2019届高考数学立体几何考查角度1空间几何体的三视图、表面积与体积突破训练文.docx

考查角度1空间几何体的三视图、表面积与体积分类透析一三视图与直观图的识别与还原例1 (1)图是一个正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图,其中DD1=1,AB=BC=AA1=2.若此几何体的俯视图如图所示,则可以作为其正视图的是(). (2)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为().A.1B.2C.3D.2解析 (1)由题意,结合该几何体的直观图和俯视图知,其正视图的长应为底面正方形的对角线长,高应为正方体的棱长,故排除B,D,在三视图中看不见的棱用虚线表示,故排除A,选C.(2)由题中三视图知,此四棱锥的直观图如图所示,其中侧棱SA底面ABCD,且底面是边长为1的正方形,SA=1,所以四棱锥最长棱的棱长为SC=3,故选C.答案 (1)C(2)C方法技巧 (1)解决空间几何体的三视图问题,能否回归到正方体(或长方体),是求解问题的关键,要在正方体(或长方体)中寻找已知三视图所对应的空间几何体;(2)对于简单几何体的组合体的三视图,首先要确定正视、侧视、俯视的方向,其次要注意组合体由哪些几何体组成,弄清它们的组成方式,特别应注意它们的交线的位置.分类透析二根据三视图求解几何体的表面积与体积例2 (1)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是().A.90 cm2B.129 cm2C.132 cm2D.138 cm2(2)已知某几何体的三视图如下图所示,其中正(主)视图中半圆的半径为1,则该几何体的体积为( ).A.24-32B.24-3C.24-D.24-2解析 (1)由三视图画出几何体的直观图,如图所示,则此几何体的表面积S=S1-S正方形+S2+2S3+S斜面,其中S1是长方体的表面积,S2是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积,S3是三棱柱的一个底面的面积,则S=(46+36+34)2-33+34+21243+53=138(cm2).故选D.(2)由三视图可知该几何体是一个长方体去掉一个半圆柱.长方体的长,宽,高分别为3,2,4.则长方体的体积为324=24.半圆柱的高为3,半圆柱的体积为123=32,所以几何体的体积为24-32.答案 (1)D(2)A方法技巧 由几何体的三视图求几何体的表面积和体积,通常情况下先将三视图转化为其几何体的直观图,然后将三视图中的数据代入公式进行计算.分类透析三柱体、锥体、台体的表面积与体积例3 (1)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为3,D为BC中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为().A.3B.32 C.1D.32(2)九章算术商功章有题:一圆台形谷仓,谷仓口直径为六尺,谷仓底直径为一丈八尺,谷仓高一丈八尺,若谷仓屯米高九尺,则谷仓屯米约为().(斛为容积单位,1斛1.62立方尺,1丈=10尺,3)A.650斛B.950斛C.1950斛D.2850斛解析 (1)由题意可知ADBC,由面面垂直的性质定理可得AD平面DB1C1,又AD=2sin 60=3,所以VA-B1DC1=13ADSB1DC1=1331223=1.故选C.(2)圆台的轴截面如图所示,G,H,F分别为CB,DA,BA的中点,E为GH的中点,由题意得,GB=3尺,HA=9尺,GH=18尺,EH=9尺,所以 EF=12(HA+GB)=6尺,所以谷仓屯米的体积为V=139(36+69+81)=5135133=1539(立方尺).因为15391.62=950,所以谷仓屯米约为950斛.故选B.答案 (1)C(2)B方法技巧 (1)求解空间几何体的体积的关键是确定几何体的形状以及线面的位置关系和尺寸,利用相应体积公式求解;(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.分类透析四球的接切问题例4 已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为().A.26B.36C.23D.22解析 如图所示,根据球的性质,知OO1平面ABC,则OO1O1C.在直角OO1C中,OC=1,O1C=33,所以OO1=OC2-O1C2=1-332=63.因此三棱锥S-ABC的体积V=2VO-ABC=2133463=26,故选A.答案 A方法技巧 求解球的表面积和体积关键需要求出半径;与组合体有关的解答关键是要明确组合体是“切”还是“接”,然后明确多面体的某一几何量与球的半径之间的关系,再运用相关的知识求解,特别要注意利用球的截面性质.1.(2018年全国卷,文9改编)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,俯视图是半圆.现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点,则蚂蚁所经过路程的最小值为. 解析 如图所示,侧面展开图为一个扇形与一个三角形,从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点,蚂蚁所经过路程的最小值为|AA1|=22+22-222cos150=8+43=2+6.答案2+62.(2018年全国卷,文3改编)榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式,凸出部分叫榫,凹进部分叫卯,榫和卯咬合,起到连接作用,代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等,如图所示是一种榫卯构件中榫的三视图,其表面积为().A.8+12B.8+16C.9+12D.9+16解析 由三视图知该榫是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体,其表面积S=222+222+124=8+16,故选B.答案 B3.(2017年全国卷,理7改编)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中,面积最大的面的面积为().A.23B.6 C.62D.12解析 由三视图可知几何体为三棱锥与三棱柱的组合体.作出直观图如图所示:由俯视图可知DEDF,S梯形ACFD=S梯形ABED=12(2+4)2=6,S矩形BCFE=222=42,SABC=34(22)2=23,SDEF=1222=2,故选B.