2019版高考数学第4章三角函数、解三角形4第4讲简单的三角恒等变换教案理.docx

第4讲简单的三角恒等变换三角函数式的化简 典例引领 化简：(1)(0)；(2).【解】(1)原式.因为0，所以00.所以原式cos .(2)原式.三角函数式的化简要遵循“三看”原则通关练习1(2018长沙模拟)化简：_解析：4sin .答案：4sin 2化简：.解：原式cos 2x.三角函数式的求值(高频考点)三角函数式的求值在高考中主要以选择题形式出现，有时以解答题某一步出现，试题难度较小高考对三角函数求值的考查有以下三个命题角度：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角典例引领角度一给角求值 的值是_【解析】2.【答案】2角度二给值求值 已知，且2sin2sin cos 3cos2 0，求的值【解】因为，且2sin2sin cos 3cos20，则(2sin 3cos )(sin cos )0，所以2sin 3cos ，又sin2cos21，所以cos ，sin ，所以.角度三给值求角 已知tan ，tan 是方程x23x40的两根，且，则()A.B.或C或D【解析】由题意得tan tan 30，所以tan()，且tan 0，tan 0，又由，得，所以(，0)，所以.【答案】D三角函数求值的3种情况 通关练习1计算：()A.BC.D解析：选D.原式tan.2已知sin 且为第二象限角，则tan()ABCD解析：选D.由题意得cos ，则sin 2，cos 22cos21，所以tan 2，所以tan.3(2018南充模拟)已知，且cos ，cos()，则_解析：因为，且cos ，cos，所以sin ，sin()，则sin sin()sin()cos cos()sin ，因为，所以.答案：三角恒等变换的简单应用 典例引领 如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设BOP，平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于的函数关系式；(2)求S的最大值及相应的角【解】(1)分别过P，Q作PDOB于点D，QEOB于点E，则四边形QEDP为矩形由扇形半径为1 m，得PDsin ，ODcos .在RtOEQ中，OEQEPD，MNQPDEODOEcos sin ，SMNPDsin sin cos sin2，.(2)Ssin 2(1cos 2)sin 2cos 2sin，因为，所以2，sin.当时，Smax(m2)利用三角恒等变换解决实际问题的思路(1)结合具体图形引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行化简，解决最优化问题(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的范围，最后作出结论并回答问题提醒注意恰当选择自变量，并利用解直角三角形等知识表示有关线段 如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？解：连接OB，设AOB，则ABOBsin 20sin ，OAOBcos 20cos ，且.因为A，D关于原点对称，所以AD2OA40cos .设矩形ABCD的面积为S，则SADAB40cos 20sin 400sin 2.因为，所以当sin 21，即时，Smax400(m2)此时AODO10(m)故当A、D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2. 三角恒等变换三大原则(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”“正用、逆用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等 易错防范在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好 1已知sin 2，则cos2()A.BC.D解析：选C.cos2，故选C.2已知f(x)2tan x，则f的值为()A4B.C4D8解析：选D.因为f(x)222，所以f8.3(2018湖北新联考模拟)()A.B.C.D1解析：选A.故选A.4已知，均为锐角，(1tan)(1tan )2，则为()A.B.C. D.解析：选B.由(1tan )(1tan )2得tan tan 1tan tan ，所以tan()1.因为0，所以0，所以.5sin220cos280sin 20cos 80的值为()A.B.C.D1解析：选A.sin220cos280sin 20cos 80(1cos 40)(1cos 160)sin 20cos(6020)1cos 40(cos 120cos 40sin 120sin 40)sin 20(cos 60cos 20sin 60sin 20)1cos 40cos 40sin 40sin 40sin2201cos 40(1cos 40).6._解析：原式tan 30.答案：7已知cos 2，则sin4cos4_解析：法一：因为cos 2，所以2cos21，12sin2，因为cos2，sin2，所以sin4cos4.法二：sin4cos4(sin2cos2)2sin221(1cos22)1.答案：8已知，tan()，则tan _解析：因为，所以，1，所以tan 1，又因为tan()，所以tan tan().答案：9化简：.解：tan .10已知tan ，cos ，求tan()的值，并求出的值解：由cos ，得sin ，tan 2.所以tan()1.因为，所以，所以.1若sin 2，sin()，且，则的值是()A.B.C.或 D.或解析：选A.因为sin 2，所以cos 2且，又因为sin()，所以cos()，因此cos()cos()2cos()cos 2sin()sin 2，又，所以，故选A.2(2018山西省晋中名校高三联合测试)对于集合a1，a2，an和常数a0，定义：为集合a1，a2，an相对a0的“正弦方差”，则集合相对a0的“正弦方差”为()A.B.C.D与a0有关的一个值解析：选A.集合相对a0的“正弦方差”.3(2018云南省第一次统一检测)计算_(用数字作答)解析：.答案：4(2018济南模拟)设，且5sin 5cos 8，sin cos 2，则cos()的值为_解析：由5sin 5cos 8，得sin，因为，所以cos.又，由sin cos 2，得sin.所以cos.所以cos()sinsinsincoscossin.答案：5已知函数f(x)Acos()，xR，且f.(1)求A的值；(2)设，f，f，求cos()的值解：(1)因为fAcosAcosA，所以A2.(2)由f2cos()2cos2sin ，得sin ，又，所以cos .由f2cos()2cos ，得cos ，又，所以sin ，所以cos()cos cos sin sin .6广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2 m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，ACB，记该设施平面图的面积为S(x)m2，AOBx rad，其中x.(1)写出S(x)关于x的函数关系式(2)如何设计AOB，使得S(x)有最大值？解：(1)因为扇形AOB的半径为2 m，AOBx rad，所以S扇形x222x，过点B作边AC的垂线，垂足为点D，如图所示：则BODx，所以BD2sin(x)2sin x，OD2cos(x)2cos x，因为ACB，所以CDBD2sin x，所以SBOCCOBD(2sin x2cos x)2si