2019届高考数学专题8函数与导数真题引领洞悉考情.docx

专题8 函数与导数真题引领洞悉考情1.(2018全国卷)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50【解析】选C.f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,图象关于原点对称,满足f(1-x)=f(1+x),则f(x+4)=f(1-(x+3)=f(-x-2)=-f(x+2)=-f(1-(x+1) =-f(-x)=f(x),所以f(x)是周期为4的函数.又f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=120+f(1)+f(2)=2.2.(2018全国卷)函数fx=ex-e-xx2的图象大致为()【解析】选B.因为x0,f(-x)=e-x-exx2=-f(x),所以f(x)为奇函数,舍去A,因为f(1)=e-e-10,所以舍去D;因为f(x)=(ex+e-x)x2-(ex-e-x)2xx4=(x-2)ex+(x+2)e-xx3,所以当x2时,f(x)0,所以舍去C;因此选B.3.(2017全国卷)函数f(x)在(-,+)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1f(x-2)1的x的取值范围是()A.-2,2B.-1,1C.0,4D.1,3【解析】选D.由已知,得f(-1)=1,使-1f(x)1成立的x满足-1x1,所以由-1x-21得1x3,即使-1f(x-2)1成立的x满足1x3,4.(2017全国卷)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为()A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1【解析】选A.由题可得f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1,因为f(-2)=0,所以a=-1,f(x)=(x2-x-1)ex-1,故f(x)=(x2+x-2)ex-1,令f(x)0,解得x1,所以f(x)在(-,-2)和(1,+)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,所以f(x)极小值=f(1)=(1-1-1)e1-1=-1.5.(2016全国卷)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=_.【解析】y=ln x+2的切线为:y=1x1x+ln x1+1(设切点横坐标为x1),y=ln(x+1)的切线为:y=1x2+1x+ln(x2+1)-(设切点横坐标为x2),所以解得x1=12,x2=-12,所以b=ln x1+1=1-ln 2.答案:1-ln 26.(2018全国卷)曲线y=ax+1ex在点0,1处的切线的斜率为-2,则a=_.【解析】由y=(ax+1)ex,所以y=aex+(ax+1)ex=(ax+1+a)ex,故曲线y=(ax+1)ex在(0,1)处的切线的斜率为k=a+1=-2,解得a=-3.答案:-37.(2017全国卷)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC, CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为_.【解析】连接OB,连接OD,交BC于点G,由题意得,ODBC,OG=BC,设OG=x,则BC=2x,DG=5-x,三棱锥的高h=DG2-OG2=25-10x+x2-x2=,SABC=2x3x12=3x2,则V=13SABCh=x2=25x4-10x5,令f(x)=25x4-10x5,x0,52,f(x)=100x3-50x4,令f(x)0,即x4-2x30,x2,则f(x)f=80,则V80=4,所以体积最大值为415 cm 3.答案:4 cm 38.(2018全国卷)已知函数fx=-x+aln x.(1)讨论fx的单调性.(2)若fx存在两个极值点x1,x2,证明:fx1-fx2x1-x22,令f(x)=0得,x=或x=a+a2-42.当x时,f(x)0.所以f(x)在,上单调递减,在上单调递增.(2)由(1)知,f(x)存在两个极值点,当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x11.由于f(x1)-f(x2)x1-x2=-1x1x2-1+aln x1-ln x2x1-x2=-2+aln x1-ln x2x1-x2=-2+a-2ln x21x2-x2,所以f(x1)-f(x2)x1-x2a-2等价于1x2-x2+2ln x20.设函数g(x)=-x+2ln x,由(1)知,g(x)在(0,+)上单调递减,又g(1)=0,从而当x(1,+)时,g(x)0.所以1x2-x2+2ln x20,即f(x1)-f(x2)x1-x2a-2.9.(2017全国卷)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性.(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.【解析】(1)由于f(x)=ae2x+ex-x,故fx=2ae2x+ex-1=,当a0时,aex-10.从而fx0时,令fx=0,从而aex-1=0,得x=-ln a.x-ln afx-0+fx单调减极小值单调增综上,当a0时,f(x)在R上单调递减;当a0时,f(x)在(-,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+)上单调递增.(2)由(1)知,当a0时,fx在R上单调递减,故f在R上至多一个零点,不满足条件.当a0时,f(x)min=f=1-+ln a.令ga=1-+ln aa0,则ga=1a2+0.从而ga在上单调增,而g=0.故当0a1时,g1时ga0.若a1,则f(x)min=1-+ln a=ga0,故fx0恒成立,从而fx无零点,不满足条件.若a=1,则f(x)min=1-+ln a=0,故fx=0仅有一个实根x=-ln a=0,不满足条件.若0a1,则f(x)min=1-+ln a0.f-1=ae2+ae+1-0.故f