2019届高考数学复习解析几何专题能力提升练十九2.7.3与椭圆、抛物线相关的轨迹方程、最值范围问题.docx

专题能力提升练 十九 与椭圆、抛物线相关的轨迹方程、最值范围问题(45分钟80分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.在同一平面内,下列说法:若动点P到两个定点A,B的距离之和是定值,则点P的轨迹是椭圆;若动点P到两个定点A,B的距离之差的绝对值是定值,则点P的轨迹是双曲线;若动点P到定点A的距离等于P到定直线的距离,则点P的轨迹是抛物线;若动点P到两个定点A,B的距离之比是定值,则点P的轨迹是圆.其中错误的说法个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.平面内与两定点距离之和为常数的点的轨迹不一定是椭圆,如果距离之和等于两点间的距离,轨迹表示的是线段,不表示椭圆,所以不正确;平面内与两定点距离之差的绝对值为常数的点的轨迹当这个常数小于两定点的距离时是双曲线,否则不是,所以不正确;当定点位于定直线时,此时的点的轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线,只有当定点不在直线上时,轨迹才是抛物线,所以错误;若动点P到两个定点A,B的距离之比是定值,则点P的轨迹可以是圆,也可以是直线,故不正确.2.设抛物线y2=2x的焦点为F,过点(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于C,|BF|=2,则BCF与ACF的面积之比=()A.B.C.56D.67【解析】选B.所求面积比等于|BC|AC|=|BE|AD|=2xA+12,由|BF|=|BE|=xB+12=2,xB=,B,A(2,2),于是代入得.3.(2018成都一模)已知F是双曲线C:x2a2-=1(a0,b0)的右焦点,P是y轴正半轴上一点,以OP为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点M.若点P,M,F三点共线,且MFO的面积是PMO的面积的3倍,则双曲线C的离心率为 ()A.B.C.D.2【解析】选D.以OP为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线y=bax交于点M,由MFO的面积是PMO面积的3倍,可得|MF|=3|MP|,由OMPF,设F(c,0),由结论知道,焦点到相应渐近线的距离为b,可得|MF|=b,则|PM|=,在直角三角形POF中,由射影定理可得,|OF|2=|MF|FP|,即为c2=b43b=43(c2-a2),则c2=4a2,即有e=2.4.(2018兰州二模)已知点A(-1,0),B(1,0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左右顶点,点M在双曲线上,ABM为等腰三角形,且顶角为120 ,则该双曲线的方程为()A.x2-y24=1B.x2-y2=1C.x2-y23=1D.x2-y22=1【解析】选B.由点M在双曲线上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,得|AB|=|BM|,ABM=120,过点M作MNx轴,垂足为N,则NBM=60,如图所示:在RtBNM中,|BM|=|AB|=2a,NBM=60,则|BN|=2acos 60=a,|MN|=2asin 60=a,即M(2a,a),代入双曲线方程得4-3a2b2=1,即b2=a2.因为点A(-1,0),B(1,0)为双曲线的左右顶点,所以a=b=1,所以双曲线的方程为x2-y2=1.5.抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,准线为L,A,B是抛物线上的两个动点,且满足AFB=.设线段AB的中点M在L上的投影为N,则|MN|AB|的最大值是()A.23B.1C.32D.16【解析】选B.过A,B作准线L的垂线,垂足分为为Q,P,设|AF|=a,|BF|=b,连接AF,BF,由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得,|AB|2=a2+b2-2abcos 60=a2+b2-ab,配方得,|AB|2=(a+b)2-3ab,又因为ab,所以(a+b)2-3ab(a+b)2-34(a+b)2=14(a+b)2,得到|AB|12(a+b).所以|MN|AB|1,即|MN|AB|的最大值为1.6.设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,且与双曲线在第一象限的交点为P,设O为坐标原点,若=+(,R),=,则该双曲线的离心率为()A.B.C.3D.2【解析】选D.