2013硕士研究生考研讲义-数学基础班下.doc

人民网教育频道北京海天教育集团第四讲 不 定 积 分.考试要求1. 理解原函数的概念，理解不定积分的概念.2. 掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分的性质,掌握换元积分法与分部积分法.3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分. 考试内容一. 原函数的概念1. 定义：原函数 定义 如果, 或者, 则称是的原函数. 2. 存在性：连续函数有原函数. 推论 初等函数在有定义的区间上有原函数. 注：（1）原函数有无穷多.（2）任意两个原函数差一个常数. 二. 不定积分的的概念与性质1. 定义：函数的全部原函数称为的不定积分, 记作. 注：（1）不定积分不是一个函数, 而是一个函数的集合. （2） 2. 性质基本性质：, 或者 , 或者 运算性质：=注：当积分号消失时加任意常数三.基本公式1., 2., 3. , 4., , 5.,6., 7.,8., 9.，10.，11. ,12., 13.， 14. ，15.16. .注：不能用初等函数表示的积分,.四. 基本积分方法 1. 换元积分法：2.常见换元公式（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,（8）， 令，令,；（9）， 令, .（10），令, 或,（11），令，其中，（12），令分母次数较高时，倒代换；，3.分部积分法:.注：反对幂三指（1），（2），（3）题型与例题【例1】.【例2】计算下列不定积分【例3】计算不定积分.【例4】求计算不定积分 【例5】 【例6】计算不定积分【例7】求. 【例8】（11317）（本题满分10分） 求.【例9】设，求【例10】设函数有连续导函数, 且, 求.第五讲 定积分及其应用.考试要求1. 理解定积分的概念2. 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分4. 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿莱布尼茨公式5. 了解反常积分的概念，会计算反常积分注：（1）数一、数二要求：掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值（2）数三要求：会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题.考试内容一、定积分的概念与性质1. 定义 ；注：（1）积分与所用变量的符号无关. （2）规定：, .（3）几何意义（4）设在上可积，则特别地， 【例1】求和式极限（1）（2） （3）（4）2. 可积的条件（1）可积的必要条件：若在上可积，则在上有界（2）可积的充分条件：若在上连续或仅有有限个间断点，则在上可积；3. 定积分的性质假设各性质中所列出的定积分都是存在的（1）（2）注：分段函数的积分（3）若在上，则（4）设与分别是在上最大值与最小值，则（5）积分中值定理：若在上连续，则存在，使得.注： 可以在区间内部取到. 若在上连续，在上可积且定号,则，使得.【例2】 （11304）设,则,的大小关系是 . . . . 【例3】 设函数在区间上可导, 且, 则存在, 使得二、奇偶函数与周期函数的积分性质1. 若在上可积，则2. 若在上可积，则注：若为奇函数，则的原函数均为偶函数若为偶函数，则原函数中只有一个原函数是奇函数3. 设是以为周期的可积函数，则任意周期上的积分相等.，4. 设是以为周期的连续函数，则的原函数以为周期的充分必要条件是【例4】积分_ 【例5】设是连续函数的一个原函数，“”表示的充要条件是，则必有 （A）是偶函数 是奇函数（B）是奇函数 是偶函数（C）是周期函数 是周期函数（D）是单调函数 是单调函数【例6】设函数，（1）当为正整数，且时，证明：；（2）求.三、计算定积分1. 微积分基本公式（牛顿莱布尼茨公式）：若在上连续，是在上的一个原函数，则 2. 换元积分法与分部积分法注：换元要换限【例7】计算。【例8】计算.四、反常积分1. 无穷区间的反常积分（1）设在上连续，若极限存在，则称收敛，记作 =，否则称发散；若，则（2）设在上连续，若极限存在，则称收敛，记作 =，否则称发散；若，则（3）设在上连续，若与都收敛，则称收敛，记作 = + ，否则称发散；若，则2. 无界函数的反常积分（1）设在上连续，点为的瑕点，若极限存在，则称收敛，记作 =，否则称发散；若，则（2）设在上连续，点为的瑕点，若极限存在，则称收敛，记作 =，否则称发散；若，则（3）设在上连续，点为的瑕点，若与都收敛，则称收敛，记作 =+，否则称发散；若，则3. 几个重要的反常积分（1）；（2）；（3）；（4）【例9】（11212）设函数,，则 .【例10】计算【例11】计算五、定积分的应用 平面图形的面积1. 在直角坐标系下（1）区间上由曲线与轴所围成的平面图形的面积为（2）区间上由曲线与所围成的平面图形的面积为（3）区间上（轴）由曲线与轴所围成的平面图形的面积为（4）区间上（轴）由曲线与所围成的平面图形的面积为2. 在极坐标系下平面图形：的面积为 空间立体的体积1. 平行截面面积为已知的立体的体积设过轴上的任意点垂直于轴的平面与立体相截所得的截面面积为，则该立体的体积为 2. 