全国高考数学复习第八篇圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系习题理.docx

第7节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆锥曲线位置关系1,7,9,10,11,14,15弦长问题3,4,6,12,16中点弦问题2,5,8,13基础对点练(时间:30分钟)1.若直线ax+by-3=0与圆x2+y2=3没有公共点,设点P的坐标为(a,b),则过点P的一条直线与椭圆+=1的公共点的个数为(C)(A)0 (B)1 (C)2 (D)1或2解析:由题意得,圆心(0,0)到直线ax+by-3=0的距离为,所以a2+b23.又a,b不同时为零,所以0a2+b23.由0a2+b23,可知|a|,|b|0),B(x2,y2),C(-2,y3),则x1+2=6,解得x1=4,则y1=4,则直线AB的方程为y=2(x-2),则C(-2,-8),联立解得或则B(1,-2),所以|BF|=1+2=3,|BC|=9,所以=3,故选D.4.(2016丽水模拟)斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为(C)(A)2 (B) (C) (D)解析:设直线l的方程为y=x+t,代入+y2=1,消去y得x2+2tx+t2-1=0,由题意知=(2t)2-5(t2-1)0即t20,b且m3.答案:(,3)(3,+)8.(2014江西卷)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得+=0,根据题意有x1+x2=21=2,y1+y2=21=2,且=-,所以+(-)=0,得a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2得=,所以e=.答案:9.导学号 18702492过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为.解析:由题意知椭圆的右焦点为F(1,0),则直线AB的方程为x=y+1.代入椭圆方程消去x得3y2+2y-8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).则y1+y2=-,y1y2=-,则OAB的面积S=|OF|y1-y2|=.答案:10.导学号 18702493已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l经过点M(0,1),且与椭圆C交于A,B两点,若=2,求直线l的方程.解:(1)设椭圆C的方程为+=1(ab0),因为c=1,=,所以a=2,b=,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意得直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1,联立得(3+4k2)x2+8kx-8=0,且0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由=2,得x1=-2x2,又所以消去x2得()2=,解得k2=,k=,所以直线l的方程为y=x+1,即x-2y+2=0或x+2y-2=0.11.导学号 18702494设椭圆+=1(ab0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程;(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若+=8,求k的值.解:(1)设F(-c,0),由=,知a=c,过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有+=1,解得y=,于是=,解得b=,又a2-c2=b2,从而a=,c=1,所以椭圆的方程为+=1.(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1),由方程组消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.由根与系数的关系可得x1+x2=-,x1x2=.因为A(-,0),B(,0),所以+=(x1+,y1)(-x2,-y2)+(x2+,y2)(-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+.由已知得6+=8,解得k=.能力提升练(时间:15分钟)12.导学号 18702495(2016河南新乡二模)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点F与双曲线-=1的一个焦点重合,直线y=x-4与抛物线交于A,B两点,则|AB|等于(B)(A)28 (B)32 (C)20 (D)40解析:由题意得,双曲线的右焦点为(4,0),所以抛物线方程为y2=16x,将直线方程y=x-4与抛物线方程联立,可得x2-24x+16=0,设A,B的坐标为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=24,易知直线过焦点F,所以|AB|=x1+x2+p=24+8=32,故选B.13.已知直线l的斜率为2,M,N是直线l与双曲线C:-=1(a0,b0)的两个交点,设MN的中点为P(2,1),则C的离心率为(A)(A) (B) (C)2 (D)2解析:设M(x1,y1),N(x2,y2),则-=1,-=1, 因为点P(2,1)是MN的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=2,因为直线l的斜率为2,所以=2,由-可得,=,结合上述可得a2=b2,所以c2=2a2,所以e=,故选A.14.在抛物线y=x2上关于直线y=x+3对称的两点M,N的坐标分别为.解析:设直线MN的方程为y=-x+b,代入y=x2中,整理得x2+x-b=0,令=1+4b0,所以b-.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-1,=-+b=+b,由(-,+b)在直线y=x+3上,得+b=-+3,解得b=2,联立解得答案:(-2,4),(1,1)15.导学号 18702496已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)的焦点在x轴上,右顶点与上顶点分别为A,B.顶点在原点,分别以A,B为焦点的抛物线C1,C2交于点P(不同于O点),且以BP为直径的圆经过点A.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若与OP垂直的动直线l交椭圆C于M,N两点,求OMN面积的最大值和此时直线l的方程.解:(1)由已知得A(a,0),B(0,1),所以以A为焦点的抛物线C1的方程为y2=4ax,以B为焦点的抛物线C2的方程为x2=4y.由得P(4,4),又以BP为直径的圆经过点A,所以,=0,(4-a,4)(-a,1)=0,即-4+4=0,得=2,a2=8,故椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)由(1)知P(4,8),kOP=,所以直线l的斜率kl=-.设直线l的方程为y=-x+t,由得5y2-2ty+t2-4=0,则=4t2-45(t2-4)0,解得t25,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,由弦长公式得|MN|=1+2|y2-y1|=.又点O到直线l的距离为d=|t|,所以SOMN=|MN|d=|t|=2(t2+5-t2)=,当且仅当t2=5-t2时等号成立,又t20,b0),F1,F2分别是它的左、右焦点,A是它的右顶点,过点F1作一条斜率为k的直线交双曲线于异于顶点的两点M,N,若MAN=90,则该双曲线的离心率为(B)(A) (B)2 (C) (D)解题关键:把MAN=90转化为=0.解析:由题意可得过点F1的直线方程为y=k(x+c)(k0),联立消去y得(b2-a2k2)x2-2a2k2cx-a2c2k2-a2b2=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-.因为MAN=90,所以=(x1-a)(x2-a)+y1y2=x1x2-a(x1+x2)+a2+k2(x1+c)(x2+c)=0,所以(1+k2)x1x2+(ck2-a)(x1+x2)+a2+k2c2=0,即-(1+k2)+(ck2-a)+a2+k2c2=0,所以-2a3c-3a2c2+c4=0,即-3+e2=0,即=0,又e1,解得e=2.2.导学号 18702499已知抛物线C:y2=2px(p0),A(异于原点O)为抛物线上一点,过焦点F作平行于直线OA的直线,交抛物线C于P,Q两点.若过焦点F且垂直于x轴的直线交直线OA于点B,则|FP|FQ|-|OA|OB|等于(A)(A)0 (B)1 (C)-1 (D)2解题关键:联立方程组,利用根与系数的关系及弦长公式求解.解析