全国通用高考数学复习导数与不等式的证明恒成立及能成立问题练习理.docx

专题一 函数与导数、不等式 第5讲 导数与不等式的证明、恒成立及能成立问题练习 理一、选择题1.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)0，且f(0)0，f0，则不等式f(x)0的解集为()A.B.C.D.解析如图所示，根据图象得不等式f(x)0的解集为.答案C2.若不等式2xln xx2ax3恒成立，则实数a的取值范围为()A.(，0) B.(，4C.(0，) D.4，)解析条件可转化为a2ln xx恒成立.设f(x)2ln xx，则f(x)(x0).当x(0，1)时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(1，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以f(x)minf(1)4.所以a4.答案B3.若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是()A.(，) B.(2，)C.(0，) D.(1，)解析2x(xa)1，ax.令f(x)x，f(x)12xln 20.f(x)在(0，)上单调递增，f(x)f(0)011，a的取值范围为(1，)，故选D.答案D4.(2015全国卷)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A.(，1)(0，1) B.(1，0)(1，)C.(，1)(1，0) D.(0，1)(1，)解析令F(x)，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F(x)，当x0时，xf(x)f(x)0，所以F(x)在(0，)上单调递减，根据对称性，F(x)在(，0)上单调递增，又f(1)0，f(1)0，数形结合可知，使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0，1).故选A.答案A5.(2016山东师范大学附中二模)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x)，满足f(x)f(x)，且f(x2)为偶函数，f(4)1，则不等式f(x)ex的解集为()A.(2，) B.(0，) C.(1，) D.(4，)解析由f(x2)为偶函数可知函数f(x)的图象关于x2对称，则f(4)f(0)1.令F(x)，则F(x)0.函数F(x)在R上单调递减.又f(x)ex等价于1，F(x)F(0)，x0.答案B二、填空题6.已知不等式exxax的解集为P，若0，2P，则实数a的取值范围是_.解析由题意知不等式exxax在x0，2上恒成立.当x0时，显然对任意实数a，该不等式都成立.当x(0，2时，原不等式即a1，令g(x)1，则g(x)，当0x1时，g(x)0，g(x)单调递减，当1x2时，g(x)0，g(x)单调递增，故g(x)在(0，2上的最小值为g(1)e1，故a的取值范围为(，e1).答案(，e1)7.已知函数f(x)ln xa，若f(x)x2在(1，)上恒成立，则实数a的取值范围是_.解析函数f(x)ln xa，且f(x)x2在(1，)上恒成立，aln xx2，x(1，).令h(x)ln xx2，有h(x)2x.x1，2x0，h(x)在(1，)上为减函数，当x(1，)时，h(x)h(1)1，a1.答案1，)8.已知函数f(x)x，g(x)x22ax4，若对于任意x10，1，存在x21，2，使f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_.解析由于f(x)10，因此函数f(x)在0，1上单调递增，所以x0，1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在x1，2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a能成立，令h(x)，则要使ah(x)在x1，2上能成立，只需使ah(x)min，又函数h(x)在x1，2上单调递减，所以h(x)minh(2)，故只需a.答案三、解答题9.已知函数f(x)x2ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：x1，x2(，0，f(x1)f(x2).(1)解f(x)x(x2)ex.令f(x)x(x2)ex0，则x12，x20.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表x(，2)2(2，0)0(0，)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递减区间为(2，0)，单调递增区间为(，2)，(0，).(2)证明由(1)知f(x)的单调递增区间为(，2)，单调递减区间为(2，0)，所以当x(，0时，f(x)最大值f(2).因为当x(，2时，f(x)0，f(0)0，所以当x(，0时，f(x)最小值f(0)0.所以f(x)最大值f(x)最小值.所以对x1，x2(，0，都有f(x1)f(x2)f(x)最大值f(x)最小值.10.(2016潍坊一模)已知函数f(x)ln xx2ax(a为常数).(1)若x1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；(2)当0a2时，试判断f(x)的单调性；(3)若对任意的a(1，2)，x01，2，不等式f(x0)mln a恒成立，求实数m的取值范围.解f(x)2xa.(1)由已知得：f(1)0，所以12a0，所以a3.(2)当0a2时，f(x)2xa.因为0a2，所以10，而x0，即f(x)0，故f(x)在(0，)上是增函数.(3)当a(1，2)时，由(2)知，f(x)在1，2上的最小值为f(1)1a，故问题等价于：对任意的a(1，2)，不等式1amln a恒成立，即m恒成立.记g(a)(1a2)，则g(a).令M(a)aln a1a，则M(a)ln a0，所以M(a)在(1，2)上单调递减，所以M(a)M(1)0，故g(a)0，所以g(a)在a(1，2)上单调递减，所以mg(2)log2e，即实数m的取值范围为(，log2e.11.已知函数f(x)axc(a0)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为yx1.(1)用a表示出b，c；(2)若f(x)ln x在1，)上恒成立，求a的取值范围；(3)证明：1ln(n1)(n1).(1)解f(x)a，则有解得(2)解由(1)知，f(x)ax12a.令g(x)f(x)ln xax12aln x，x1，)，则g(1)0，g(x)a，()当0a时，1.若1x，则g(x)0，g(x)是减函数，所以g(x)g(1)0，即f(x)ln x.故f(x)ln x在1，)上不成立.()当a时，1.若x1，则g(x)0，g(x)是增函数，所以g(x)g(1)0，即f(x)ln x，故当x1时，f(x)ln x.综上所述，所求a的取值范围为.(3)证明法一由(2)知：当a时，有f(x)ln x(x1).令a，有f(x)ln x(x1)，且当x1时，ln x.令x，有ln ，即ln(k1)ln k，k1，2，3，n.将上述n个不等式依次相加得ln(n1)，整理得1ln(n1).法二用数学归纳法证明.当n1时，左边1，右边ln 21，不等式成立.假设nk时，不等式成立