旋转体的体积（以坐标轴为旋转轴）（1）区间上由曲线与轴所围成的平面图形：绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为；绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为（）（2）区间上由曲线与所围成的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为（）（3）区间上（轴）由曲线与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为（4）区间上（轴）由曲线与所围成的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为（）3. 以平行于坐标轴的直线为旋转轴的旋转体的体积作垂直于旋转轴的平面与立体相交，所得截面为圆域或圆环域，求出截面的面积，转化为平行截面面积为已知的立体的体积问题六、（数一、数二要求）1. 平面曲线的弧长平面曲线的弧长为2. 旋转体的侧面积平面图形：绕轴旋转一周而成的旋转体的侧面积为3. 变力沿直线作功设质点沿轴正向从处运动到处，变力的方向与轴正向相同，则变力对质点所作的功为4. 液体的静压力在液面下深为处，由液体重量产生的压强为，其中为液体的密度（1）设有一面积为的平薄板水平地放置在深为处的均匀静止液体中，则平板一侧所受的压力为（2）设有一高为，宽为的平薄板垂直地放置在均匀静止液体中，平薄板的上方与液面的距离为，则该平薄板所受的侧压力为，这里建立原点在液面上，正向为垂直向下的轴5. 抽水做功设一敞口容器侧壁由平面中的曲线段绕轴旋转所得旋转面构成，液面距容器口距离为，容器深度为，若将比重为的液体抽出容器，则所做的功，这里建立原点在液面上，正向为垂直向下的轴6. 引力质量分别为，相距为的两质点间的引力的大小为，其中k为引力系数7. 函数平均值称为函数在区间上的平均值题型与例题一. 概念与性质【例1】设函数, 在区间上连续, 且满足方程组; , 求,.二计算【例2】设函数连续, , 且满足方程, 求定积分. 【例3】设, 求.【例4】设,求函数的表达式【例5】曲线的方程为, 点是它的拐点, 该曲线在点与处的切线交于点, 设函数具有三阶连续导数, 计算定积分.三应用【例6】设在连续,。令，则 【例7】过坐标原点作曲线的切线, 该切线与曲线与轴围成平面图形,（1）求的面积.（2）求绕直线旋转一周所得旋转体的体积.四中值定理【例8】设函数在上连续,在开区间内可微，且，.（1）证明：存在，使得；（2）证明：存在，使得.【例9】设函数在上连续,在开区间内存在二阶导数，且.（）证明：存在，使得；（）证明：存在，使得.第六讲 常微分方程. 考试要求1. 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念2. 掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的解法3. 理解线性微分方程解的性质及解的结构4. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法5. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程6. 会用微分方程解决一些简单的应用问题注：（1）数一要求：会解伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程；会用降阶法解下列形式的微分方程：；会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程；会解欧拉方程（2）数二要求：会用降阶法解下列形式的微分方程：，；会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程（3）数三要求：了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，了解一阶常系数线性差分方程的求解方法，会用微分方程求解简单的经济应用问题. 考试内容一. 基本概念1. 表示未知函数, 未知函数的导数和自变量之间的关系的方程称为微分方程. 一般形如.2. 微分方程中导数的阶数的最大值称为微分方程的阶. 3. 如果使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.4. 如果解中有任意常数, 且任意常数的个数等于微分方程的阶数, 则称其为微分方程的通解.5. 对于一阶（或二阶）微分方程, 给定时的函数值（或再给出此时的导数值）, 则可将任意常数唯一确定. 这个唯一解称为特解. 确定特解的条件称为初值条件（定解条件）.二一阶微分方程形式：, , 1. 可分离变量方程：通解为 2. 齐次方程：令，有，得，通解为 ，在通解中代回3. 一阶线性方程：通解为 解的结构: 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解一阶线性方程的另一种形式为：，通解为 4. 伯努利方程（数一）：令 ，方程化为一阶线性方程，由一阶线性方程的通解公式求出通解，代入即可得到原方程的通解5. 全微分方程（数一）：，其中.其通解为，这里称为微分式的原函数（1）；或者，；（2）由，通过不定积分求得；（3）用凑微分法求出，使得，三. 