ABC为等边三角形，AB2，设点P，Q满足，(1)，R，若，则()A. B.C. D.解析：选A以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(1，)，(2,0)，(1，)，又，(1)，P(2，0)，Q(1，(1)，(1，(1)(21，)，化简得42410，.9(2018西安八十三中二模)称d(a，b)|ab|为两个向量a，b间的“距离”若向量a，b满足：|b|1；ab；对任意tR，恒有d(a，tb)d(a，b)，则()Aab Ba(ab)Cb(ab) D(ab)(ab)解析：选C由d(a，tb)d(a，b)，可知|atb|ab|，所以(atb)2(ab)2，又|b|1，所以t22(ab)t2(ab)10.因为上式对任意tR恒成立，所以4(ab)242(ab)10，即(ab1)20，所以ab1.于是b(ab)ab|b|21120，所以b(ab)故选C.10(2018河南林州检测)已知ABC的外接圆的圆心为O，满足：mn,4m3n2，且|4，|6，则()A36 B24C24 D12解析：选Am2n，因为O为ABC的外心，所以2m2n|cosBCA，所以2448m24ncosBCA，因为4m3n2，所以2412(23n)24ncosBCA，又n0，即cosBCA，所以|cosBCA4636.11设e1，e2，e3为单位向量，且e3e1ke2(k0)，若以向量e1，e2为两边的三角形的面积为，则k的值为()A. B.C. D.解析：选A设e1，e2的夹角为，则由以向量e1，e2为两边的三角形的面积为，得11sin ，得sin 1，所以90，所以e1e20.从而将e3e1ke2两边平方得1k2，解得k或k(舍去)12.如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M，若mn (m0，n0)，mn2，则AOB的最小值为()A. B.C. D.解析：选D将mn平方得1m2n22mncosAOB，cosAOB1(当且仅当mn1时等号成立)，0AOB0，n0，O为坐标原点，则点P的轨迹的长度为()A. B.C. D.解析：选D设P(x，y)，因为(2,0)，(0,1)，所以x，y(其中m，n0)，所以x2y22(其中x，y0)，则点P的轨迹的长度为2.4(2018重庆模拟)已知RtABC中，AB3，BC4，AC5，I是ABC的内心，P是IBC内部(不含边界)的动点，若 (，R)，则的取值范围是()A. B.C. D(2,3)解析：选A以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,0)，A(3,0)，C(0,4)设ABC的内切圆的半径为r，因为I是ABC的内心，所以(534)r43，解得r1，所以I(1,1)设P(x，y)，因为点P在IBC内部(不含边界)，所以0x1.因为(3,0)，(3,4)，(x3，y)，且，所以得所以1x，又0x0，函数ycos的图象向右平移个单位长度后与函数ysin x的图象重合，则的最小值为()A.B.C. D.解析(1)易知C1：ycos xsin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数ysin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数ysinsin的图象，即曲线C2.(2)由函数图象可知，A2，又函数f(x)的图象过点(0，)，所以2sin ，即sin ，由于|0，所以当k1时，取得最小值，故选B.答案(1)D(2)B(3)B方法技巧1函数表达式yAsin(x)B的确定方法字母确定途径说明A由最值确定AB由最值确定B由函数的周期确定相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点之差的绝对值为个周期，由图象上的特殊点确定一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置，利用待定系数法并结合图象列方程或方程组求解2三角函数图象平移问题处理的“三看”策略演练冲关1(2018陕西模拟)为了得到函数ysin的图象，只需把函数ysin 2x的图象()A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度解析：选D函数ysin 2x的图象向右平移个单位长度，可得到函数ysinsin的图象故选D.2(2018广州模拟)将函数y2sinsin的图象向左平移(0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则的最小值为()A. B.C. D.解析：选A由y2sinsin可得y2sincossin，该函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g(x)sinsin，因为g(x)sin为奇函数，所以2k(kZ)，(kZ)，又0，故的最小值为，故选A.3.函数f(x)4sin(x)的部分图象如图所示，则f(16)的值为()A B.C2 D2解析：选C由图象得8，所以T16，因为0，所以，当x2时，f(x)0，则(2)k，kZ，所以k，kZ.又|0，0，0)的部分图象如图所示，为了得到函数g(x)Asin x的图象，只需将函数yf(x)的图象()A向左平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向右平移个单位长度解析：选B由图可得函数的最大值为2，即A2.