双曲线的渐近线为y=bax,设焦点F(c,0),则Ac,bca,B,P,因为=+,所以=,所以+=1,-=bc,解得:=,=c-b2c,又由=,得:c2-b24c2=,解得a2c2=14,所以e=2.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知椭圆x2m+y2n=1(m,n为常数,mn0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点,则=_.【解析】如图,F1(-c,0),F2(c,0),设P(x0,y0),则x02+y02=b2,所以=(-c-x0,-y0)(c-x0,-y0)=x02+y02-c2=b2-c2=2n-m.答案:2n-m8.圆x2+y2=1的切线与椭圆x24+y23=1交于两点A,B,分别以A,B为切点的x24+y23=1的切线交于点P,则点P的轨迹方程为_.【解析】设圆的切线方程为y=kx+b,A(x1,x2),B(x2,y2),则1+k2=b2,椭圆的切线PA,PB的方程分别为3x1x+4y1y=12,3x2x+4y2y=12,则PA,PB的交点的纵坐标yP=,代入3x1x+4y1y=12得PA,PB的交点的横坐标xP=-4kb;即点P的参数方程为x=-4kb,y=3b,利用1+k2=b2消去k,b得x216+y29=1.答案:x216+y29=1三、解答题(每小题10分,共40分)9.(2018遂宁一模)已知点M(x,y)与定点F2(1,0)的距离和它到直线x=4的距离的比是常数12.(1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.(2)若点F1的坐标为(-1,0),过F2的直线l与点M的轨迹交于不同的两点A,B,求F1AB面积的最大值.【解析】(1)由题意可有=12,化简可得点M的轨迹方程为x24+y23=1. 其轨迹是焦点在x轴上,长轴长为4,短轴长为2的椭圆.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),=12|F1F2|y1-y2|=|y1-y2|,由题意知,直线l的方程为x=my+1,由x=my+1,x24+y23=1得(3m2+4)y2+6my-9=0,则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=, 又因为直线l与椭圆C交于不同的两点,故0,即(6m)2+36(3m2+4)0,mR,则=|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=12m2+13m2+4,令t=(t1),则=12t3t2+1=4t+13t,令f(t)=t+,由函数的性质可知,函数f(t)在上是单调递增函数,即当t1时,f(t)在1,+)上单调递增,因此有f(t)f(1)=43,所以3,故当t=1,即m=0时,最大,最大值为3.10.(2018茂名一模)已知椭圆C1:y2a2+x2b2=1(ab0)的一个焦点为F1(0,),且经过点P.(1)求椭圆C1的标准方程.(2)已知椭圆C2的中心在原点,焦点在y轴上,且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的倍(1) ,过点C(-1,0)的直线l与椭圆C2交于A,B两个不同的点,若=2,求OAB面积取得最大值时直线l的方程.【解析】(1)方法一:由题意知,椭圆C1的另一个焦点为F2(0,-),且PF1F2为直角三角形,|PF1|=43,|F1F2|=2,所以|PF2|=.由椭圆的定义得2a=|PF1|+|PF2|=6,即a=3,又由b2+c2=a2得,b=2,所以椭圆C1的标准方程为y29+x24=1.方法二:由题意知,椭圆C1的另一个焦点为F2(0,-),由椭圆的定义得2a=|PF1|+|PF2|=43+=6,即a=3,又由b2+c2=a2得,b=2.所以椭圆C1的标准方程为y29+x24=1.方法三:把点P代入方程y2a2+x2b2=1得,5a2+169b2=1, 又因为b2+5=a2, 由得a=3,b=2,所以椭圆C1的标准方程为y29+x24=1.(2)设椭圆C2的方程为+=1,A(x1,y1),B(x2,y2).因为1,所以点C(-1,0)在椭圆内部,直线l与椭圆必有两个不同的交点.当直线l垂直于x轴时,=(不是零向量),不符合条件.故设直线l方程为y=k(x+1)(A,B,O三点不共线,故k0),由得y2-18ky+9-362=0,所以y1+y2=,因为=2,而点C(-1,0), 所以(-1-x1,-y1)=2(x2+1,y2),所以y1=-2y2,即y1+y2=- y2,所以y2=-18k9+4k2,OAB的面积为SOAB=SAOC+SBOC=121|y1|+121|y2|=12|y1-y2|=32|y2|=32=279|k|+4|k|=94,上式取等号的条件是|k|2=94,即k=32时,OAB的面积取得最大值.所以直线l的方程为y=32(x+1)或y=-32(x+1).11.