可降阶微分方程（数一、二要求）1. ：方程两边对积分次，即可求得通解2. ，称为不显含的可降阶方程，令，原方程化为一阶方程 3. ，称为不显含的可降阶方程，令，原方程化为一阶方程三、二阶线性微分方程解的性质与解的结构二阶非齐次线性微分方程：二阶齐次线性微分方程：1. 若,是方程 的两个解，则是方程 的解；2. 若,是方程 的两个解，则是方程 的解；3. 若,分别是方程 ， 的解，则是方程 的解；4. 若,是方程 的两个线性无关解，则方程 的通解为；5. 若,是方程 的两个线性无关解，是方程 的一个特解，则方程 的通解为 ；6. （叠加原理）若,分别是方程与的解，则为方程 的解四、二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的标准形式为 1. 求齐次方程的通解对应的特征方程为 ，其两个特征根为,，按特征根,的不同情形得方程的通解如下表特征根的情况通 解为实根为重根为共轭复根2. 求非齐次方程的特解按下表确定特解的形式的形式与特征根的关系特解的形式不是特征根是一重特征根是二重特征根不是特征根是特征根五、欧拉方程（数一要求）二阶欧拉方程：，令：，得 ，代入原方程，将原方程化为二阶常系数线性微分方程：【例1】欧拉方程的通解为_六、一阶常系数线性差分方程（数三要求）一阶常系数线性差分方程的通解为对应的齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和，即1. 齐次方程的通解为（为任意常数）2. 非齐次方程的特解的形式按下表确定的形式与的关系特解的形式【例1】差分方程的通解为_【例2】差分方程的通解为_【例3】某公式每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加2百万元若以表示第 t 年的工资总额（单位：百万元），则满足的差分方程是_. 题型与例题一. 一阶方程【例1】微分方程的通解是_【例2】求初值问题的解【例3】（11109）微分方程满足条件的解为 .答案：.【例4】设是微分方程的一个解，求此微分方程满足条件的特解【例5】解微分方程.【例6】设，其中函数在内满足以下条件：，且，（1）求所满足的一阶微分方程；（2）求出的表达式【例7】设函数具有连续的一阶导数，且满足，求的表达式二可降解的方程【例8】求微分方程满足初始条件的特解. 【例9】微分方程满足初始条件,的特解是 .【例10】（11218）（本题满分10分）设函数具有二阶导数， 且曲线与直线相切于原点， 记为曲线在点处切线的倾角， 若， 求的表达式.三解的性质与结构【例11】设线性无关函数都是非齐次方程的解，为任意常数，则该非齐次方程的通解是 （A）（B）（C）（D）【例12】函数满足的一个微分方程是 （A）（B）（C）（D）【例13】（11204）微分方程的特解形式为（ ）. 答案：.【例14】求微分方程的通解.【例15】设方程有一个特解是，求常数的值及该方程的通解【例16】设，其中连续，求第七讲 多元函数微分学.考试要求1. 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义2. 了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，会求多元隐函数的偏导数4. 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题注：数一、二要求：了解隐函数存在定理数一要求：了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性；理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法；了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程；了解二元函数的二阶泰勒公式.考试内容一、多元函数微分学的基本概念与性质1.函数概念及几何意义: , 表示空间的曲面.2. 二元函数极限与连续的概念及性质（1）如果，则存在点的某去心邻域，使得 ； 若，与同号（2）如果，则称在点连续.（3）（有界性与最大值最小值定理）在有界闭区域上连续的二元函数必在上有界，且能取得它的最大值与最小值（4）（介值定理）在有界闭区域上连续的二元函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值2. 多元函数偏导数的概念，3. 多元函数全微分的概念如果函数在点处的全增量 可表示为 ，则称函数在点处可微分，而称为函数在点处的全微分，即 4. 多元函数微分的性质（1）可微的必要条件：如果函数在点处可微，则函数在点处偏导数存在，且有（2）可微的充分条件：如果函数的偏导数在点处连续，则函数在点处可微（3）如果函数在点处可微，则函数在点处连续5. 如果函数的两个二阶混合偏导数在区域内连续，则在该区域内 总结：设函数，点，有特别注意：在处偏导数存在不一定能得到在处可微，在处偏导数存在不一定能得到在处连续二、求多元函数的偏导数与全微分1.设，, 则全导数 .注：（1）对中间变量求偏导数, 将其它中间变量看作常数. 对自变量求偏导数, 将其它自变量看作常数. （2）对自变量的偏导数用函数变量名, 对中间变量的偏导数用函数关系名. （3）规则 偏导数个数 = 自变量个数公式中项数 = 与自变量有关的中间变量个数2.设, , 则3.设, , 则 , 4. 