高考数学第3章导数及其应用第2节导数的应用模拟创新题理.docx

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第3章 导数及其应用 第2节 导数的应用模拟创新题 理一、选择题1.(2016河北邯郸模拟)做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为()A.3 B.4 C.5 D.6解析设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则VR2l27，所以l.S表R22RlR22.所以S表2R，令S表0得R3，则当R3时，S表最小，故选A.答案A2.(2016北京重点中学模拟)已知a0，函数f(x)(x22ax)ex，若f(x)在1，1上是单调减函数，则a的取值范围是()A. B. C. D.解析f(x)(2x2a)ex(x22ax)exx2(22a)x2aex，由题意，当x1，1时，f(x)0恒成立，即x2(22a)x2a0恒成立，令g(x)x2(22a)x2a，则有即解得a，故选C.答案C3.(2015江西新余模拟)如图是函数f(x)x2axb的部分图象，则函数g(x)ln xf(x)的零点所在的区间是()A. B.(1，2) C. D.(2，3)解析函数f(x)x2axb的部分图象得0b1，f(1)0，从而2a1，而g(x)ln xf(x)在定义域内单调递增，gln 1a0，g(1)ln 12a2a0，函数g(x)ln xf(x)的零点所在的区间是，故选C.答案C二、填空题4.(2014山西临汾一模)函数y的极小值为_.解析函数的定义域为(0，)，令yf(x)，f(x).令f(x)0，解得x1或xe2.函数f(x)与f(x)随x的变化情况如下表：x(0，1)1(1，e2)e2(e2，)f(x)00f(x)0则当x1时，函数y取到极小值0.答案0三、解答题5.(2015湛江质检)已知函数f(x)sin x(x0)，g(x)ax(x0).(1)若f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a取(1)中的最小值时，求证：g(x)f(x)x3.(1)解令h(x)sin xax(x0)，则h(x)cos xa.若a1，h(x)cos xa0，h(x)sin xax(x0)单调递减，h(x)h(0)0，则sin xax(x0)成立.若0a0，h(x)sin xax(x(0，x0)单调递增，h(x)h(0)0，不合题意.若a0，结合f(x)与g(x)的图象可知显然不合题意.综上可知，a的取值范围是1，).(2)证明当a取(1)中的最小值为1时，g(x)f(x)xsin x.设H(x)xsin xx3(x0)，则H(x)1cos xx2.令G(x)1cos xx2，则G(x)sin xx0(x0)，所以G(x)1cos xx2在0，)上单调递减，此时G(x)1cos xx2G(0)0，即H(x)1cos xx20，所以H(x)xsin xx3在x0，)上单调递减.所以H(x)xsin xx3H(0)0，则xsin xx3(x0).所以，当a取(1)中的最小值时，g(x)f(x)x3.创新导向题利用导数求函数最值及判断单调性6.已知f(x)xln x(x0).(1)求f(x)的最小值.(2)F(x)ax2f(x)，(aR)，讨论函数f(x)的单调性.解(1)由f(x)xln x得f(x)ln x1(x0)，令f(x)0，得x.当x时，f(x)0，当x时，f(x)minln.(2)由题意及(1)知，F(x)ax2ln x1(x0)，所以F(x)2ax(x0)当a0时，恒有F(x)0，则F(x)在(0，)上是增函数；当a0，即2ax210，解得0x；令F(x)0，即2ax21.综上，当a0时，F(x)在(0，)上是单调递增，当af(x)成立，若f(ln 4)2，则不等式f(x)e的解集是()A.(ln 4，) B.(0，ln 4)C.(1，) D.(0，1)解析2f(x)f(x)，2f(x)f(x)0，构造函数g(x)，则g(x)0.所以函数g(x)在R上单调递增，g(ln 4)1，又f(x)e，1，即g(x)g(ln 4)，xln 4.答案A二、填空题8.(2015北京海淀4月模拟题)设某商品的需求函数为Q1005P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1，则商品价格P的取值范围是_.解析由Q1005P得Q5，由P知1，20P10，由Q0得P0，a2或a1.答案(，1)(2，)三、解答题10.(2015浙江余杭模拟)已知函数f(x)，x0，1.(1)求f(x)的单调区间和值域；(2)设a1，函数g(x)x33a2x2a，x0，1，若对于任意x10，1，总存在x00，1，使得g(x0)f(x1)成立，求a的取值范围.解(1)f(x).令f(x)0，解得x或x(舍去).当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x01f(x)不存在0不存在f(x)43函数f(x)的单调增区间是，单调减区间是.当x0，1时，f(x)的值域为4，3.(2)g(x)3(x2a2).a1，当x(0，1)时，g(x)(x1)ln x.(1)解f(x)2xa0在1，2上恒成立，令h(x)2x2ax1，有得所以a，即a的取值范围是.(2)解假设存在实数a，使g(x)axln x(x(0，e)有最小值3，g(x)a，当a0时，g(x)在(0，e上单调递减，g(x)ming(e)ae13，所以a(舍去)；当0e时，g(x)在上单调递减，在上单调递增，g(x)ming1ln a3，ae2满足条件.当e时，g(x)在(0，e上单调递减，g(x)ming(e)ae13，a(舍去)，综