函数的周期T2，所以，解得2，所以f(x)2cos(2x)又f 2cos2，即cos1，所以2k(kZ)，解得2k(kZ)又0，故k0，.所以f(x)2cos2cos，而g(x)2sin 2x2cos2cos2cos 2，所以g(x)f.因此把函数yf(x)的图象向左平移个单位长度才能得到函数yg(x)的图象.考点(二)三角函数的性质及应用主要考查三角函数的奇偶性及对称性、周期性或求函数的单调区间以及根据函数的单调性、奇偶性、周期性等求参数的值或范围.典例感悟典例(1)(2017全国卷)设函数f(x)cos，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)的一个零点为xDf(x)在单调递减(2)(2018全国卷)若f(x)cos xsin x在a，a是减函数，则a的最大值是()A.B.C. D(3)(2018惠州模拟)函数f(x)Asin(2x)的部分图象如图所示，且f(a)f(b)0，对不同的x1，x2a，b，若f(x1)f(x2)，有f(x1x2)，则()Af(x)在上是减函数Bf(x)在上是增函数Cf(x)在上是减函数Df(x)在上是增函数解析(1)根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2，所以函数的一个周期为2，A正确；当x时，x3，所以cos1，所以B正确；f(x)coscos，当x时，x，所以f(x)0，所以C正确；函数f(x)cos在上单调递减，在上单调递增，故D不正确(2)法一：f(x)cos xsin xsin，当x，即x时，ysin单调递增，则f(x)sin单调递减函数f(x)在a，a是减函数，a，a，0a，a的最大值为.法二：因为f(x)cos xsin x，所以f(x)sin xcos x，则由题意，知f(x)sin xcos x0在a，a上恒成立，即sin xcos xsin0在a，a上恒成立，结合函数ysin的图象可知有解得a，所以00)的单调区间时，令xz，得yAsin z(或yAcos z)，然后由复合函数的单调性求得(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间2判断对称中心与对称轴的方法利用函数yAsin(x)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断3求三角函数周期的常用结论(1)yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan的最小正周期为.(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期演练冲关1(2018全国卷)已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则()Af(x)的最小正周期为，最大值为3Bf(x)的最小正周期为，最大值为4Cf(x)的最小正周期为2，最大值为3Df(x)的最小正周期为2，最大值为4解析：选Bf(x)2cos2xsin2x21cos 2x2cos 2x，f(x)的最小正周期为，最大值为4.故选B.2(2018西安八校联考)已知函数f(x)cos(x)(0)在x时取得最小值，则f(x)在0，上的单调递增区间是()A. B.C. D.解析：选A因为0，所以，又f(x)cos(x)在x时取得最小值，所以，所以f(x)cos.由0x，得x.由x，得x，所以f(x)在0，上的单调递增区间是，故选A.3(2018四川宜宾二诊)先将函数y2sin图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数yg(x)的图象，则下列说法正确的是()A函数g(x)图象的一条对称轴是xB函数g(x)图象的一个对称中心是C函数g(x)图象的一条对称轴是xD函数g(x)图象的一个对称中心是解析：选C先将函数y2sin图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得函数y2sin的图象，再向右平移个单位长度，得到函数g(x)2sin2sin2cos 2x的图象令2xk，kZ，得x，kZ.所以函数g(x)图象的对称轴方程为x，kZ.当k1时，对称轴方程为x.显然没有整数解，所以x不是函数g(x)的对称轴排除A.令2xk，kZ，得x，kZ，故函数g(x)图象的对称中心为，kZ.显然和没有整数解，所以和不是函数g(x)的对称中心排除B，D.故选C.4(2018开封模拟)已知函数f(x)2sin(x)sin的图象关于原点对称，其中(0，)，则_.解析：因为f(x)2sin(x)sin的图象关于原点对称，所以函数f(x)2sin(x)sin为奇函数，则ysin为偶函数，则k，kZ，又(0，)，所以.答案：考点(三) 三角函数的值域与最值问题主要考查求三角函数的值域或最值，以及根据函数的值域或最值求参数.典例感悟典例(1)已知函数f(x)2sincossin(2x3)若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在区间上的最大值和最小值之和为()A B1 C. D1(2)(2017全国卷)函数f(x)sin2xcos x的最大值是_(3)(2018全国卷)已知函数f(x)2sin xsin 2x，则f(x)的最小值是_解析(1)f(x)2sincossin(2x3)sinsin 2xsin 2xcoscos 2xsin sin 2xsin 2xcos 2xsin.