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2018年高考数学一轮复习 第七章 立体几何 课时达标43 空间向量及其运算 理解密考纲空间向量及其应用的考查以解答题为主,多作为解答题的第二种解法(第一种解法为几何法,第二种解法为向量法),难度中等一、选择题1点M(8,6,1)关于x轴的对称点的坐标是(A)A(8,6,1)B(8,6,1)C(8,6,1)D(8,6,1)解析:结合空间直角坐标中,点关于x轴对称的点的坐标特点知选项A正确2O为空间任意一点,若,则A,B,C,P四点(B)A一定不共面B一定共面C不一定共面D无法判断解析:且1,A,B,C,P四点共面3已知a(2,3,4),b(4,3,2),bx2a,则x(B)A(0,3,6)B(0,6,20)C(0,6,6)D(6,6,6)解析:bx2a,x4a2b,即x(8,12,16)(8,6,4)(0,6,20)4已知a(2,1,3),b(1,2,3),c(7,6,),若a,b,c三向量共面,则(B)A9B9C3D3解析:由题意知cxayb,即(7,6,)x(2,1,3)y(1,2,3),所以解得9.5若平面,的法向量分别为n1(2,3,5),n2(3,1,4),则(C)ABC,相交但不垂直D以上均不正确解析:由n1(2,3,5),n2(3,1,4),n1和n2不平行,与不平行;又n1n26320290,与不垂直6平行六面体ABCDA1B1C1D1中,向量,两两夹角均为60,且|1,|2,|3,则|(A)A5B6C4D8解析:由题可得,故22222()1492(121323)cos 6025,故|AC1|5.二、填空题7在空间直角坐标系中,点P(1,),过点P作平面yOz的垂线PQ,则垂足Q的坐标为(0,)解析:依题意知,垂足Q为点P在平面yOz上的投影,则点Q的纵、竖坐标与P相等,横坐标为0.8如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,O为AC的中点用,表示,则.解析:由题意知().9已知点A(1,2,1),B(1,3,4),D(1,1,1),若2,则|.解析:设P(x,y,z),故(x1,y2,z1),(1x,3y,4z),又2,则有解得P,|.三、解答题10如图,在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AEBFx,其中0xa,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E,F的坐标;(2)求证:A1FC1E;(3)若A1,E,F,C1四点共面,求证:.解析:(1)E(a,x,0),F(ax,a,0)(2)证明:A1(a,0,a),C1(0,a,a),(x,a,a),(a,xa,a),axa(xa)a20,A1FC1E.(3)证明:A1,E,F,C1四点共面,共面选与为一组基向量,则存在唯一实数对(1,2),使12,即(x,a,a)1(a,a,0)2(0,x,a)(a1,a1x2,a2),解得1,21.于是.11如图,在底面是矩形的四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,PAAB1,BC2.(1)求证:EF平面PAB;(2)求证:平面PAD平面PDC证明:以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),E,F,(1,0,1),(0,2,1),(0,0,1),(0,2,0),(1,0,0),(1,0,0)(1),即EFAB.又AB平面PAB,EF平面PAB,EF平面PAB.(2)(0,0,1)(1,0,0)0,(0,2,0)(1,0,0)0,.即APDC,ADDC又APADA,DC平面PAD.DC平面PDC,平面PAD平面PDC12在四棱锥PABCD中,PD底面ABCD,底面ABCD为正方形,PDDC,E,F分别是AB,PB的中点(1)求证:EFCD;(2)在平面PAD内是否存在一点G,使GF平面PCB.若存在,求出点G的坐标;若不存出,试说明理由解析:(1)证明:如图,以DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设ADa,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E,P(0,0,a),F.,(0,a,0)0,即EFCD.(
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