已知F(2,0)是抛物线y2=2px(p0)的焦点,F关于y轴的对称点为F,曲线W上任意一点Q满足:直线FQ和直线FQ的斜率之积为-34.(1)求曲线W的方程.(2)过F(2,0)且斜率为正数的直线l与抛物线交于A,B两点,其中点A在x轴上方,与曲线W交于点C,若FBF的面积为S1,FCF的面积为S2,当S1S2=79时,求直线l的方程.【解析】(1)由题意可知:F(-2,0),设曲线W上任意一点坐标Q(x,y),则:kFQ=,kFQ=(x2),又kFQkFQ=-34,所以=-34,整理得:x24+y23=1,所以曲线W的方程为x24+y23=1(x2).(2)F(2,0)是抛物线y2=2px的焦点,所以=2,p=4,则抛物线的方程为y2=8x,设直线l的方程为y=k(x-2),(k0),B(xB,yB),C(xC,yC),将直线l的方程代入曲线W方程,整理得:(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0,所以2+xC=16k24k2+3,所以xC=8k2-64k2+3,所以yC=k(xC-2)=-12k4k2+3,又因为S1S2=79,可得:=79,所以B,又因为B在抛物线y2=8x上,=8,整理得:(9k2+5)(16k2-9)=0,又k0,所以k=34,所以直线l的方程为y=34x-32.12.(2018衡水一模)已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为的椭圆过点2,73.(1)求椭圆的方程.(2)设椭圆与y轴的非负半轴交于点B,过点B作互相垂直的两条直线,分别交椭圆于P,Q两点,连接PQ,求BPQ的面积的最大值.【解析】(1)由题意可设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则ca=223,2a2+79b2=1, 故所以椭圆方程为x29+y2=1.(2)由题意可知,直线BP的斜率存在且不为0,故可设直线BP的方程为y=kx+1,由对称性,不妨设k0,由y=kx+1,x2+9y2-9=0,消去y得(1+9k2)x2+18kx=0,则|BP|=1+k218k1+9k2,将式子中的k0换成-,得:|BQ|=181+k2k2+9,SAPQ=12|BP|BQ|=1218kk2+11+9k218k2+1k2+9=18k1+9k21k2+1181k1+9k2=k2+11k2+1162(1+9k2)1+9k2=.设k+=t,则t2,故SBPQ=162t9t2+64=,取等条件为9t=64t,即t=83,即k+=83,解得k=时,SBPQ取得最大值.(建议用时:50分钟)1.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F到其准线的距离为2,过点E(4, 0)的直线l与抛物线C交于A,B两点,则|AF|+2|BF|的最小值为()A.3+2 B.7C.3+8 D.9【解析】选C.由抛物线C的焦点F到其准线的距离为2,得p=2,设直线l的方程为x=my+4,与y2=4x联立得y2-4my-16=0,设A,B,则y1y2=-16,所以|AF|+2|BF|=y124+1+2y224+1=y124+y222+32+3=3+8(当且仅当y124=y222,即y12=2y22时,取等号).2.抛物线y=x2与直线x=0,x=1及该抛物线在x=t(0t1)处的切线所围成的图形面积的最小值为()A.B.C.16D.14【解析】选A.因为y=f(x)=x2,所以f(x)=2x,即切线l在P处的斜率k=f(t)=2t,所以切线方程为y-t2=2t(x-t)=2tx-2t2,即y=2tx-t2,作出对应的图象,则曲线围成的面积S=01 (x2-2tx+t2)dx=13x3-tx2+t2x01=t2-t+13=+,因为0t0)上一点P的纵坐标为4,且点P到焦点F的距离为5.(1)求抛物线E的方程.(2)设斜率为k的两条平行直线l1,l2分别经过点F和H(0,-1),如图.l1与抛物线E交于A,B两点,l2与抛物线E交于C,D两点.问:是否存在实数k,使得四边形ABDC的面积为4+4?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由抛物线定义知,点P到抛物线E的准线的距离为5.因为抛物线E的准线为y=-,所以4+=5,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y.(2)由已知得,直线l1:y=kx+1.由y=kx+1,x2=4y,消去y得x2-4kx-4=0, 这时,=16(k2+1)0恒成立,|AB|=4(k2+1).同理,直线l2:y=kx-1,由消去y得x2-4kx+4=0, 由=16(k2-1)0得k21,|CD|=4,又因为直线l1,l2间的距离d=2k2+1,则四边形ABDC的面积S=12d(|AB|+|CD|)=4(+).解方程4(+)=4(+1)得,k2有唯一实数解2 (满足大于1),所以满足条件的k的