方阵的特征值与特征向量.ppt

第四章第四章 矩阵的特征值矩阵的特征值 第一节第一节 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 第二节第二节 相似矩阵与对角化相似矩阵与对角化 第三节第三节 实对称矩阵的特征值与特征向量实对称矩阵的特征值与特征向量 4-1-1 第一节第一节 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 特征值与特征向量的概念 特征值与特征向量的性质 4-1-2 一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念 定义定义 成立 , (1) 设A为n阶矩阵,如果存在数和n维维非 零向量x,使 Ax= x 那么称数为矩阵A的特征值,而称向量x为 矩阵A属于特征值的特征向量. 方阵的特征值与特征向量 3 说明说明 1. 特征向量x0,特征向量是方阵A属于特征值 2. n阶方阵A的特征值是齐次线性方程组 (A-E)x=0有非零解的值,即满足方程| A-E|=0 的值均是矩阵A的特征值. 的向量. 方阵的特征值与特征向量 4 的特征方程. 是以为未知数 的一元n次方程, 称| A-E|=0为A 记f()=| A-E|,它是 的n次多项式, 称其为方阵 A特征多项式 方阵的特征值与特征向量 5 4. n阶方阵 A=(aij)的特征值1, 2, n又称矩阵A 的特征根.若0是特征方程的k重特征根, 则称 方阵A的k重特征根 特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法 1.求方阵 A=(aij)的特征方程| A-E|=0的值1, 2,n 2.对于方阵 A=(aij)的特征值0,求属于该该特征值值 的特征向量 方阵的特征值与特征向量 6 例例1 1 解解 A的特征多项式 得A的特征值 1=-2, 2=4 当1=-2时,有(A+2E)x=0,即 求A的特征值与特征向量.其中 方阵的特征值与特征向量 7 解之得, 5x1=-x2. 矩阵A属于1=-2的全部特征向量 k1(1,-5)T 于是相应的特征向量可取p1=(1,-5)T 当2=4时,有(A-4E)x=0,即 解之得, x1=x2. 矩阵A属于2=4的全部特征向量 k2(1,1)T 于是相应的特征向量可取p2=(1,1)T 方阵的特征值与特征向量 8 例例2 2 解解 A的特征多项式 得A的特征值 1=2, 2= 3=1 当1=2时,有(A-2E)x=0 求A的特征值与特征向量.其中 方阵的特征值与特征向量 9 解之得, x1=x2=0, x3为任意实数 矩阵A属于1=2的全部特征向量 于是相应的特征向量可取p1=(0,0,1)T k1 p1 = k1(0,0,1)T k1 0为任意实数 方阵的特征值与特征向量 10 解之得, x1=-x3, x2=-2x3 矩阵A属于2= 3=1的全部特征向量 于是相应的特征向量可取p1=(-1,-2,1)T 当2= 3=1时,有(A-E)x=0 k2 p2 = k2(-1,-2,1)T k20为任意实数 方阵的特征值与特征向量 11 例例3 3 求A的特征值与特征向量 解解 A的特征多项式 得A的特征值 1=-1, 2= 3=2 当1=-1时,有(A+E)x=0 方阵的特征值与特征向量 12 解之得, x2=0, x1=x3为任意实数 矩阵A属于1=-1的全部特征向量 于是相应的特征向量可取p1=(1,0,1)T k1 p1 = k1(1,0,1)T k1 0为任意实数 方阵的特征值与特征向量 13 解之得 -4x1+ x2+x3=0 矩阵A属于2= 3=2的全部特征向量 于是相应的特征向量可取p2=(0,1,-1)T, p3=(1,0,4)T 当2= 3=2时,有(A-2E)x=0 k2 p2+ k3 p3 = k2(0,1,-1)T+ k3(1,0,4)T k2 k3 0为任意实数 方阵的特征值与特征向量 14 例例4 4 n阶方阵A为奇异矩阵的充要条件是A有一 个特征值等于0. 证明证明必要性 若A为奇异矩阵,则|A|=0,于是有 |0I-A|=(-1)n |A|=0,故0是A的一个特征值. 若0是A的一个特征值,其相应的特征向量x,充分性 由定义知 Ax=0x=0 , 因特征向量x0,要使齐次线性方程组Ax=0 有 非零解,则需要|A|=0,即A为奇异. 方阵的特征值与特征向量 15 例例5 5证明 若是矩阵A的特征值,x是A的属于 证明证明 再继续施行上述步骤m-2次,就得 的特征向量,则有 (1)m 是Am的特征值(m是任意常数) 故m 是Am的特征值,且x是Am 属于m的特征 向量. (2)当|A|0时时,则则-1 是A-1的特征值. 方阵的特征值与特征向量 16 故-1 是A-1的特征值,且x是A-1 属于-1的特征向量. (2)若|A|0时时,则则A可逆,于是知A的特征值值0. 方阵的特征值与特征向量 17 二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质 方阵的特征值与特征向量 性质1 设0 是A的特征值,则k0 是kA的特征值 证明 若0 是A的特征值, 则x0 于是k0 是kA的特征值. 18 方阵的特征值与特征向量 性质2 设0 是A的特征值,且|A|0,则-1 是A-1的 证明 见例5 特征值 19 方阵的特征值与特征向量 性质3 n阶方阵A与其转置矩阵AT有相同的特征值. 证明 故A与AT有相同的特征值. 20 性质4 n阶方阵A=(aij), 如果(1) 有一个成立,则A的所 有特征值k (k=1,2, ,n)的模|k |1. 证明证明只需证A的任意特征值的模| |1即可. 设A的属于的特征向量为x,于是有 方阵的特征值与特征向量 21 既有 | |1,再由的任意性知 类似证明 (2). 方阵的特征值与特征向量 22 性质5 设1,2, ,m为方阵A的m个特征值, 量,如果1,2, ,m各不相同,则x 1, x 2, , x m x1, x2, , xm 分别为方阵A的与之相应的特征向 证明证明利用数学归纳法证明 当k=1时,结论显然成立. 假设k=m-1时,结论成立,那么当k=m时,有 线性无关. 方阵的特征值与特征向量 23 用A左乘(1)有 用m左乘(1)有 (3)-(2)有 因1,2, ,m-1各不相同,且x1, x2, ,x m-1线性 则k 1=k 2= = k m-1=0 , 代入(1)式得 k m=0 . 于是x 1, x 2, x m线性无关. 无关, 方阵的特征值与特征向量 24 性质6 设n阶方阵A的全部特征值 1,2, ,n, 则有 (1) 1+2+ +n=a11+a22+ann 证明证明 略. 即A的所有特征值的和等于A的主对角线元素之和; 方阵的特征值与特征向量 (2) 12 n=|A| A的所有特征值的积等于A的行列式值. 25 例例6 6 2= 2, 求x值和A的另一特征值 解解 利用上述性质6,知 而|A|=x+2,于是解得 3=3,x=4 方阵的特征值与特征向量 已知A有特征值 1=1, 1+2+ 3=1+x+1 12 3=|A| 26 注意 1.属于不同特征值的特征向量是线性无关的 2.属于同一特征值的特征