2019版高考数学不等式选讲1第1讲绝对值不等式教案理.docx

第1讲绝对值不等式知识点考纲下载绝对值不等式理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|ab|a|b|.(2)|ab|ac|cb|.(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.不等式的证明 了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题 会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1x)n1nx(x1，x0，n为大于1的正整数)了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立 会用上述不等式证明一些简单问题能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值 了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法柯西不等式与排序不等式 了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明(1)柯西不等式的向量形式：|.(2)(a2b2)(c2d2)(acbd)2.(3).(此不等式通常称为平面三角不等式) 会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形： 会用向量递归方法讨论排序不等式.1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|ax|axax|xa或x0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc3|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想法二：利用“零点分区法”求解，体现了分类讨论的思想法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想 解不等式：|x2|x3|7.解：因为|x2|x3|所以原不等式可化为或或解上述不等式组得所求不等式的解集为x|x3 不等式|x3|x1|a23a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围解：由不等式的性质得|x3|x1|x3|1x|(x3)(1x)|4所以a23a4，解得a4或a1. 对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值解：由|x1|1与|y2|1，可知不等式构成的区域为四条直线x0，x2，y1，y3围成的一个矩形区域，而|x2y1|的最大值即为x2y1的最大值或最小值对应的绝对值，为此可转化为求x2y1的最值记ux2y1，即yx(1u)，由数形结合易知，当直线经过不等式值域的区域内的点(2，1)与(0，3)时，y对应有最小值与最大值，此时对应的u值为1与5，故|x2y1|的最大值为5. (2018长沙市统一模拟考试)已知f(x)|xa|x3|.(1)当a1时，求f(x)的最小值；(2)若不等式f(x)3的解集非空，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)|x1|x3|(x1)(x3)|2，故f(x)的最小值为2，当且仅当1x3时取得最小值(2)f(x)|xa|x3|(xa)(x3)|3a|，若不等式f(x)3的解集非空，则|3a|3，即33a3，因此0a6，所以a的取值范围是0，6含绝对值不等式的解法 典例引领 设函数f(x)|xa|.(1)当a2时，解不等式f(x)7|x1|；(2)若f(x)1的解集为0，2，求a的值【解】(1)当a2时，不等式为|x2|x1|7，所以或或，所以不等式的解集为(，25，)(2)f(x)1即|xa|1，解得a1xa1，而f(x)1的解集是0，2，所以，解得a1. 通关练习1解不等式|x3|2x1|1.解：(1)当x3时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x10，所以x3.(2)当3x时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x，所以3x.(3)当x时，原不等式化为(x3)(2x1)2，所以x2.综上可知，原不等式的解集为.2(2016高考全国卷)已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)画出yf(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1的解集解：(1)f(x)yf(x)的图象如图所示(2)由f(x)的表达式及图象知，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5，故f(x)1的解集为x|1x3；f(x)1的解集为.所以|f(x)|1的解集为x|x或1x3或x5绝对值不等式性质的应用 典例引领 设不等式|x2|a(aN*)的解集为A，且A，A.(1)求a的值；(2)求函数f(x)|xa|x2|的最小值【解】(1)因为A，且A，所以a，且a，解得a，又因为aN*，所以a1.(2)因为f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|3.当且仅当(x1)(x2)0即1x2时取到等号，所以f(x)的最小值为3.两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时(2)该定理可强化为|a|b|ab|a|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式 已知x，yR，且|xy|，|xy|，求证：|x5y|1.