设, ,（自变量同时也是中间变量）则, 注：是对自变量的偏导数, 计算时变量是的函数; 是对中间变量的偏导数, 计算时将变量看作与无关. 5. 隐函数求导确定，则.确定，则,.会推导由确定的的导数.三、多元函数的极值与最值问题1. 无条件极值问题（1）取极值的必要条件：设函数在点处具有偏导数，且在点处有极值，则，（2）取极值的充分条件：设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令，则在点处是否取得极值的条件如下： 时取得极值，且当时取得极大值，当时取得极小值； 时没有极值； 时可能有极值，也可能没有极大值，需另作讨论2. 条件极值问题（1）求函数在约束条件下的最大值与最小值 作拉格朗日函数（2）求函数在约束条件和下的最大值与最小值 作拉格朗日函数利用拉格朗日函数取到极值的必要条件即可3. 闭区域上连续函数的最值设在闭区域上连续，（1）求在内部的可能极值点（驻点及偏导数不存在的点）；（2）求在的边界上的可能极值点；求出在上述可能极值点处的函数值，则在这些函数值中，最大者与最小者分别就是在闭区域上的最大值与最小值四、（数一要求）1. 方向导数与梯度（1）函数在点处沿方向的方向导数为，其中为的方向余弦（2）函数在点处的梯度为注：函数在某点处的梯度是这样一个向量，它的方向是函数在该点处使方向导数最大的方向，它的模是最大方向导数的导数值2. 设空间曲线 ，是曲线上的一点，则曲线在点处的（1）切向量为；（2）切线方程为；（3）法平面方程为3. 设曲面 ，是上的一点，则曲面在点处的（1）法向量为；（2）法线方程为；（3）切平面方程为. 题型与例题一. 偏导数与微分的概念【例1】已知，则 （A），都存在（B）不存在，存在（C）存在，不存在（D），都不存在【例2】考虑二元函数的以下四条性质：（1）在点处连续（2）在点处的两个偏导数连续（3）在点处可微（4）在点处的两个偏导数存在若用“”表示可由性质推出性质，则 （A）（2）（3）（1）（B）（3）（2）（1）（C）（3）（4）（1）（D）（3）（1）（4）【例3】二元函数在点处可微的一个充分条件是（A）（B）（C）（D）二. 求偏导数与微分1. 显函数【例4】（11111）设函数，则 .答案：.【例5】（11310）设函数，则 .答案：.2. 抽象函数【例6】设可微，且，则在点（1 , 2）处的全微分=_【例7】设，其中具有二阶连续偏导数，求与.【例8】（11116）设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得极值，则 .【例9】（11316）已知函数具有连续的二阶偏导数，是的极值， 求 .【例10】设具有二阶连续偏导数，且满足，又，求3. 隐函数求导【例11】设是由方程所确定的函数，其中具有二阶导数，且（1）求；（2）记，求【例13】设是由方程和所确定的函数, 其中和分别具有连续导数和偏导数, 求.【解】方程和两端对求导数, 得到整理得到由此解得三. 极值与最值【例14】求的极值【解】显函数的极值. 分别对和求导, 用极值必要条件, 有; 解方程组, 得唯一驻点. 求二阶偏导数, 有; ; 将驻点代入, 得. 因为, 根据极值充分条件, 是极小值点, 极小值等于.【例15】（11103）设函数具有连续二阶导数,且在,则函数在点处取得极小值的一个充分条件是（ ），. ，. ，. ，. 【解】.【例16】（11205）设函数,均有二阶连续导数, ,，且,则函数在点处取得极小值的一个充分条件是（）. . . . 【解】.【例17】设与均为可微函数，且已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是 （A）若，则（B）若，则（C）若，则（D）若，则【例18】已知函数的全微分，且求在椭圆域上的最大值与最小值 代入f（x,y）得 ，可见在区域内的最大值为，最小值为.【例19】函数在点处沿点指向点方向的方向导数为 _【例20】函数在点处的梯度为 _【例21】在曲线的所有切线中，与平面平行的切线 （A）只有一条（B）只有两条（C）至少有三条（D）不存在【解】在曲线的任意点处的切向量为，由已知它与平面的法向量垂直，所以，= 0，得或1，所以选（B）【例22】曲面与平面平行的切平面的方程是 _【解】令，则， 设切点坐标为，则切平面的法向量为 ，其与已知平面平行，因此有 ，可解得，相应地有 故所求的切平面方程为，即 【例23】设在点附近有定义，且，则 （A）（B）曲面在点处的法向量为（C）曲线在点处的切向量为（D）曲线在点处的切向量为【解】对于（A），偏导数存在只是可微的必要条件，所以（A）不一定成立对于（B），首先在点（0 , 0）处的偏导数存在，不能保证曲面在点处存在切平面即使切平面存在，曲面在任意点处的法向量为，代入验算知（B）也不成立对于（C），以x为参数，曲线可表示为，其在点处的切向量为，所以（C）为正确选项第八讲 二 重 积 分.考试要求1. 了解二重积分的概念与基本性质2. 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）注：（1）数一要求：了解三重积分的概念与基本性质，了解二重积分的中值定理；会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、质量、质心、形心、转动惯量、引力等）（2）数三要求：了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计