答案 B4.(2017年全国卷,文6改编)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为().A.90B.6+C.42D.4+解析 由三视图知几何体是三棱柱与半圆柱的组合体,且三棱柱与半圆柱的高都是2,三棱柱的一侧面为圆柱的轴截面,三棱柱的底面为等腰直角三角形,且腰长为2,半圆柱的底面半径为1,几何体的体积V=12222+12122=4+.答案 D1.(2018佛山二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为().A.8-43B.8-23C.24-D.24+解析 由已知三视图,得该几何体是一个正方体切去半径为2的18个球,所以表面积为226-3422+18422=24-.故选C.答案 C2.(2018届陕西省渭南市模拟)如图,一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的体积是().A.12B.13 C.23D.1 解析 根据题意得到原图是三棱锥,底面为等腰直角三角形,高为1,故得到体积为1312211=13,故选B.答案 B3.(2018黄山一模)九章算术卷5商功记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一”.就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为V=112(底面圆的周长的平方高),则由此可推得圆周率的取值为().A.3B.3.1C.3.14D.3.2解析 设圆柱体的底面半径为r,高为h,由圆柱的体积公式得体积为V=r2h.由题意知V=112(2r)2h.所以r2h=112(2r)2h,解得=3.故选A.答案 A4.(2018重庆模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为().A.54B.60C.66D.72解析 由三视图知,该几何体是由直三棱柱削去一个同底的三棱锥所得(如图).三棱柱的高为5,削去的三棱锥的高为3,三棱锥与三棱柱的底面都是边长为3和4的直角三角形.AB平面BEFC,ABBC,BC=5,FC=2,AD=BE=5,DF=5,该几何体的表面积S=1234+35+(5+2)52+(2+5)42+1235=60.故选B.答案 B5.(2018届齐齐哈尔市第八中学二模)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为().A.83(1+2)B.83(1+)C.43(2+3)D.43(2+)解析 该几何体是由两个小三棱锥和一个圆锥组成,所以体积为21312222+1344=83(1+2),故选A.答案 A6.(2018届甘肃省兰炼一中第二次模拟)在四面体ABCD中,若AB=CD=3,AC=BD=2,AD=BC=5,则四面体ABCD的外接球的表面积为().A.2B.4 C.6 D.8 解析 如图所示,该四面体为长方体的四个顶点,设长、宽、高分别为a,b,c,则a2+b2=5,a2+c2=4,b2+c2=3,三式相加得a2+b2+c2=6,因为易知该四面体的外接球直径为长方体的体对角线长,所以(2R)2=6.故外接球的表面积为4R2=6.答案 C7.(2018届河南省安阳市模拟考试)如图所示的是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是().A.4+2 B.4+32C.4+D.4+2解析 由三视图知该组合体是由长方体与半个圆柱组合而成,体积为V=114+12121=4+2,故选D.答案 D8.(2018南平一模)已知某简单几何体的三视图如图所示,若正(主)视图的面积为1,则该几何体最长的棱的长度为().A.5B.3C.22D.6解析 如图,该几何体为三棱锥A-BCD,BC=2,CD=2,因为正(主)视图的面积为1,故正(主)视图的高为1,由此可计算AB=AC=6,BD=22为最长棱长,故选C.答案 C9.(2018陕西一模)九章算术中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中间的实线平分矩形的面积,则该“堑堵”的侧面积为().A.2B.4+22C.4+42D.4+62解析 根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱,底面是一个直角三角形,两条直角边是2,斜边是2,且侧棱与底面垂直,侧棱长是2,几何体的侧面积S=22+222=4+42,故选C.答案 C10.(2018合肥模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为().A.13B.16C.25D.27解析 该几何体是底面为正方形的长方体,底面对角线长为4,高为3,长方体底面边长为22.设长方体外接球的半径为r,则2r=(22)2+(22)2+32=5,r=52,长方体外接球的表面积S=4r2=25.故选C.答案 C11.(2018届镇江市第一次模拟)已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为6,则正四棱锥的体积为.解析 正四棱锥的底面边长为2,底面面对角线的一半为2,所以棱锥的高为h=6-2=2,V=13Sh=13222=83.答案8312.(2018届江苏省常州市第一次模拟)已知圆锥的高为6,体积为8,用平行于圆锥底面的平面截圆锥,得到的圆台体积是7,则该圆台的高为.解析 设该圆台的高为h,由题意,得用平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的小圆锥体积是1,则6-h6=318=12,解得h=3,即该圆台的高为3.答案 313.(2018届四川省成都市龙泉中学高三12月月考)一个棱锥的三视图如图所示,其中侧视图为边长为1的正三角形,则四棱锥侧面中最大侧面的面积是. 解析 由四棱锥的三视图可知,该四棱锥底面ABCD为边长为1的正方形,PAD 是边长为1的等边三角形,PO垂直于AD于点O,其中O为AD的中点,所以四棱锥侧面中最大侧面是PBC,PB=PC=2,BC=1,面积是1212-14=74.答案7414.(2018届合肥市第一次教学质量检测)如图,已知平面四边形ABCD满足AB=AD=2,A=60,C=90,将ABD沿对角线BD翻折,使平面ABD平面CBD,则四面体ABCD外接球的体积为.解析 由题意可知ABD是等边三角形,作AEBD,垂足为E,利用面面垂直的性质可知 AE平面BCD,则外接球的球心在直线AE上,故ABD的重心F为外接球球心,设外接球半径为R,则2sin60=2R,R=23,外接球的体积V=43R3=432