证明：因为|x5y|3(xy)2(xy)|.所以由绝对值不等式的性质，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|321.即|x5y|1.绝对值不等式的综合应用 典例引领 (2017高考全国卷)已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围【解】(1)f(x)当x1时，f(x)1无解；当1x2时，由f(x)1得，2x11，解得1x2；当x2时，由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1(2)由f(x)x2xm得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|，且当x时，|x1|x2|x2x.故m的取值范围为.(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法(2)对于求y|xa|xb|或y|xa|xb|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便形如y|xa|xb|的函数只有最小值，形如y|xa|xb|的函数既有最大值又有最小值 (2018河南郑州模拟)已知函数f(x)|2x1|，g(x)|x|a.(1)当a0时，解不等式f(x)g(x)；(2)若存在xR，使得f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围解：(1)当a0时，由f(x)g(x)得|2x1|x|，两边平方整理得3x24x10，解得x1或x，所以原不等式的解集为(，1.(2)由f(x)g(x)得a|2x1|x|，令h(x)|2x1|x|，则h(x)故h(x)minh，所以实数a的取值范围为a. 绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法 不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决 可以利用绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件 1已知|2x3|1的解集为m，n(1)求mn的值；(2)若|xa|m，求证：|x|a|1.解：(1)不等式|2x3|1可化为12x31，解得1x2，所以m1，n2，mn3.(2)证明：若|xa|1，则|x|xaa|xa|a|a|1.即|x|a|1.2已知函数f(x)|x1|x|a.(1)若a0，求不等式f(x)0的解集；(2)若方程f(x)x有三个不同的解，求实数a的取值范围解：(1)当a0时，f(x)|x1|x|所以当x1时，f(x)10，不合题意；当1x0时，f(x)2x10，解得x0，符合题意综上可得f(x)0的解集为.(2)设u(x)|x1|x|，yu(x)的图象和yx的图象如图所示易知yu(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)，与yx的图象始终有3个交点，从而1a0.所以实数a的取值范围为(1，0)3(2018兰州市诊断考试)已知函数f(x)的定义域为R.(1)求m的取值范围；(2)若m的最大值为n，解关于x的不等式：|x3|2x2n4.解：(1)因为函数f(x)的定义域为R，所以|x1|x3|m0恒成立设函数g(x)|x1|x3|，则m不大于函数g(x)的最小值，又|x1|x3|(x1)(x3)|4，即g(x)的最小值为4.所以m4.(2)当m取最大值4时，原不等式等价于|x3|2x4，所以或，解得x3或x9；(2)设关于x的不等式f(x)|x4|的解集为A，BxR|2x1|3，如果ABA，求实数a的取值范围解：(1)当a5时，f(x)|x5|x2|.当x2时，由f(x)9，得2x39，解得x3；当5x9，得79，此时不等式无解；当x9，得2x39，解得x9的解集为xR|x3(2)因为ABA，所以BA.又BxR|2x1|3xR|1x2，关于x的不等式f(x)|x4|的解集为A，所以当1x2时，f(x)|x4|恒成立由f(x)|x4|得|xa|2.所以当1x2时，|xa|2恒成立，即2xa2x恒成立所以实数a的取值范围为1，05(2018湖北省七市(州)联考)已知函数f(x)|x2|2，g(x)m|x|(mR)(1)解关于x的不等式f(x)5；(2)若不等式f(x)g(x)对任意xR恒成立，求m的取值范围解：(1)由f(x)5，得|x2|3，所以x23，解得x5.故原不等式的解集为x|x5(2)由f(x)g(x)，得|x2|2m|x|对任意xR恒成立，当x0时，不等式40恒成立，当x0时，问题等价于m对任意非零实数恒成立，因为1，所以m1，即m的取值范围是(，11(2018湖北黄冈三月调研)已知函数f(x)|2xa|2x1|(aR)(1)当a1时，求f(x)2的解集；(2)若f(x)|2x1|的解集包含集合，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)|2x1|2x1|，f(x)21，上述不等式的几何意义为数轴上点x到两点，距离之和小于或等于1，则x，即原不等式的解集为.(2)因为f(x)|2x1|的解集包含.所以当x时，不等式f(x)|2x1|恒成立，所以当x时，|2xa|2x12x1上恒成立所以2x2a2x2在x上恒成立，所以(2x2)maxa(2x2)min，所以0a3.2(2018山西太原模拟)已知函数f(x)|xa|(a0)(1)若不等式f(x)f(xm)1恒成立，求实数m的最大值；(2)当a时，函数g(x)f(x)|2x1|有零点，求实数a的取值范围解：(1)因为f(x)|xa|，所以f(xm)|xma|，所以f(x)f(xm)|xa|xma|m|，所以|m|1，即1m1，所以实数m的最大值为1.(2)当a时，g(x)f(x)|2x1|xa|2x1|所以g(x)minga0，所以或所以a0，所以实数a的取值范围是.3