由题意知函数g(x)fsinsincos，因为x，所以2x，故当2x，即x时，函数g(x)取得最小值，且g(x)min1；当2x，即x0时，函数g(x)取得最大值，且g(x)max.所以函数g(x)在区间上的最大值和最小值之和为.故选A.(2)依题意，f(x)sin2xcos xcos2xcos x21，因为x，所以cos x0,1，因此当cos x时，f(x)max1.(3)f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1)2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1)cos x10，当cos x时，f(x)时，f(x)0，f(x)单调递增当cos x，f(x)有最小值又f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)，当sin x时，f(x)有最小值，即f(x)min2.答案(1)A(2)1(3)方法技巧求三角函数的值域(最值)的常见函数类型及方法三角函数类型求值域(最值)方法yasin xbcos xc先化为yAsin(x)k的形式，再求值域(最值)yasin2xbsin xc可先设sin xt，化为关于t的二次函数，再求值域(最值)yasin xcos xb(sin xcos x)c可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数，再求值域(最值)yasin 2xbsin x求导，利用导数工具解决演练冲关1已知函数yasin 2xcos 2x的最大值为2，则a的值为()A1 B1C1 D2解析：选C由条件知a0，且yasin 2xcos 2xsin(2x)，其中tan ，则a234，a21，a1.2已知函数f(x)(1tan x)cos x,0x0，0)(2)ysin xysin xysin(x)yAsin(x)(A0，0)二级结论要用好1sin cos 0的终边在直线yx上方(特殊地，当在第二象限时有 sin cos 1)2sin cos 0的终边在直线yx上方(特殊地，当在第一象限时有sin cos 1)易错易混要明了求yAsin(x)的单调区间时，要注意，A的符号0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，弧度和角度不能混用，需加2k时，不要忘掉kZ，所求区间一般为闭区间如求函数f(x)2sin的单调减区间，可将函数化为f(x)2sin，转化为求函数ysin的单调增区间A级124提速练一、选择题1.函数f(x)sin(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()Af(x)sinBf(x)sinCf(x)sin Df(x)sin解析：选A由题图可知， 函数f(x)的最小正周期为T4，所以2，即f(x)sin(2x)又函数f(x)的图象经过点，所以sin1，则2k(kZ)，解得2k(kZ)，又|，所以，即函数f(x)sin，故选A.2(2018重庆模拟)函数f(x)sin的图象的一个对称中心是()A. B.C. D.解析：选C令xk(kZ)，得xk(kZ)，当k0时，x，所以函数f(x)sin的图象的一个对称中心是，故选C.3(2018宝鸡质检)函数f(x)tan的单调递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析：选B由k2xk(kZ)得，x0)的图象向右平移个单位长度得到函数yg(x)的图象，并且函数g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为()A. B.C2 D.解析：选C因为将函数f(x)sin x(0)的图象向右平移个单位长度得到函数yg(x)的图象，所以g(x)sin，又函数g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以gsin1且，所以所以2，故选C.9(2018合肥一模)将函数ycos xsin x的图象先向右平移(0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到ycos 2xsin 2x的图象，则，a的可能取值为()A，a2 B，a2C，a D，a解析：选D将函数ycos xsin xcos的图象向右平移(0)个单位长度，可得ycos的图象，再将函数图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到ycos的图象，又ycoscos 2xsin 2xcos，2，2k(kZ)，a，2k(kN)，又0，结合选项知选D.10(2018开封模拟)若存在正整数和实数使得函数f(x)sin2(x)的图象如图所示(图象经过点(1,0)，那么的值为()A1 B2C3 D4解析：选B由f(x)sin2(x)及其图象知，1，即，即，得cos 20)，若f(0)f且f(x)在上有且仅有三个零点，则()A. B2C. D.或6解析：选